2012届高考数学文科考点专题复习课件——数列的求和

基础知识1等差数列前n项和Sn na1d，推导方法： ；等比数列前n项和Sn 推导方法： ,倒序相加法,乘公比，错位相减,2常见数列的前n项和：123n 2462n ；135(2n1) ；122232n2 132333n3 无穷等比(|q|1)数列各项和S .,n2n,n2,3数列求和的常见方法有：(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(4)倒序相加：例如：等差数列前n项和公式的推导方法,4常见的拆项公式有：,(7)nn！ n！； (8)anSnSn1(n2),(n1)！,易错知识一、利用公式求和不注意项数易出错1S1222232n_答案：2n11二、不注意分类易出错2Sa2a23a3nan(aR)_.,答案：A,答案：B,3(教材改编题)数列9,99,999，的前n项和为(),解析：9101,991021,9991031，所求数列的和为Sn(101)(1021)(1031)(10n1)(1010210310n)n答案：D,4(2011原创题)已知数列an的前n项和Snn2.则,【例1】已知an是等比数列，a12，a454；bn是等差数列，b12，b1b2b3b4a1a2a3.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn的公式；(2)求数列bn的通项公式；(3)设Unb1b4b7b3n2，其中n1,2，求U10的值,解析(1)设数列an的公比为q，由a4a1q3得q3 27，q3，所以数列an的通项公式为an23n1，数列an的前n项和公式Sn 3n1， (2)设数列bn的公差为d，b1b2b3b44b1 d86d.由b1b2b3b4a1a2a322323226.得86d26，d3，所以bnb1(n1)d3n1.,(3)b1，b4，b7，b3n2组成以3d为公差的等差数列，所以U1010b1 3d425.,(2009四川)求数列1,35,7911,13151719，的前n项和分析：依其结构特征知，只须求出和式中的最后一个奇数，便知其和为前n个奇数之和，又由于数列中各项的奇数的个数与项数一致，从而知各项的奇数个数构成的数列1,2,3，n，可以由此入手解答,解析：解法一：由于该数列的前n项共有123n 个奇数，最末一个数字应为2 1n2n1，Sn,解法二：依该数列的排列特征可知，第n项an中的第一个奇数是第123(n1)1 1个奇数，这个奇数是 1n2n1，从而推知第n项an中的第n个(末位)数字是n2n12(n1)n2n1，故Sna1a2a3an132333n3,总结评述：根据所给的结构特征，寻找项数之间的规律，是实现问题转化的主要途径而转化求和又是研究和探求数列求和问题的重要手段.,【例2】(2009北京朝阳4月)已知数列an的前n项和为Sn，点(n， 在直线y 上数列bn满足bn22bn1bn0(nN*)，且b311，前9项和为153.(1)求数列an、bn的通项公式； (2)设cn 数列cn的前n项和为Tn，求使不等式Tn 对一切nN*都成立的最大正整数k的值；,注意到n1时，a1S16，而当n1时，n56，所以ann5(nN*)又bn22bn1bn0，即bn2bn1bn1bn(nN*)，,所以bn为等差数列，于是 153.而b311，故b723，d 3，因此bnb33(n3)3n2，即bn3n2(nN*),因此Tn单调递增，故(Tn)min 令 得k19，所以kmax18.,在数列an中， 又bn 求数列bn的前n项的和,数列bn的前n项的和,总结评述：对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常采用“裂项求和法”，分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去了哪些项，保留哪些项.,错位相减法就是推导等比数列前n项和公式的方法一般地，若an是等差数列，bn是等比数列，则求anbn的前n项和一般采用此法此法有特定的操作程序，要注意熟练掌握基本技能,【例3】(2007山东，17)设数列an满足a13a232a33n1an ，nN*. 1)求数列an的通项公式；(2)设bn ，求数列bn的前n项和Sn.,解析(1)a13a232a33n1an ， 当n 2时，a13a232a33n2an1 ，得3n1an ，an 在中，令n1，得a1 .an,(2)bn ，bnn3n.Sn3232333n3n.3Sn32233334n3n1.，得2Snn3n1(332333n)，即2Snn3n1,设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313.(1)求an，bn的通项公式；(2)求数列 的前n项和Sn.,解析：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且 解得d2，q2.