25.1.3分类计数原理与分步计数原理.ppt

分类计数原理分步计数原理,分类计数原理与分步计数原理,问题1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,分析:从甲地到乙地有3类办法：,第一类方法,乘火车，有4种方法;,第二类办法,乘汽车，有2种方法;,第三类办法,乘轮船,有3种方法;,所以，从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法.,引入,问题2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,引入,S1,线路1,S2,S3,S4,线路2,路径类1-1,问题2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,引入,S1,线路1,S2,S3,S4,线路2,路径类1-2,问题2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,引入,S1,线路1,S2,S3,S4,线路2,路径类1-3,问题2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,引入,S1,线路1,S2,S3,S4,线路2,路径类2-1,问题2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,引入,S1,线路1,S2,S3,S4,线路2,解:从总体上看由A到B的通电线路可分二类,第一类,m1=3条；第二类,m2=1条.,问题2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,所以,从A到B共有N=3+1=4条不同的线路可通电.,引入,做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.,分类计数原理：,新授知识,问题3.如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?,A村,B村,C村,北,南,中,北,南,分析:从A村经B村去C村有2步：,第一步,由A村去B村有3种方法；,第二步,由B村去C村有2种方法.,所以，从A村经B村去C村共有32=6种不同的方法.,引入,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,引入,S1,线路1,S2,S3,S4,线路2,S5,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,路径-,引入,S1,线路1,S2,S3,S4,线路2,S5,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,路径-,引入,S1,线路1,S2,S3,S4,线路2,S5,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,路径-,引入,S1,线路1,S2,S3,S4,线路2,S5,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,路径-,引入,S1,线路1,S2,S3,S4,线路2,S5,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,路径-,引入,S1,线路1,S2,S3,S4,线路2,S5,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,路径-,引入,S1,线路1,S2,S3,S4,线路2,S5,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,解:从总体上看由A到B的通电线路可分两步：,第一步,m1=3段；,第二步,m2=2段.,所以,从A到B共有N=32=6条不同的线路可通电.,引入,做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1m2mn种不同的方法.,分步计数原理：,新授知识,第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2=4种不同的方法;,例1某班级有男三好学生5人,女三好学生4人.(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？,讲解例题,解：(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法：,第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1=5种不同的方法;,所以,根据分类计数原理,得到不同选法种数共有N=5+4=9种.,例1某班级有男三好学生5人,女三好学生4人.(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？,讲解例题,解：(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成：,点评:解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.“分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”.,第一步,选一名男三好学生,有m1=5种方法;,第二步,选一名女三好学生,有m2=4种方法;,所以,根据分步计数原理,得到不同选法种数共有N=54=20种.,例2书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？,第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法,例题讲解,解：从书架上任取一本书，有3类办法：,根据分类计数原理，不同取法的种数是N=m1+m2+m3=4+3+2=9答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法.,例2书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？,解：（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：,据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是Nm1m2m343224答：从书架的第1、2、3层各取1本，有24种不同的取法.,例题讲解,第1步从第1层取1本科技书，有4种方法；第2步从第2层取1本漫画书，有3种方法；第3步从第3层取1本文学书，有2种方法.,.,A,B,A,B,m1,m1,m2,m2,mn,mn,我们可以把分类计数原理看成“并联电路”;分步计数原理看成“串联电路”.如图:,理解1:,分类计数原理中的“分类”要全面,不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法.若完成某件事情有n类办法,即它们两两的交为空集,n类的并为全集.,分步计数原理中的“分步”程序要正确.“步”与“步”之间是连续的,不间断的,有顺序的，缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成.,在运用“分类计数原理、分步计数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准.在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏.,理解2:,课堂练习,1、一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产品有4种，外地产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？,解：完成这件事，有两类办法：第一类：从本地产品中买1台，有4种方法；第二类：从外地产品中买1台，有7种方法，根据分类计数原理，共有N=4+7=11种。,课堂练习,2、一个城市某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位数字式统一的，后四位数字是0到9之间的一个数字，那么不同的电话号码最多有多少个？,解：完成这件事需要分成4个步骤:第一步在第五位上任选0到9之间的一个数字，有10种选法；第二步在第六位上任选一个数字，有10种选法；第三步在第七位上任选一个数字，有10种选法；第四步在第八位上任选一个数字，有10种选法；根据分步计数原理，不同的电话号码最多共有N=10 x10 x10 x10=10000个。,3、如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的走法？,甲地,乙地,丙地,丁地,解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以m1=23=6种不同的走法;,第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以m2=42=8种不同的走法;,所以从甲地到丙地共有N=6+8=14种不同的走法.,课堂练习,课堂练习,4、（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动队，问不同报名方法的总数还是？（2）3个班分别从5个风景点中选择1处游览，问不同的选法总数还是？,解：（1）4名同学分别报名参加3个运动队，每名同学有3种报法，属“同学选择运动队”的问题，共有N=3x3x3x3种。（2）3个班分别从5个风景点选择1处游览，每个班有5种选法，属“班选择风景点”的问题，共有N=5x5x5种。,做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1m2mn种不同的方法.,分步计数原理：,做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的