第一章 线性空间与线性变换.ppt

应用数学学院,矩阵分析,2014，92015，1,mrh1999,任课教师：莫荣华,第一章线性空间与线性变换,本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。,“抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949年诺贝尔物理奖获得者）。,“用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化，并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显现出来。”（让-迪厄多内，法国数学家）。,几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。,1、线性空间,线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。,线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、基、坐标等的定义和结论都可以推广到一般线性空间。尤其是坐标，能够将一般线性空间的问题转化成向量空间的问题，是一个十分有力的工具。,一、从向量谈起,而且这两种运算满足下面8条运算律：,对于平面中的任意向量，我们已定义过加法及数乘两种运算，而且这两种运算是封闭的，即运算后的结果仍在中。,具有加法单位元（零向量），使得,具有加法逆元（负向量），使得,根据线性代数的知识，二维空间显然可推广到维向量空间。并且数乘所依赖的实数域也可推广到复数域。相应的向量空间分别称为实向量空间和复向量空间。(Grassmann,1844;Cayley,1845),我们知道，向量是特殊的矩阵。所有阶的实矩阵的集合对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满足上述8条运算律。因此也是“实向量空间”。,不过这里的“向量”是实矩阵！,二、线性空间(LinearSpace)的概念,定义1如果非空集合对于加法及数乘两种运算封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那么就称集合为数域上的线性空间或向量空间：,具有加法单位元（零向量），使得,具有加法逆元（负向量），使得,注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘）的具体形式。,例4次数小于的所有实系数多项式按通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间,例3闭区间上的所有实值连续函数按通常函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间,例2所有阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和数乘，构成线性空间。,例5所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，构成线性空间。,例6齐次线性方程组的所有解的集合构成数域上的线性空间，称为的解空间，或矩阵的核空间或零空间，即,例7所有矩阵向量积的集合构成数域上的线性空间，称为矩阵的列空间或值域，也称为矩阵的像，即,例8阶常系数线性微分方程,的解集,是域上的线性空间。,例9集合不是一个线性空间。因为加法不封闭。,例10线性非齐次方程组的解集,不构成线性空间，这里是对应齐次方程组的一个基础解系，为的一个特解。,对于及，定义,判断是否构成上的线性空间.,例11设数域为，集合为,是的！,三、线性空间的几个基本性质,定理12如果是数域上的线性空间，则,线性空间中的零向量是唯一的。,线性空间中的每个向量的负向量是唯一的。,当时，有或,当时，有,四、线性空间的基(basis)、坐标(coordinate)和维数(dimension),定义13给定线性空间，如果存在中的一组向量，满足：（1）线性无关；（2）中任意向量都能由线性表示。