所以，an1(n1)d2n1，bnqn12n1.,【例4】已知数列an的前n项和Sn(n1)2n1，是否存在等差数列bn，使an 对一切自然数n均成立？,解析由公式an 依条件先求出an的通项，再由倒序相加法得出结论当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1(n1)2n1(n2)2n112n1(2n2n2)n2n1.因a11满足n2时an的式子，,ann2n1(nN*)假设存在等差数列bn满足条件，设b00，且bn(nN*)仍成等差数列，则令bnn，显然n0时，b00，故存在等差数列bn满足已知等式,设f(x) 利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(12)f(11)f(10)f(0)f(11)f(12)f(13)的值为(),令S26f(12)f(11)f(10)f(0)f(11)f(12)f(13)又S26f(13)f(12)f(11)f(11)f(12)则2S26f(12)f(13)f(11)f(12)f(13)f(12) 故选D. 答案：D,1在直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式推导过程中蕴含的数学思想2注意观察数列的特点和规律，将一般数列求和转化为基本数列求和3方程思想、函数思想、化归思想、整体思想、分类讨论等数学思想在本节内容中得到了广泛的应用，尤其是运用化归的思想将问题转化为等差、等比数列问题来研究，是解答数列综合问题的最基本的思路,请同学们认真完成课后强化作业,基础知识一、等差、等比数列的综合问题(1)若an是等差数列，则数列can(c0，c1)为数列；(2)若an为正项等比数列，则数列logcan(c0，c1)为 数列；(3)若an既是等差数列又是等比数列，则数列an为 ,等比,等差,常数列,二、与银行利率相关的几类模型1银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y 2银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y .3产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y .,axara(1xr),a(1r)x,N(1p)x,4分期付款模型a为贷款总额，r为月利率，b为月等额本息还款数，n为贷款月数，则b,易错知识一、审题错误1已知an是递增数列，且对任意xN*，都有ann2n恒成立，则实数的取值范围是()A( ，)B(0，)C2， ) D(3，)答案：D,解题思路：an是递增数列，an1an，即(n1)2(n1)n2n.2n1对于nN*恒成立，而2n1在n1时取得最大值3，3，故选D.错因分析：数列是特殊的函数，可以用动态函数的观点研究数列，但必须时刻注意其“特殊”性，即：定义域为nN*.本题常出现如下错误：,错解：ann2n(n ，对称轴n 当n1时为递增数列，则 从而得2.故选C.,二、实际应用错误2假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到另一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?,解析：(1)设中低价房面积形成数列an，由题意可知an是等差数列，其中a1250，d50，则Sn250n 5025n2225n.令25n2225n4750，即n29n1900，而n是正整数，n10.到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米,(2)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400(1.08)n1，由题意可知an0.85bn，有250(n1)50400(1.08)n10.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n6.到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.,回归教材1(教材P1146题改编)夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0.7，已知山顶气温是14.1，山脚的气温是26，那么此山相对于山脚的高度是()A1500米B1600米C1700米D1800米解析：因a126，an14.1，d0.7.ana1(n1)d，14.126(n1)(0.7)n18，其高度为(181)1001700.