matlab实验报告--定积分的近似计算 -

数学实验报告实验编号： 2天： 2013年11月30日班级数两班姓名丁慧娜学号1101114088实验名称定积分的近似计算用于实验的软件和版本MATLAB R2012b问题背景说明：利用牛顿莱布尼茨公式，可以正确地计算定积分的值，但只适用于积分函数的元函数能够用初等函数表现的情况。 如果不能或者不能，就需要考虑近似计算的方法。 在定积分的许多应用问题中，积分函数没有解析表达式，可能是一组实验记录曲线或离散样本值，但在这种情况下，只能应用近似方法来计算相应的定积分实验目的：1 .本实验主要研究定积分三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。2 .加深理解积分运算中的分割、近似、加法、界限的想法。3 .学习3.fulvu2sum.m的编程方法，用函数sum改写附录1和附录3的程序，避免for循环。实验原理和数学模型：1 .矩形法根据定积分的定义，各积分之和是定积分的近似值，即几何学上是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，因此将该近似计算方法称为矩形法，但仅在积分区间被细微地分割的情况下，矩形法的精度恒定.计算结果因方法而异。(1)左点法：等分区间，在区间里拿左端的点，马上就拿。(2)右点法：用同(1)划分区间，在区间上取右端点，即取。(3)中点法：用同(1)区分区间，在区间上取中点，即取。2 .梯形法等分区间，对应函数值为().曲线上的对应点是()用点、弦(线性函数)替换曲线各段的弧。 这样，每个顶部曲线边的梯形就成为真梯形，其面积如下是.各个小梯形面积之和成为曲边梯形面积的近似值，也就是说这个式子叫做梯形。3 .抛物线法等分积分区间，按照点的顺序、对应函数值为()、曲线上的对应点请参阅()现在把区间上的曲线段用作三点的抛物线相反近似，从函数中求出固定积分代入上式进行整理的话同样的加上这个积分，得到本来应该计算的定积分的近似值，即，即这是抛物线法的公式，也称为辛普森式主要内容(要点):1 .分别采用梯形法和抛物线法计算，取函数trapz ()、quad ()直接计算，比较结果差异2 .请试着计算定积分。 (注意：我可以用trapz ()、quad ()或附录程序解答吗？ (为什么？)3 .学习3.fulvu2sum.m的编程方法，用函数sum改写附录1和附录3的程序，避免for循环。实验过程的记录(包括基本步骤、主要步骤列表、异常状况记录等):1 :梯形法format long (格式长)n=120； a=1； b=2；syms x fxfx=1/x；i=1:n；xj=a (i-1)*(b-a)/n； %所有左点的数组xi=a i*(b-a)/n； %所有右点的数组fxj=subs(fx，x，xj) %所有左侧值fxi=subs(fx，x，xi) %所有右点值f=(fxi fxj)/2*(b-a)/n； %梯形面积inum=sum(f) %加法和梯形面积计算integrate=int(fx，1，2 )integrate=双精度(integrate )fprintf (therelectivererrenterrerrerrenterrorbetweeninumandreal-valueisabout : % g/n/n .abs(inum-integrate)/integrate ) )【调试结果】TXFinum=0.693151520800048integrate=0.693147180559945thereleartivererelecortivebetweeninumandreal-valueisabout :6.26164 e-06/n/n抛物线法：%抛物线法format long (格式长)n=120； a=1； b=2；inum=0；syms x fxfx=1/x；for i=1:nxj=a (i-1)*(b-a)/n； %左点xi=a i*(b-a)/n； %右点xk=(xi xj)/2； %中点fxj=subs(fx，x，xj )fxi=subs(fx，x，xi )fxk=subs(fx，x，xk )inum=inum (fxj4* fxxk fxi ) * (b-a )/(6* n )结束inum公司integrate=int(fx，1，2 )integrate=双精度(integrate )fprintf (therelectivererrenterrerrerrenterrorbetweeninumandreal-valueisabout : % g/n/n .abs(inum-integrate)/integrate ) )【调试结果】clearPWXFinum=0.693147180569364therelectivererrenterrerrementbetweeninumadreal-valueisabout :1.358686 e-11/n/n使用函数trapz ()x=1:1/120:2；y=1./x；trapz(x，y )【调试结果】ans=0.69315152080005使用函数quad ()quad(1./x，1，2 )【调试结果】ans=0.693147199862972:使用函数trapz ()x=1:1/120:inf；y=sin(x)./x；trapz(x，y )【调试结果】？