即存在数，使则向量组就称为的一组基，系数就称为向量在此基下的坐标，基中的向量个数称为线性空间的维数，记为,几点说明,（1）若把线性空间看作无穷个向量组成的向量组，那么的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.,（2）若向量组是线性空间的一个基，则可表示为,（3）个数与线性空间的维数相等的线性无关组都是的基.,（4）不存在有限个基向量的线性空间称为无限维线性空间.,（5）的0维子空间是，1维子空间是经过原点的任意直线，2维子空间是经过原点的任意平面，3维子空间是它自身。,（6）中，不经过原点的任意直线的集合显然可看成某个经过原点的直线集合（显然是1维子空间）适当平移而来，即存在和，使称为中的一个线性流形（linearManifold）,（7）研究维向量空间，通过它的基及向量的坐标表示，就转化为研究向量空间。,例14向量空间是实数域上的二维空间，其基可取为，即,同时向量空间也是复数域上的一维空间，其基可取为，即,定理15数域上的线性空间中的任意向量在给定基下的坐标是唯一的。,定理16（基的扩张定理）数域上的维线性空间中的任意一个线性无关向量组都可以扩充成的一组基。,或者对任意，都有线性相关。这样可由线性表示，即。与的取法矛盾。,定理16的证明,否则，此即。得证。,则必有，使得,线性无关。,重复上述过程，直至得到的基,例17在线性空间中，显然是的一组基，此时多项式在这组基下的坐标就是,证明也是的基,并求及在此基下的坐标。,基向量是多项式！,分析：,容易验证线性无关，因此也是的基。,由高等数学中的泰勒公式，可知,所以所求坐标分别为和,五、基变换(changeofbasis)和坐标变换,定义18设和是维向量空间的两个基，且存在可逆矩阵，使得,则称上式为基变换公式，矩阵为基到基的过渡矩阵。对于向量空间，有,过渡矩阵是以新基的各向量在旧基下的坐标为列向量构成的矩阵。它一定是可逆的！,因此线性相关。出现矛盾。所以可逆。,设基在基下的坐标矩阵为，,若矩阵不可逆，则以为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解，因此,那么，随着基的改变，同一个向量的坐标如何改变呢？,由基的定义，在维向量空间中，任意个线性无关的向量都可以作为的一组基。对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的,定理19设维向量空间中元素在基与基下的坐标分别为，。为基到基的过渡矩阵，则成立坐标变换公式：,即,证明：,因为坐标唯一，所以,由于,由于可逆，所以也有,因为坐标唯一，所以,例17（续）,由题，在基下的坐标为,而且，基到基的过渡矩阵为,所以,结果一致！,例18已知矩阵空间的两组基：,求基(I)到基(II)的过渡矩阵。,基向量是矩阵！,解：,显然,引入的标准基（因为四个元素可独立取值）,不是矩阵！,类似地，,则基(III)到基(I)的过渡矩阵为,类似地，可得基(III)到基(II)的过渡矩阵为,所以,不是矩阵！,从而,因此基(I)到基(II)的过渡矩阵为,2、子空间的交与和,整体有时太庞大，所以我们经常希望能够“通过部分来获知整体”，从而达到“解剖麻雀”的效果。对线性空间的研究亦是如此。我们希望将一个高维线性空间分解为多个低维线性子空间的和甚至直和，并通过对线性子空间的研究，能够更加深刻地揭示整个线性空间的结构。,定义1设是线性空间的非空子集。如果在中规定的加法和数乘运算下构成线性空间，则称是的（线性）子空间。,前述矩阵的核空间显然是的子集，这说明线性空间的子集也可能是线性空间。,一、线性子空间(Subspace),例2集合是向量空间。它是在平面上的投影子空间。,例3中过原点的直线是的一个子空间。,(i)对任意的，有(ii)对任意的，有,判定非空集合是否为线性空间，要验算运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。至于判定线性空间的子集是否为线性空间，就比较方便了。,定理4（子空间判别法）数域上的线性空间的非空子集是的子空间的充要条件是对中的两种运算都封闭，即,例5已知是数域上的线性空间，则集合,是的一个子空间。称为由向量所生成的子空间，记为或,一般地，由线性空间中的向量组所生成的线性空间记作或,例6是的子空间；是的子空间,一般地，,例7对任意，是的子空间；是的子空间。,二、子空间的交(intersection)与和(sum),定理8设是数域上线性空间的两个子空间，则它们的交也是的子空间。