高中新课程数学(人教)二轮复习专题第一部分 专题复习讲义《1-3-2数列的综合应用》课件

第2课时数列的综合应用,1数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列,(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和,2数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型an，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.,(2012浙江卷)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.,解析：(1)由Sn2n2n，得当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn14n1.所以an4n1，nN*由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nN*，所以Tn3721122(4n1)2n1，2Tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1(4n5)2n5故Tn(4n5)2n5，nN*.,(1)在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和(2)用错位相减法求和时，应注意要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式,数列与函数、方程的综合问题一般与函数的性质与图象、方程的解、数列中的基本运算等相联系，解决此类问题首先要实现三个方向的转化：(1)函数条件的转化，直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量x换为n即可；(2)方程条件的转化，一般要根据方程解的有关条件进行转化；(3)数列向函数的转化，可将数列中的问题转化为函数的相应问题求解，但要注意自变量取值范围的限制对于数列中的最值、范围等问题的求解，可转化为相应函数的单调性或利用方程有解的条件来求解,2数列an中，a1t，a2t2，其中t0且t1，x是函数f(x)an1x33(t1)anan1x1(n2)的一个极值点(1)证明：数列an1an是等比数列；(2)求an.,(2012湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示),在数列应用题中，如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型即为等差模型，增加(或减少)的量就是公差，则可把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，然后用等差数列知识对模型解析，最后再返回实际中去；如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比，解此类题型的思路同等差数列模型；如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑an与an1的递推关系，或考虑前n项和Sn与Sn1的递推关系,3某市投资甲、乙两个工厂，2011年两工厂的年产量均为100万吨，在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第n年比上一年增加2n1万吨记2011年为第一年，甲、乙两工厂第n年的年产量分别记为an，bn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底其中一个工厂将被另一工厂兼并,解析：(1)因为an是等差数列，a1100，d10，所以an10n90.因为bnbn12n1，bn1bn22n2，b2b12，所以bn1002222n12n98.(2)当n5时，anbn且an2bn.当n6时，anbn，所以甲工厂有可能被乙工厂兼并2anbn即2(10n90)2n98，解得n8，故2018年底甲工厂将被乙工厂兼并,新情境、新定义下的数列问题在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一类问题，这类问题一般形式新颖，常给人耳目一新的感觉对于这类问题，我们只要弄清其本质，然后根据所学的等差数列、等比数列的性质即可快速解决,方法二：取x为1,2,4，则1,2,4成等比数列；对于函数f(x)2x，有f(1)2，f(2)22，f(4)24，所以f(1)f(4)f(2)2，故函数f(x)2x不是“保等比数列函数”，可排除A，D；对于函数f(x)ln|x|，有f(1)0，f(2)ln2，f(4)ln4，所以f(1)f(4)f(2)2，故函数f(x)ln|x|不是“保等比数列函数”，可排除B.应选C.答案：C,本题以等比数列与基本初等函数知识为背景，给出了一个新的概念“保等比数列函数”，把函数与数列两知识块自然地融合在一起，解答本题可以选择对四个函数逐一推理论证其是否满足“保等比数列函数”的定义，见方法一；还可以利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，对所给的函数选取特殊值，见方法二,若数列An：a1，a2，an(n2，nN*)满足|ak1ak|1(k1,2，n1)，则称An为E数列记S(An)a1a2an.(1)写出一个E数列A5，满足a1a30；(2)若a112，n2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an2011.,解析：(1)0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列A5.(答案不唯一，0，1,0,1,0；0，1,0,1,2；0，1,0，1，2；0，1,0，1,0都是满足条件的E数列A5)(2)证明：必要性：因为E数列An是递增数列，所以ak1ak1(k1,2，1999)，所以An是首项为12，公差为1的等差数列，所以a20