错误使用=colonmaximingvarivalizationaldbytheprogramingisexceeded .maximingvar使用函数quad ()四边形(sin (x )./x，0，inf )【调试结果】ans=楠程序法%矩阵法format long (格式长)n=inf； a=0； b=inf；syms x fxfx=sin(x)./x；i=1:n；xj=a (i-1)*(b-a)/n； %左点xi=a i*(b-a)/n； %右点xij=(xi xj)/2；fxj=subs(fx，x，xj) %左点值fxi=subs(fx，x，xi) %右点值fxij=subs(fx，x，xij) %中点值f1=fxj*(b-a)/n；f2=fxi*(b-a)/n；f3=fxij*(b-a)/n；inum1=sum(f1)inum2=sum(f2)inum3=sum(f3)integrate=int(fx，0，inf )integrate=双精度(integrate )fprintf (therelectivererrenterrerrorbetweeninum1andreal-valueisabout : % gnn .ABS (inum1- integrate )/integrate ) )fprintf (therelectiverrenterrerrorbetweeninum2andreal-valueisabout : % gnn .ABS (inum2- integrate )/integrate ) )fprintf (therelectiverrenterrerrorbetweeninum3andreal-valueisabout : % gnn .ABS (inum3- integrate )/integrate ) )【调试结果】maximingvarivalizationaldbytheprogramingisexceeded .maximingvar错误in cxf (line6)i=1:n；使用matlab命令syms x； f=sin(x)/x； I=int(f，0，inf )【调试结果】I=1/2*pi3 :矩形法：使用总函数%矩阵法format long (格式长)n=100； a=0； b=1；syms x fxfx=1/(1 x2)i=1:n；xj=a (i-1)*(b-a)/n； %左点xi=a i*(b-a)/n； %右点xij=(xi xj)/2；fxj=subs(fx，x，xj) %左点值fxi=subs(fx，x，xi) %右点值fxij=subs(fx，x，xij) %中点值f1=fxj*(b-a)/n；f2=fxi*(b-a)/n；f3=fxij*(b-a)/n；inum1=sum(f1)inum2=sum(f2)inum3=sum(f3)integrate=int(fx，0，1 )integrate=双精度(integrate )fprintf (therelectiverrenterrerrorbetweeninum1andreal-valueisabout : % gnn .ABS (inum1- integrate )/integrate ) )fprintf (therelectiverrenterrerrorbetweeninum2andreal-valueisabout : % gnn .ABS (inum2- integrate )/integrate ) )fprintf (therelectiverrenterrerrorbetweeninum3andreal-valueisabout : % gnn .ABS (inum3- integrate )/integrate ) )【调试结果】txfinum1=0.78787993996730782inum2=0.7828973996730782inum3=0.785400246730781therelativeerrorbetweeninum1andreal-valueisabout :00317779therelativeerrorbetweeninum2andreal-valueisabout :0031884therelativeerrorbetweeninum3andreal-valueisabout :65258 e-06抛物线法：使用总函数抛物线format long (格式长)n=100； a=0； b=1；syms x fxfx=1/(1 x2)i=1:n；xj=a (i-1)*(b-a)/n； %左点xi=a i*(b-a)/n； %右点xij=(xi xj)/2；fxj=subs(fx，x，xj) %左点值fxi=subs(fx，x，xi) %右点值fxij=subs(fx，x，xij) %中点值f=(fxj4*fxxi)*(b-a)/(6*n )inum=sum(f )integrate=int(fx，0，1 )integrate=双精度(integrate )fprintf (therelectivererrenterrerrerrenterrorbetweeninumandreal-valueisabout : % gnn .abs(inum-integrate)/integrate ) )【调试结果】pwxf2inum=0.785398163397448therelerativererenterremerebetweeninumandreal-valueisabout :82716 e-16【状况记录】1、函数trapz ()和quad ()刚开始使用，函数trapz ()不知道乘积函数是数值格式，并且总是发生错误。 如果使用数组计算分配应用点，则会出错，无法调试结果。2、使用函数trapz ()、quad ()和附录程序求解的话，难以理解问题的意思，运算时容易出错，不能调试得到正确答案。 最后用matlab命令的符号尝试积分得到了正确的结果。3、了解了矩形法、梯形法、抛物线法的提案方