2018北京西城区高三二模文科数学试题及答案

西城区高三模拟测试 数学（文科） 2018.5 第第卷卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的 四个选项中， 选 出符合题目要求的一项 1若集合，则下列结论中正确的是 |01Axx 2 |20Bx xx （A） AB （B）AB R （C）AB（D）BA 2复数 1 1i （A） 1i 22 （B） 1i 22 （C） 1i 22 （D） 1i 22 3下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是(0,) （A） 1 y x （B） 2 yx（C）cosyx（D）ln |yx 4某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的 侧棱长是 （A） 10 （B）11 （C） 4 10 （D）4 11 5向量在正方形网格中的位置如图所示 若向量与, ,a b cabc 共线，则实数 （A）2（B）1（C）1（D）2 6设，且则“”是“”的, a bR0ab 1ab 1 a b （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 7设不等式组 表示的平面区域为若直线上存在区域上的点， 1, 3, 25 x xy xy D0axyD 则实数的取值范围是a （A） 1 ,2 2 （B） 1 ,3 2 （C）1,2（D）2,3 8地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两个安 全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下： 安全出口编号A，BB，CC，DD，EA，E 疏散乘客时间（s）120220160140200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 （A）A（B）B（C）D（D）E 第第卷卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9函数的最大值是_ 1 |2 y x 10执行如右图所示的程序框图，输出的值为_k 11在中，则_ABC3a 2b 4 cos 5 B sin A 12双曲线的焦距是_；若圆与双曲线的渐近线 22 :1 916 yx C 222 (1)(0)xyrrC 相切，则_r 13为绿化生活环境，某市开展植树活动今年全年植树 6.4 万棵，计划 3 年后全年植树 12.5 万棵若植树的棵数每年的增长率均为，则_aa 14已知函数 其中.如果函数恰有两个零点，那么的取 2 ,1, ( ) 1 ,1, 2 x ax f x xa x aR( )f xa 值范围是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15 （本小题满分 13 分） 在等差数列和等比数列中， n a n b 11 1ab 22 ab 43 2ab （）求和的通项公式； n a n b （）求数列的前项和 nn abn n S 16 （本小题满分 13 分） 已知函数 cos2 ( ) sincos x f x xx （）求的定义域； ( )f x （）求的取值范围( )f x 17 （本小题满分 13 分） 在某地区，某项职业的从业者共约 8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病为了解 这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系，依据是否患有职业 病，使用分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整 理得到如下统计图：（）求样本中患病者的人数和图中 a，b 的值； （）试估计此地区该项身体指标检测值不低于 5 的从业者的人数； （III）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于 0 4.5X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种职业 0 X 0 X 病从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的 概率 18 （本小题满分 14 分） 如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，ABCDABEF ，为的中点，/ABCDEFABADGAB2CDDAAFFE4AB （）求证：平面；/DFBCE （）求证：平面平面；BCF GCE （）求多面体的体积AFEBCD 19 （本小题满分 13 分） 已知函数，曲线在处的切线经过点 ln ( ) x f xax x ( )yf x1x (2, 1) （）求实数的值；a （）设，求在区间上的最大值和最小值1b ( )f x 1 , b b 20 （本小题满分 14 分） 已知椭圆：的离心率为，经过点C 22 22 1 (0) xy ab ab 6 3 (0,1) （）求椭圆的方程； C （）设直线与椭圆交于，两点，斜率为的直线 与椭圆交于，两点，yxCABklCMN 与直线交于点（点与点，不重合） yxPPABMN （）当时，证明：；1k |PA PBPMPN （）写出以为自变量的函数式（只需写出结论） | | PA PB PMPN k 西城区高三模拟测试 数学（文科）参考答案及评分标准 2018.5 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 1C 2A 3D 4B 5D 6D 7B 8C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 9 10 11 1 2 5 9 10 12 ， 1325% 1410 3 5 1 2,) 2 注：第注：第 12 题第一空题第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分分. