上海市嘉定区2016届高考数学一模试卷(理科)-Word版含解析

2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分1=2设集合A=x|x22x0，xR，则AB=3若函数f（x）=ax（a0且a1）的反函数的图象过点（3，1），则a=4已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是5在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）6若圆锥的底面周长为2，侧面积也为2，则该圆锥的体积为7已知，则cos（30+2）=8某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是9过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线axy+1=0垂直，则实数a的值为10甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是11已知直角梯形ABCD，ADBC，BAD=90AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为12已知nN*，若，则n=13对一切实数x，令x为不大于x的最大整数，则函数f（x）=x称为取整函数若，nN*，Sn为数列an的前n项和，则=14对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间a，b，使得y=f（x）在a，b上的值域也是a，b，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭如果函数（k0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分15“函数y=sin（x+）为偶函数”是“=”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16下列四个命题：任意两条直线都可以确定一个平面；若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；若直线l上有一点在平面外，则l在平面外其中错误命题的个数是（）A1B2C3D417已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A4B3C2D118已知数列an的通项公式为，则数列an（）A有最大项，没有最小项B有最小项，没有最大项C既有最大项又有最小项D既没有最大项也没有最小项三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19如图，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液现将此容器倾斜一定角度（图），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图、均为容器的纵截面）（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当=60时，能实现要求吗？请说明理由20已知xR，设，记函数（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，求ABC的面积S的最大值21设函数f（x）=kaxax（a0且a1）是奇函数（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2x+a2x2mf（x）在区间1，+）上的最小值为2，求实数m的值22在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（1，0）的距离与P到定直线x=4的距离之比为（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0m2）的距离的最小值为1，求m的值（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由23设复数zn=xn+iyn，其中xnynR，nN*，i为虚数单位，zn+1=（1+i）zn，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列xnyn的前102项之和2016年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分1=【考点】极限及其运算【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用【分析】分式的分子分母同时除以n2，利用极限的性质能求出结果【解答】解：=故答案为：【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极限性质的合理运用2设集合A=x|x22x0，xR，则AB=x|1x0，xR（或1，0）【考点】交集及其运算【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；集合【分析】化简集合A、B，再计算AB【解答】解：集合A=x|x22x0，xR=x|x0或x2，xR，=x|1x1，xR，AB=x|1x0，xR（或1，0）故答案为：x|1x0，xR（或1，0）【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目3若函数f（x）=ax（a0且a1）的反函数的图象过点（3，1），则a=【考点】反函数【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】利用互为反函数的性质即可得出【解答】解：函数f（x）=ax（a0且a1）的反函数的图象过点（3，1），3=a1，解得a=故答案为：【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是2【考点】极差、方差与标准差【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】由一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，先求出m=10，由此能求出这组数据的方差【解答】解：一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，解得m=10，这组数据的方差S2= （68）2+（78）2+（88）2+（98）2+（108）2=2故答案为：2【点评】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用5在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与B1C所成的角【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（0，1，2），=（2，0，2），设异面直线AM与B1C所成的角为，cos=异面直线AM与B1C所成的角为arccos故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用6若圆锥的底面周长为2，侧面积也为2，则该圆锥的体积为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】数形结合；综合法；立体几何【分析】根据底面周长计算底面半径，根据侧面积计算母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算体积【解答】解：圆锥的底面周长为2，圆锥的底面半径r=1，设圆锥母线为l，则rl=2，l=2，圆锥的高h=圆锥的体积V=r2h=故答案为：【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题7已知，则cos（30+2）=【考点】二阶矩阵；三角函数的化简求值【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换【分析】由二阶行列式展开式得到cos（75）=，再由诱导公式得cos（30+2）=cos1802（75），由此利用二倍角公式能求出结果【解答】解：，cos75cos+sin75sin=cos（75）=，cos（30+2）=cos1802（75）=cos2（75）=2cos2（75）1=21=故答案为：【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开式、诱导公式、倍角公式的性质的合理运用8某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，不满足条件k2015，退出循环，输出S的值，从而得解【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0满足条件k2015，S=，k=2满足条件k2015，S=+，k=3满足条件k2015，S=+，k=2015满足条件k2015，S=+，k=2016不满足条件k2015，退出循环，输出S的值由于S=+=1+=1=故答案为：【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，用裂项法求S的值是解题的关键，属于基本知识的考查9过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线axy+1=0垂直，则实数a的值为【考点】圆的切线方程【专题】分类讨论；转化思想；综合法；直线与圆【分析】先判断a0，可得要求的直线的方程为 