,定理9设是数域上线性空间的两个子空间，则集合（称为与的和）也是的子空间。,为什么要研究子空间的和？,为什么不研究子空间的并？,（i)交换律,可以验证，子空间的交与和具有下列运算律：,（ii)结合律,根据归纳法可知，和都是的子空间。,例10设是线性空间的子空间，且则,例11,设,求的基与维数。,所以可令,设，则,故,解：,这是关于的齐次方程组，即,因此,所以的基为，维数为,解关于的齐次方程组，得,由例10知,由前知,即,由于线性无关，这样是的极大无关组，所以它也是的基，故,定理12（维数公式）设是数域上线性空间的两个有限维子空间，则它们的交与和都是有限维的，并且,注意到例11中,这并不是偶然的。,定理12的证明：,所以,取为的基，并分别扩充成的基，即,设,则有,又,所以,从而可令,则,由于线性无关，所以,因此,即,从而线性无关，所以是的一组基。于是维数公式成立。,由于线性无关，所以,再由线性无关，所以,三、子空间的直和(directsum),定义13设是数域上的线性空间的两个子空间，如果则称为与的直和，记作,显然直和的概念可以推广到多个子空间的情形。,维数公式告诉我们，和空间的维数不超过各子空间的维数之和。那么何时等号成立呢？,定理14设是数域上的线性空间的两个子空间，则下列命题是等价的：（1）是直和；（2）；（3）和中零向量的表示法唯一，即若则（4）和中每个向量的表示法是唯一的。,证明：,根据维数公式显然成立。,根据维数公式,所以,设存在向量，有,由于,从而,所以,由于,所以,对任意向量，有,根据（3），零向量的表示是唯一的，因此,显然成立。,例15设分别是阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体。显然容易证明均为线性空间的子空间。试证明,证明：因为任意实方阵可以分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵的和，即,又实对称矩阵中独立取值的元素个数为，实反对称则是，因此根据定理7可知结论成立。,定理16（直和分解）设是数域上的线性空间的一个子空间，则一定存在的另一个子空间，使得子空间具有直和分解并称和是一对互补的子空间，或者是的补子空间。,显然直和分解可以推广到多个子空间的情形。,例17实数域上的多项式空间有下列直和分解：,注意：1、子空间的补子空间未必是唯一的，也就是说线性空间的直和分解未必是唯一的。例如若,显然，是的一个子空间，几何上很容易看出，和都是的补子空间。,注意：2、三个子空间如果两两直和，这三个子空间的和未必是直和。例如若,显然，但零向量的分解不唯一，因此,定理18设是数域上的线性空间的子空间，则下列命题是等价的：（1）是直和；（2）（3）的基是各的基的并。,3、线性空间的同构,同构是线性代数的基本概念之一。如果仅仅从线性空间所依赖的运算，我们一般很难分辨同构的线性空间。所以同构将两个有可能形式完全不同的线性空间对应起来。更关键的是，将任意线性空间与n维实向量空间或复向量空间对应起来。从而将前者中的问题转化为后者中的问题。,一、从线性微分方程的解谈起,从高等数学中易知，线性微分方程的解的集合是一个线性空间。,从物理上看，上述方程的解恰好描述了质点的某种运动方式。因此一旦给定质点的初始位置和初始速度，就可以确定质点在任意时刻的运动状态方程。因此方程的解也可以用有序数组来表示。显然两种表示间的关系是线性的，即若对应，则是解的初值条件，且对应,这种联系并不是偶然的，而是具有一般性的。,一一对应（单射+满射）。,更一般地，可以引入两个线性空间之间的类似联系。,从第一节可知，线性空间中的任意向量,在给定基下，与向量空间中的向量,二、同构映射(isomorphism)-万物归一,并称与同构（isomorphic),记为,定义2设是数域上的两个线性空间，映射（是一一对应的）称为到的线性同构映射，如果对中的任意两个向量和任意的，都有（i)(可加性)(ii)(齐次性),例3数域上的维线性空间,易证是同构映射。,根据前面的分析，对映射，即,三、同构映射的性质,定理4设是数域上的两个线性空间之间的同构映射，则（i)(零向量到零向量)(ii)(负向量到负向量)（iii)(线性无关组到线性无关组)中的向量组线性无关的充要条件是中的向量组线性无关。,定理5数域上的任意两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。