第2章 点、直线和平面的投影-1.ppt

,1空间点的投影分析,2空间直线的投影分析,3空间平面的投影分析,重点掌握：点、直线、平面之间位置关系的判断。,空间点、直线和平面的投影分析,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,1空间点的投影分析,水平投影面H正面投影面V投影轴OX,V,X,O,1、两投影面体系的建立,二、点在两个投影面上的投影,2、两投影面体系中点的投影,点A的水平投影a点A的正面投影a,A,Z,Y,X,X,V,H,A,3、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,4、两面投影图的画法,a,V,X,O,A,Z,Y,X,A,三、点的三投影面体系中投影,1、投影面体系建立,正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴:V面与H面的交线,OZ轴:V面与W面的交线,OY轴:H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,2、空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,3、投影面展开,1.aaz=aay=Aa=xA2.aax=aaz=Aa=yA3.aax=aay=Aa=zA,4、点的直角坐标与三面投影的关系,因为平面是无限大的，所以一般不画出平面边框。,1.aaX轴，aaz=aay=XA2.aaZ轴，aax=aay=ZA3.aax=aaz=YA,5、三投影面体系中点的投影规律,点的投影规律,一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相应的投影面之间的距离。,因此，在求作点的投影时，应保证做到：点的V面投影和H面投影之间的连线垂直于OX轴，即aa垂直OX轴；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直OZ轴，即a”a垂直OZ轴;点的H面投影到OX轴的距离及点的W面投影到OZ轴的距离两者相等，都反映点到v面得距离。,四、投影面上的点和投影轴上的点,五、两点的相对位置及重影点的投影分析,两点中x值大的点在左两点中y值大的点在前两点中z值大的点在上,若两点位于同一条垂直某投影面的投影的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。两重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判别重影点的可见性是，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见的投影加括号表示。,重影点及可见性判别,重影点的投影,例1：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,例2：已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。,b,b”,b,一、直线的表示法,1直线投影的基本特性：一般情况下，直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。,直线投影的基本作图方法：求出两端点的投影，将同面投影相连。,2各种不同位置直线的投影,按直线与投影面的相对位置分为三种情况：垂直、平行和相交。从而将直线分为三类七种,3.2空间直线的投影分析,二、直线相对于投影面的位置及其投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,1、投影面的平行线,凡平行于某一投影面，同时倾斜于另两个投影面的直线统称为投影面的平行线。其中：平行于正投影面（V面）的称为正平线；平行于水平投影面（H面）的称为水平线；平行于侧投影面（W面）的称为侧平线。,a,b,规定：与H面的夹角为，与V面的夹角为，与W面的夹角为。、均900；对于平行线来说，一角等于0，另外两角之和等于900。,V,H,W,X,Y,Z,(1)水平线只平行于水平投影面的直线,投影特性：1abOX;abOYW2ab=AB3反映、角的真实大小,（2）正平线只平行于正面投影面的直线,投影特性：1abOX;abOZ2ab=AB3反映、角的真实大小,（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线,投影特性：1abOZ;abOYH2ab=AB3反映、角的真实大小,投影面平行线的投影特征为：a直线在与其所平行的投影面上的投影反映该直线的实长，同时还反映该直线与另两个投影面之间的真实倾角。,Y,Z,b直线的其余两个投影均分别平行于相应的投影轴，该两投影与相应投影轴之间的距离即为该直线与相应投影面之间的距离。,Y,Z,2、投影面垂直线,凡垂直于某一投影面,同时平行于另两个投影面的直线统称为投影面的垂直线。其中：,垂直于正投影面（V面）的称为正垂线；垂直于水平投影面（H面）的称为铅垂线；垂直于侧投影面（W面）的称为侧垂线；,投影特性：1ab积聚成一点2abOX;abOYW3ab=ab=AB,（1）铅垂线垂直于水平投影面的直线,（2）正垂线垂直于正面投影面的直线,投影特性：1ab积聚成一点2abOX;abOZ3ab=ab=AB,X,Y,Z,O,（3）侧垂线垂直于侧面投影面的直线,投影特性：1ab积聚成一点2abOYH;abOZ3ab=ab=AB,Y,Z,O,投影面垂直线的投影特征为：a直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚为一点。