y2=（x1），即 xay+2a1=0，再根据圆心O到xay+2a1=0的距离等于半径2，求得a的值【解答】解：当a=0时，直线axy+1=0，即直线y=1，根据所求直线与该直线垂直，且过点P（1，2），故有所求的直线为x=1，此时，不满足所求直线与圆x2+y2=4相切，故a0故要求的直线的斜率为，要求的直线的方程为 y2=（x1），即 xay+2a1=0再根据圆心O到xay+2a1=0的距离等于半径2，可得=2，求得a=，故答案为：【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题10甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种，找出第3次球恰好传回给甲的情况，由此能求出经过3次传球后，球仍在甲手中的概率【解答】解：用甲乙丙甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲乙甲乙；甲乙甲丙；甲乙丙甲；甲乙丙乙；甲丙甲乙；甲丙甲丙；甲丙乙甲；甲丙乙丙；则共有8种传球方法第3次球恰好传回给甲的有两种情况，经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是p= 故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用11已知直角梯形ABCD，ADBC，BAD=90AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为3【考点】平面向量数量积的运算【专题】应用题；数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】先建立坐标系，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设P（0，b）（0b1），根据向量的坐标运算和模的计算得到， =3，问题得以解决【解答】解：如图，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（2，0）设P（0，b）（0b1）则=（1，1b），=（2，b），+=（3，12b），=3，当且仅当b=时取等号，的最小值为3，故答案为：3【点评】此题是个基础题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力12已知nN*，若，则n=4【考点】二项式定理的应用【专题】转化思想；综合法；二项式定理【分析】由题意可得2+22+23+2n1+2n=402，即（1+2）n1=80，由此求得n的值【解答】解：nN*，若，则2+22+23+2n1+2n=402，即（1+2）n1=80，n=4，故答案为：4【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题13对一切实数x，令x为不大于x的最大整数，则函数f（x）=x称为取整函数若，nN*，Sn为数列an的前n项和，则=100【考点】数列的求和【专题】转化思想；分类法；等差数列与等比数列【分析】=，nN*，当n=1，2，9时，an=0；当n=10，11，12，19时，an=1；，即可得出S2009【解答】解： =，nN*，当n=1，2，9时，an=0；当n=10，11，12，19时，an=1；，S2009=0+110+210+19910+20010=10=，则=100故答案为：100【点评】本题考查了取整函数、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间a，b，使得y=f（x）在a，b上的值域也是a，b，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭如果函数（k0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是（1，+）【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由题意便知方程组至少有两个解，从而可得到至少有两个解，从而有k=1+|x|1，这样即求出k的取值范围【解答】解：根据题意知方程至少有两个不同实数根；即至少有两个实数根；k=1+|x|1；实数k的取值范围为（1，+）故答案为：（1，+）【点评】考查对一个函数在定义域上封闭的理解，清楚函数y=x的定义域和值域相同二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分15“函数y=sin（x+）为偶函数”是“=”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：若=时，y=sin（x+）=cosx 为偶函数；若y=sin（x+）为偶函数，则=+k，kZ；“函数y=sin（x+）为偶函数”是“=”的必要不充分条件，故选B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大16下列四个命题：任意两条直线都可以确定一个平面；若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；若直线l上有一点在平面外，则l在平面外其中错误命题的个数是（）A1B2C3D4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】两条异面直线不能确定一个平面；若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交；若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面；若直线l上有一点在平面外，则由直线与平面的位置关系得l在平面外【解答】解：在中，两条异面直线不能确定一个平面，故错误；在中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故错误；在中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体SABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故错误；在中，若直线l上有一点在平面外，则由直线与平面的位置关系得l在平面外，故正确故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用17已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A4B3C2D1【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】画出图形，可根据条件设，并可得出圆M的半径，从而得出圆M的方程为，这样令x=0便可求出y，即求出A，B点的坐标，根据A，B点的坐标便可得出|AB|【解答】解：如图，圆心M在抛物线y2=4x上；设，r=；圆M的方程为：；令x=0，；y=y02；|AB|=y0+2（y02）=4故选：A【点评】考查抛物线上的点和抛物线方程的关系，圆的半径和圆心，以及圆的标准方程，直线和圆的交点的求法，坐标轴上的两点的距离18已知数列an的通项公式为，则数列an（）A有最大项，没有最小项B有最小项，没有最大项C既有最大项又有最小项D既没有最大项也没有最小项【考点】数列的函数特性【专题】探究型【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，内层是指数函数，由指数函数的性质可以求出t的大致范围，在求出的范围内分析二次函数的最值情况【解答】解：令，则t是区间（0，1内的值，而=，所以当n=1，即t=1时，an取最大值，使最接近的n的值为数列an中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项故选C【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了换元法，解答此题的关键是由外层二次函数的最值情况断定n的取值，从而说明使数列取得最大项和最小项的n都存在，属易错题三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19如图，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液现将此容器倾斜一定角度（图），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图、均为容器的纵截面）（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当=60时，能实现要求吗？