答案：C,2(教材P1253题改编)某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂成两个)经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成()A511个B512个C1023个D1024个解析：a10a1q929512(个)答案：B,3等比数列an的公比为q，则“q1”是“对于任意自然数n，都有an1an”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：当a10时，条件与结论均不能由一方推出另一方答案：D,4设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则公比()Aq2Bq1Cq2或q1 Dq2或q1解析：由题意可得2SnSn1Sn2，当q1时， 即2qq2，解之得q2或q1，当q1时不成立答案：A,5(教材改编题)A、B两个工厂2009年元月份的产值相等，A厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同，B厂产值也逐月增加且月增长率相同，而2010年元月份两厂的产值又相等，则2009年7月份产值高的工厂是_,解析：设两工厂的月产值从2009年元月起依次组成数列an，bn，由题意知an成等差数列，bn成等比数列，并且a1b1，a13b13.由于an成等差数列，即2009年7月份A厂产值高于B厂产值答案：A厂,【例1】(2006辽宁高考)在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn等于()A2n11B3nC2n D3n1命题意图本题主要考查等比数列的概念、求和公式等综合应用,解析解法一：由an为等比数列可得an1anq，an2anq2，由an1为等比数列可得(an11)2(an1)(an21)，故(anq1)2(an1)(anq21)化简上式可得q22q10，解得q1故an为常数列，且ana12，故Snna12n，故选C.,解法二：设等比数列an的公比为q，则有a22q且a32q2令an1bn则有b13，b22q1，b32q21又数列bn为等比数列，(2q1)23(2q21)，解得q1，以下同解法一,解法三：运用特殊与一般的数学思想，令an2，显然符合题意，故数列an1也符合题意，故Snna12n.可见，在数列问题中，常数列往往可以作为一种典型的模型予以考虑答案C,(2009浙江嘉兴一中)各项都是正数的等比数列an中，a2， a3，a1成等差数列，则 的值为(),答案：B解析：由题意可知：a3a1a2，q21q，解得： (舍去)，所以选B.,【例2】银行按规定，每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后立即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较这两种方案哪个获利更多(计算结果精确到103元，参考数据：1.1102.594，1.31013.786),思路点拨甲方案中，每年的获利组成一等比数列，乙方案中每年的获利组成一等差数列，分别计算出10年的净获利之和作比较即可,解析甲方案10年获利是每年获利数组成的数列的前n项的和1(130%)(130%)2(130%)9 42.62(万元)到期时银行贷款的本息为10(110%)10102.59425.94(万元)，甲方案扣除贷款本息后净获利426225.9416.7(万元)；,乙方案逐年获利组成一个等差数列，10年共获利1(10.5)(120.5)(190.5)而贷款本息为111(110%)(110%)9,乙方案扣除贷款本息后，净获利为325017.5315.0(万元)比较可知，甲方案获利多于乙方案获利即甲方案比乙方案获利多,某林场有荒山3250亩，从2009年1月开始在该荒山上植树造林，且保证每年种树全部成活第一年植树100亩，以后每年都比上一年多植树50亩(1)问至少需几年才可将此荒山全部绿化；(2)如果新种树苗每亩的木材量为2立方米，树木每年的自然增材率为10%，那么到此荒山全部绿化后的那一年底，这里树木的木材量总共为多少立方米？(1.1112.85),解析：(1)设至少需要n年才可将此荒山全部绿化第一年植树a1100亩，第n年植树an与第n1年植树an1满足anan150.每年植树an构成等差数列Sn100n 3250， n23n1300，即(n13)(n10)0，n10.故至少需要10年才能将此荒山全部绿化,(2)设树木的木材量总共为M立方米M2(a11.110a21.19a31.18a91.12a101.1)， 1.1a11.111a21.110a31.19a91.13a101.12， 1.1 a11.111(a2a1)1.1101.191.12a101.1，,005M1001.111501.1101.191.125501.11002.8550 605285820605500，M10000立方米故这里木材总量为10000立方米.,【例3】设函数f(x) (a，b为常数，a0)，若f(1) ，且f(x)x只有一个实根(1)求f(x)的解析式；(2)若数列an满足关系式anf(an1)(nN*，且n2)，又a1 ，求an的通项公式；(3)设bn ，求bn的最大值与最小值，以及相应的n值,分析(1)利用函数与方程的思想；(2