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二阶三点数值微分公式的外推算法2 二阶三点数值微分公式的外推算法 下面给出问题的条件： 设为定义在区间上的函数，给定在节点处的函数值为。设,为等距节点，即且在的某邻域内任意次可微，在的某邻域内具有连续的4阶导数，即。目前的教材都给出公式： 其中为2次lagrange插值多项式。1） 中间节点的二阶数值微分公式的外推算法根据已知条件，利用（1）式可得中间一点的二阶数值微分公式利用Taylor公式，分别将 和 在 内展开称泰勒级数： 将（3）、（4）代入（2）式右端后整理，得记有（4）记，有对于固定的，显然是与h无关的常数。故上面的误差估计式，即（5）式符合Richardson外推算法，所以有（6）由。整理得记，得以此类推，一直外推可得递推序列如下其中的阶段误差为。即利用Richardson外推算法经k次外推后得到高精度的二阶数值微分公式，将截断误差由原来的减小到2） 左边节点的二阶数值微分公式的外推算法根据已知条件，利用（1）式可得中间一点的二阶数值微分公式（7）利用Taylor公式有:（8）其中 （9）其中将（8）、（9)代入（7）式右端后整理，得记。有记，有（10）对于固定的，显然是与无关的常数。故上面的误差估计式，即（10）可利用RIchardson外推法外推一次得（11）由2（11）-（10），整理得记得。其中，所以外推后的截断误差为由推导过程可以看出，截断误差的渐进展开式中多项式各项次数的变化大小，利用RIchardson外推算法外推时收敛阶数提高不明显，所以利用Taylor公式展开时只展开到四阶。3） 右左边节点的二阶数值微分公式的外推算法根据已知条件，利用（1）式可得中间一点的二阶数值微分公式利用Taylor公式有:其中将(13)、(14)代入（12）式右端后整理，得记有记，有对于固定的，显然是与无关的常数。故上面的误差估计式，即（10）可利用RIchardson
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