,这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。并且在同构的意义下，向量空间并不只是线性空间的一个特殊例子，而是所有的维线性空间的代表。,4、线性变换,线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。,借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意味着线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。,一、一些简单的线性变换,例1（几种二维线性变换的几何意义）,%ex101.mx=0,1,1,0;0,0,1,1;subplot(2,3,1),fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r)axisequal,axis(-1.5,1.5,-1,2),gridontitle(a)x=0,1,1,0;0,0,1,1)A1=-1,0;0,1y1=A1*x%关于y轴反射subplot(2,3,2),fill(y1(1,:),0,y1(2,:),0,g)axisequal,axis(-1.5,1.5,-1,2),gridontitle(b)A1=-1,0;0,1)A2=1.5,0;0,1y2=A2*x%x轴方向膨胀1.5倍subplot(2,3,3),fill(y2(1,:),0,y2(2,:),0,g)axisequal,axis(-1.5,1.5,-1,2),gridontitle(c)A2=1.5,0;0,1),A3=1,0;0,0.2y3=A3*x%y轴方向压缩5倍subplot(2,3,4),fill(y3(1,:),0,y3(2,:),0,g)axisequal,axis(-1.5,1.5,-1,2),gridontitle(d)A3=1,0;0,0.2)A4=1,0.5;0,1y4=A4*x%向右水平剪切subplot(2,3,5),fill(y4(1,:),0,y4(2,:),0,g)axisequal,axis(-1.5,1.5,-1,2),gridontitle(e)A4=1,0.5;0,1)t=pi/6,A5=cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t)y5=A5*x%逆时针旋转30度subplot(2,3,6),fill(y5(1,:),0,y5(2,:),0,g)axisequal,axis(-1.5,1.5,-1,2),gridontitle(f)A5=cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t)set(gcf,color,w),从几何上看，图形经过旋转变换或反射变换后只是位置改变了，形状和大小都没有改变，所有的长度、角度都保持不变，直线仍然变成了直线，三角形、长方形、正方形、平行四边形、圆仍然变成了三角形、长方形、正方形、平行四边形、圆，也就是说变换前后的图形是全等的。,从映射的角度看，旋转变换或反射变换对应的是显然是同构映射。,从几何上看，图形经过伸缩变换后位置没有改变，角度也没有改变，但形状和大小都略有变化，所有的长度也改变了。虽然直线仍然变成了直线，三角形、长方形、平行四边形仍然变成了三角形、长方形、平行四边形，但圆变成了椭圆、正方形变成了长方形。也就是说变换前后的图形未必是全等的。,从映射的角度看，线性关系经过变换仍然得到保留。所以仍然是同构映射。,例5（投影变换，projectivetransformation）椭球体在地面的正投影，显然将椭球体变换成椭圆。,从映射的角度看，这仅仅是同态映射，不是同构映射。,二、线性变换(LinearTransformation),定义6设是数域上的线性空间，映射（未必是双射）称为上的线性变换或线性算子(LinearOperator)，如果对中的任意两个向量和任意的数，都有（i)(可加性)(ii)(齐次性),并称为在下的像（image），而是的原像（inverseimage）。,定义7设是数域上的线性空间，映射（未必是双射）称为上的线性泛函，如果对中的任意两个向量和任意的数，都有（i)(可加性)(ii)(齐次性),例如上的二次型是线性泛函，但秩和行列式显然就不是线性泛函。