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. . 15 （本小题满分 13 分） 解：（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为 n ad n bq 依题意，得 2 1, 2(13 ). dq dq 2 分 解得 或 （舍去） 2, 3, d q 1, 0. d q 4 分 所以 ， 21 n an 1 3n n b 6 分 （）因为 ， 1 213n nn abn 7 分 所以 21 135(21)(1333) n n Sn 9 分 1(21)13 213 n nn 11 分 2 31 2 n n 13 分 16 （本小题满分 13 分） 解：（）由 ， sincos0 xx 2 分 得 ， 2sin()0 4 x 3 分 所以 ，其中 4 xkkZ 4 分 所以的定义域为 ( )f x |, 4 xxkkRZ 5 分 （）因为 22 cossin ( ) sincos xx f x xx 7 分 cossinxx 9 分 2cos() 4 x 11 分 由（）得 ，其中， 4 xkkZ 所以 ， 1cos()1 4 x 12 分 所以 的取值范围是 ( )f x(2,2) 13 分 17 （本小题满分 13 分） 解：（）根据分层抽样原则，容量为 100 的样本中，患病者的人数为 人 3.4 10040 8.5 2 分 ，10.100.350.250.150.100.05a 10.100.200.300.40b 4 分 （）指标检测值不低于 5 的样本中， 有患病者人，未患病者人，共 3740(0.300.40)2860(0.100.05)9 人 6 分 此地区该项身体指标检测值不低于 5 的从业者的人数约为 人 37 8500031450 100 8 分 （）当时，在 100 个样本数据中， 0 4.5X 有名患病者被误判为未患病， 40(0.100.20)12 10 分 有名未患病者被误判为患病者， 60(0.100.05)9 12 分 因此判断错误的概率为 21 100 13 分 18 （本小题满分 14 分） 解：（）因为 ，且，/CDEFCDEF 所以 四边形为平行四边形，CDFE 所以 2 分/DFCE 因为 平面， 3 分DF BCE 所以 平面 4 分/DFBCE （）连接 FG 因为 平面平面，平面平面，ABCD ABEFABCDIABEFABADAB 所以 平面， AD ABEF 所以 BFAD 6 分 因为 为的中点， GAB 所以 ，且；，且，/AG CDAGCD/EFBGEFBG 所以 四边形和四边形均为平行四边形AGCDBEFG 所以 ， 所以 /AD CGBFCG 7 分 因为 ，EFEB 所以 四边形为菱形，BEFG 所以 BFEG 8 分 所以 平面 BF GCE 9 分 所以 平面平面 BCF GCE 10 分 （）设 BFGEOI 由（）得 ，所以 平面，/DFCE/DFGCE 由（）得 ，所以 平面，/AD CG/ADGCE 所以 平面平面， /ADFGCE 所以 几何体是三棱柱 ADFGCE 11 分 由（）得 平面BF GCE 所以 多面体的体积 AFEBCD ADF GCEB GCE VVV 12 分 1 3 GCEGCE SFOSBO 48 3 33 GCE SFO 14 分 19 （本小题满分 13 分） 解：（）的导函数为， ( )f x 2 2 1 ln ( ) xax fx x 2 分 所以(1)1fa 依题意，有 ， (1)( 1) 1 12 f a 即 ， 1 1 12 a a 4 分 解得 1a 5 分 （）由（）得 2 2 1ln ( ) xx fx x 当时，所以，故单调递增；0 1x 2 10 xln0 x( )0fx( )f x 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减 ( )f x(0,1)(1,) 8 分 因为 ， 所以 最大值为 1 01b b ( )f x(1)1f 9 分 设 ，其中 111 ( )( )( )()lnh bf bfbbb bbb 1b 10 分 则 ， 2 1 ( )(1)ln0h bb b 故 在区间上单调递增 ( )h b(1,) 11 分 所以 ， 即 ， ( )(1)0h bh 1 ( )( )f bf b 12 分 故 最小值为 ( )f x 11 ( )lnfbb bb 13 分 20 （本小题满分 14 分） 解：（）设椭圆的半焦距为依题意，得Cc ， ， 且 6 3 c a 1b 222 abc 2 分 解得 3a 3 分 所以 椭圆的方程是 C 2 2 1 3 x y 4 分 （） （）由 得， 22 , 33, yx xy 33 (,) 22 A 33 (,) 22 B 5 分 时，设直线 的方程为1k lyxt 由 得 22 , 33, yxt xy 22 46330 xtxt 6 分 令，解得 22 3648(1)0tt 2 4t 设 ， 1122 (,),(,)M x yN xy 则 ， 12 3 2 t xx 2 12 33