请说明理由【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】转化思想；数形结合法；立体几何【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形，过C作CFBP，交AD所在直线于F，且点F在线段AD上，用tan表示出DF、AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出时的最大值；（2）当=60时，过C作CFBP，交AB所在直线于F，则点F在线段AB上，溶液纵截面为RtCBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，过C作CFBP，交AD所在直线于F，在RtCDF中，FCD=，CD=20cm，DF=20tan，且点F在线段AD上，AF=3020tan，此时容器内能容纳的溶液量为：S梯形ABCF20=20=（3020tan+30）2010=2000（62tan）（cm3）；而容器中原有溶液量为202020=8000（cm3），令2000（62tan）8000，解得tan1，所以45，即的最大角为45时，溶液不会溢出；（2）如图b所示，当=60时，过C作CFBP，交AB所在直线于F，在RtCBF中，BC=30cm，BCF=30，BF=10cm，点F在线段AB上，故溶液纵截面为RtCBF，SABF=BCBF=150cm2，容器内溶液量为15020=300cm3，倒出的溶液量为（80003000）cm33000cm3，不能实现要求【点评】本题考查了棱柱的体积在生产生活中的实际应用问题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是综合性题目20已知xR，设，记函数（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，求ABC的面积S的最大值【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理【专题】综合题；转化思想；向量法；综合法；解三角形【分析】（1）先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f（x）=，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出ab3，根据三角形的面积公式即可求出答案【解答】解：（1）= 当f（x）取最小值时，kZ，所以，所求x的取值集合是 （2）由f（C）=2，得，因为0C，所以，所以， 在ABC中，由余弦定理c2=a2+b22abcosC，得3=a2+b2abab，即ab3，所以ABC的面积，因此ABC的面积S的最大值为【点评】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式和两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题21设函数f（x）=kaxax（a0且a1）是奇函数（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2x+a2x2mf（x）在区间1，+）上的最小值为2，求实数m的值【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用【分析】（1）方法一、由奇函数的性质：f（0）=0，解方程可得k=1，检验成立；方法二、运用奇函数的定义，由恒等式的性质即可得到k=1；（2）求得a=3，即有g（x）=32x32x2m（3x3x），令t=3x3x，则t是关于x的增函数，可得，h（t）=t22mt+2=（tm）2+2m2，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得m的值【解答】（1）解法一：函数f（x）=kaxax的定义域为R，f（x）是奇函数，所以f（0）=k1=0，即有k=1 当k=1时，f（x）=axax，f（x）=axax=f（x），则f（x）是奇函数，故所求k的值为1；解法二：函数f（x）=kaxax的定义域为R，由题意，对任意xR，f（x）=f（x），即kaxax=axkax，（k1）（ax+ax）=0，因为ax+ax0，所以，k=1 （2）由，得，解得a=3或（舍） 所以g（x）=32x32x2m（3x3x），令t=3x3x，则t是关于x的增函数，g（x）=h（t）=t22mt+2=（tm）2+2m2，当时，则当时，解得； 当时，则当t=m时，m=2（舍去）综上，【点评】本题考查奇函数的定义和性质的运用，考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和二次韩寒说的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题22在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（1，0）的距离与P到定直线x=4的距离之比为（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0m2）的距离的最小值为1，求m的值（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线距离公式能求出动点P的轨迹C的方程（2）设N（x，y），利用两点间距离公式能求出m（3）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由点A、B在椭圆C上，得，由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值 法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（x1，y1），B1（x2，y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值 法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（x1，y1），B1（x2，y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得由此利用行列式性质及椭圆的对称性，能求出四边形ABA1B1的面积为定值【解答】解：（1）设P（x，y），动点P到定点F（1，0）的距离与P到定直线x=4的距离之比为，由题意，化简得3x2+4y2=12，动点P的轨迹C的方程为 （2）设N（x，y），则=，2x2 当04m2，即时，当x=4m时，|MN|2取最小值3（1m2）=1，解得，此时，故舍去 当4m2，即时，当x=2时，|MN|2取最小值m24m+4=1，解得m=1，或m=3（舍） 综上，m=1（3）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得，点A、B在椭圆C上，=，化简得 当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2=y1，则，由，得，解得，S=|AB|A1B|=4|x1|y1|= 当x1x2时，直线AB的方向向量为，直线AB的方程为（y2y1）x（x2x1）y+x2y1x1y2=0，原点O到直线AB的距离为AOB的面积，根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S=4SAOB=2|x1y2x2y1|，=，四边形ABA1B1的面积为