,例8由下式确定的映射是线性变换。,当矩阵是对角矩阵时，此例中的变换特殊化为伸缩变换。特别地，如果是单位矩阵，这个变换就是一种恒等变换。,例9（标量变换，scalartransformation）由下式确定的线性空间到其自身的映射是线性变换。这里称为线性变换的特征值（eigenvalue)，非零向量称为的对应于特征值的特征向量(eigenvector)。,例10数域上的所有无限次可导实函数的集合是一个线性空间。则由下式确定的微商变换是上的一个线性变换。,有限次可导的情况又如何呢？比如中微商变换是否是线性变换呢？,是的！,例11闭区间上的所有实连续函数的集合构成上的一个线性空间。则由下式确定的积分变换是上的一个线性变换。,例10和例11表明，微积分的两个基本运算（微分和积分），从变换的角度看都是线性变换（或线性算子），由此可知线性变换在理论与应用中有着广泛的应用。,三、线性变换的基本性质,定理12如果是线性变换，则,零向量对应零向量,叠加原理,负向量对应负向量,定理13如果表示上的所有线性变换的集合，并且对任意,则可以验证，都是线性变换，因此也是数域上的线性空间。,定义14线性空间上的线性变换称为可逆的，如果存在上的线性变换，使这里表示上的恒等变换，即对任意，有,例15将线性空间中的所有向量均绕原点逆时针旋转角的变换就是例1中的旋转变换的逆变换。这时像与原像之间的关系为,特别地，要使（几何上表示什么？），则角度满足,对任意,定理16设是线性空间上的一组基。对于中任意一组向量，必存在唯一的线性变换，使得,定义所求变换如下即可：,特别地，是可逆的当且仅当也是的基。,四、线性变换的矩阵表示,的基映射为。,维线性空间上的线性变换将,由于仍然是基的线性组合，所以令,因此,这里，矩阵称为线性变换(在基下)的矩阵表示。,因此线性变换与方阵之间可以建立一一对应的关系。,因此原像与像（在给定基下）的坐标变换公式为,对中的任意向量，显然其在线性变换下的像为,例17中的投影变换在基下的矩阵为,例18中的微商变换在基下的矩阵为,例19在矩阵空间中定义线性变换：,求在标准基（I)下的矩阵，这里,解：,所以在标准基（I)下的矩阵为,当基改变后，线性变换的表示矩阵是否也改变呢？,设为维向量空间上的线性变换，对于的基和的矩阵表示分别是和，并且基到基的过渡矩阵为，即有：,则,故,定义20对阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵（即满秩矩阵），使则称与相似，或相似于。按变换的观点，则称相似变换矩阵将相似变换为。,据此定义可知，同一个线性变换，当基改变后，它的矩阵表示也改变，但矩阵表示是相似的。同时我们注意到，相似变换矩阵就是线性空间中不同基间的过渡矩阵。,例21求线性空间的子空间,的一组基，并求线性变换,在该基下的矩阵表示。,解：,首先注意到自然基不符合要求（理由？），其次,所以要求的一组基是,所以,这里即为所求！,例22在多项式空间中，设定义线性变换,试求的一组基，使在该基下的矩阵为对角矩阵。,设所求基为，由于同一线性变换在不同基下的矩阵相似，因此有,解：,这里标准基在线性变换下的矩阵表示为,并且是过渡矩阵，即,由求得,因此所求基为,矩阵的特征值为,经验证可知线性变换确实满足,称矩阵为多项式的友矩阵，这里,例23对于多项式,当矩阵有两两不同的特征值时，可以验证，通过Vandermonde矩阵可以将矩阵的特征多项式的友矩阵相似变换为对角矩阵,这里,五、线性变换的值域与核,定义24设是数域上的线性空间上的线性变换。令,称是线性变换的值域，而是线性变换的核。的维数称为的秩，的维数称为的零度。,定理25设是数域上的线性空间上的线性变换。令在的一组基下的矩阵表示为，则（1）和都是的子空间；（2）（3）（4）,如果是线性无关的，则有，结论成立。,证明：（4）设，在中取一组基，根据扩充定理，将它扩充成的基，则,因为线性无关，所以,事实上，设，则从而,因此有,两点注意,（1）虽然，但一般地,（2）当且仅当，也即当且仅当时变换是可逆的。,例如对上的微商变换，有。但显然,例26*设线性变换在4维线性空间的基下的矩阵为,（2）求的一组基，把它扩充成的一组基，并求在这组基下的矩阵。,（1）求的一组基，把它扩充成的一组基，并求在这组基下的矩阵；,解：,（1）对任意,因此,解得基础解系,则的基为,将的基扩张为的基,由于,从而,所以在