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文档简介

利用导数研究函数的性质,主要内容：,一、函数的单调性，极值，最值,二、利用导函数的单调性研究函数图像的凹凸性,在研究函数特性时往往需要知道函数的直观图形，利用函数的一阶、二阶导数可以绘制出函数的较精细的图形.,下面来看导数的几何意义:,如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.,斜率!,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,单调性,导数的正负,函数及图象,切线斜率的正负,函数单调性与导数的关系？,负,正,负,正,在区间(a,b)上递增,在区间(a,b)上递减,正,正,负,负,f(x)0,f(x)0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.,函数的极值定义,如果对X0附近的所有点X，都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点X0处取极大值，记作y极大值=f(x0)；并把X0称为函数f(x)的一个极大植点。,函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点,已知函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点，,、,函数的最值,最大值：一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：任意的x属于I,都有f(x)M存在某个X满足f（x）=M，则称M是函数f（x）的最大值。最小值：一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足：任意的x属于I,都有f(x)M存在某个X满足f（x）=m，则称m是函数f（x）的最小值。对于一段在闭区间上连续的函数，通过把极值和两个端点值比较得到最值”,曲线弯曲方向凹凸性,观察右图：,切线的斜率越来越大,二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧；二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二阶导数为零，且两侧异号，是拐
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