该积聚投影与相应投影轴间的距离即为该直线与相应投影面间的距离。,a(b),b直线的其余两个投影均垂直于相应的投影轴且反映该直线的实长。,3、特殊位置直线,Y,Z,O,3、特殊位置直线,3、特殊位置直线,、一般位置直线,投影特性：1ab、ab、ab均小于实长2ab、ab、ab均倾斜于投影轴3不反映、实角,一般位置直线的投影特征为：a三个投影与投影轴既不平行也不垂直。b任一投影均不反映该直线的实长，且小于实长。,V,H,W,X,Y,Z,c任一投影与投影轴的夹角均不反映空间直线与任何投影面的真实夹角。,Z,四、点与直线的相对位置,直线上点的两个重要特性：（1）从属性：直线上的点，其各个投影必在该直线的同面投影上。,（2）定比性：直线上的点分割线段成定比，其各个投影亦分成相同的比例。,方法一：先求出直线的侧面投影，再根据直线上的点的投影特征求出k。,方法二：使用定比性。,例3：已知直线DE的正面投影和水平投影及线上K点的正面投影k,试求出K点的水平投影,a,b,a,b,C,c,X,O,例4：试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点的两面投影。,有三种情况,平行相交交叉（既不平行，也不相交）,五、两直线的相对位置,1两直线平行：,投影特征：其同面投影必相互平行,根据投影特征可在投影图上图示或判定两空间直线的平行情况，能帮助我们图示和理解物体的投影。,应运用直线上的点和两直线平行的投影特性来作图,a,b,c,d,e,f,a,b,d,c,e,f,a,b,c,d,e,f,两直线相交,2两直线相交：,两直线相交的投影特征是：其同面投影必定相交,且交点的连线垂直于相应的投影轴。,(1)画出第三面投影，按两直线相交的投影特征进行判定。,(2)使用定比分割原理。,(不相交）,例6：已知直线AB和CD的两面投影，试判定两直线是否相交。,例7：判断两直线的相对位置（方法一）,两直线交叉,例8：判断两直线的相对位置(方法二）,1,=1d,=1c,两直线交叉,例10：作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。,(k),l,l,k,作klef,作klef,3.3空间平面的投影分析,一、平面的表示法,（1）用几何元素表示平面,不在同一直线上的三点,两平行直线,一直线和线外一点,两相交直线,任意的平面图形,2、用平面的迹线表示平面,迹线：平面与投影面的交线,水平迹线正面迹线侧面迹线迹线的集合点,二、平面相对于投影面的位置及其投影特性,真实性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,3、各种不同位置平面的投影特征,按平面相对与投影面的位置有三种情况,（1）投影面的垂直面,凡垂直于一个投影面，而与另两个投影面倾斜的平面统称为投影面的垂直面。其中：垂直于正投影面（V面）的称为正垂面；垂直于水平投影面（H面）的称为铅垂面；垂直于侧投影面（W面）的称为侧垂面。,规定：与H、V、W面的夹角分别为、，、均为900，对于垂直面来说任两者之和等于900。,Q,投影面垂直面的投影特征为：a平面在与其所垂直的投影面上的投影积聚为一直线，该直线与两投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的真实夹角。b平面的另两个投影均为小于实形的类似形。,Y,（2）投影面的平行面凡平行与某一个投影面，同时垂直于另两个投影面的平面统称为投影面的平行面。其中：平行于正投影面（V面）的称为正平面；平行于水平投影面（H面）的称为水平面；平行于侧投影面（W面）的称为侧平面。,Q,投影面平行面的投影特征为：a平面在所平行的的投影面上的投影反映该平面的实形。b平面的另两个投影均积聚成一直线，且分别平行于相应的投影轴。,3、一般位置平面投影特征：a、三个投影均不反映该平面的真实大小。b、三个投影均没有积聚性。c、三个投影均为小于实形的类似形。,平面上的直线,1、点在平面上的条件：必须经过平面上的任意一条直线。（取点先取线）,例17:已知三角ABC上K点的水平投影,试求其正面投影。,举例,三、平面上的点和直线,2、直线在平面上的条件（1）过平面上的两个已知点；（取线先取点）,三、平面上的点和直线,（2）过平面上的一个已知点，且平行于该平面上任一已知直线。,举例,例18：已知三角形ABC的两面投影及该平面上的直线MN的正面投影,求作MN的水平投影。,E,F,e,f,续上例,例19：试在三角形ABC上任作一条直线。,e,f,n,a,b,c,O,X,b,c,a,m,n,投影面上的平行线,例20：已知ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。,m,n,n,m,例21：已知点E在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V面10，试求点E的投影。,作一个距V10的平面与ABC相交，得交线rs，作距H15的平面与ABC相关，交线mn，mn与rs的交点即为所求。,1、直线与平面平行,几何条件:直线必须平行于平面上的某一直线。,若平面具有积聚性，则平面的积聚性投影应平行于直线的同面投影。,2、平面与平面平行,几何条件：一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线。,若两个同一投影面垂直面平行，则两平面的积聚性投影相互平行。,3、基本作图,（1）判别直线与平面是否平行,（2）过空间一点作平面的平行线,（3）过空间一直线作已知直线的平行面,（4）判别平面与平面是否平行,（5）过空间一点作