初中数学用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关问题

一元二次方程的解法归类一元二次方程的解法归类 名师点金： 反比例函数的比例系数 k 具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向 两坐标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积在反比例函数的图象中，涉及三角 形或矩形的面积时，常用比例系数k 的几何意义解决问题 反比例函数的比例系数反比例函数的比例系数 k k 与面积的关系与面积的关系 1 1 1如图，A，C 是函数 y 的图象上任意两点，过点A 作 y 轴的垂线，垂足为 B，过 x 点 C 作 y轴的垂线，垂足为D，记 RtAOB 的面积为S1，RtCOD 的面积为S2，则() (第 1 题) AS1S2BS1S2 CS1S2DS1和 S2的大小关系不能确定 m 2 2【2017 宜宾】如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数 y 的图象交于点 x A(3，m8)，B(n，6)两点 (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求AOB 的面积 (第 2 题) 4 3 3如图，函数yx 与函数 y 的图象相交于A，B 两点，过A，B 两点分别作 y x 轴的垂线，垂足分别为点C，D，求四边形 ACBD 的面积 (第 3 题) 已知面积求反比例函数解析式已知面积求反比例函数解析式 题型1：已知三角形面积求函数解析式已知三角形面积求函数解析式 4 4【2016 绵阳】如图，直线 yk1x7(k10)与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与 k2 反比例函数 y(k20)在第一象限的图象交于 C，D 两点，点 O 为坐标原点，AOB 的 x 49 面积为，点 C 的横坐标为 1. 2 (1)求反比例函数的解析式； (2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中 阴影部分(不含边界)所包含的所有整点的坐标 (第 4 题) 题型2：已知四边形面积求函数解析式已知四边形面积求函数解析式 k 5 5如图，矩形 ABOD 的顶点 A 是函数 yx(k1)的图象与函数 y 在第二象限 x 的图象的交点，B，D 两点在坐标轴上，且矩形ABOD 的面积为 3. (1)求两函数的解析式； (2)求两函数图象的交点 A，C 的坐标； (3)若点 P 是 y 轴上一动点，且 S APC5，求点 P 的坐标 (第 5 题) 已知反比例函数解析式求图形的面积已知反比例函数解析式求图形的面积 题型1 1：利用函数解析式求面积利用函数解析式求面积 k1 6 6 【中考 安徽】 如图，已知反比例函数 y与一次函数 yk2xb 的图象交于 A(1， x 8)，B(4，m) (1)求 k1，k2，b 的值； (2)求AOB 的面积； k1 (3)若 M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数 y的图象上的两点，且 x1x2，y1y2，指 x 出点 M，N 各位于哪个象限，并简要说明理由 (第 6 题) 题型2 2：利用对称性求面积利用对称性求面积 7 7如图是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数解析 66 式分别为 y ，y .现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工成矩形产品按面积计 xx 算，每单位面积 25 元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？ (第 7 题) 题型3 3：利用点的坐标及面积公式求面积利用点的坐标及面积公式求面积 a 8 8【2017 菏泽】如图，一次函数 ykxb 与反比例函数 y 的图象在第一象限交于 x A，B 两点，B 点的坐标为(3，2)，连接 OA，OB，过 B 作 BDy 轴，垂足为 D，交 OA 于 C，若 OCCA. (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求AOB 的面积 (第 8 题) 答案答案 1 1C m 2 2解：(1)将点 A(3，m8)的坐标代入反比例函数y 得， x m m8，解得 m6. 3 m8682，点 A 的坐标为(3，2)， 6 反比例函数解析式为 y . x 66 将点 B(n，6)的坐标代入 y ，得 6， xn 解得 n1，点 B 的坐标为(1，6) 将点 A(3，2)，B(1，6)的坐标代入 ykxb，得 3kb2，k2， 解得 kb6，b4. 一次函数解析式为 y2x4. (2)如图，设 AB 与 x 轴相交于点 C. (第 2 题) 令2x40，解得 x2， 点 C 的坐标为(2，0)，OC2. 11 SAOBSAOCSBOC 22 26268. 22 1 3 3解：由题意，易得出 SODBSAOC |4|2.因为 OCOD，ACBD(易求 2 得)，所以 SAOCSODASODBSOBC2.所以四边形 ACBD 的面积为 SAOCSODA SODBSOBC248. 7 4 4解：(1)对于直线yk1x7(k10)，当x0时，y7，当y0时，x，点A k1 7 ，0，点 B 的坐标为(0，7)的坐标为 k 1 7 OA，OB7. k1 71149 7 ，解得 k11.SAOB OAOB 22 k1 2 直线 AB 对应的函数解析式为 yx7. 当 x1 时，y176，点 C 的坐标为(1，6) 6 k2166.反比例函数的解析式为y . x yx7， x11，x26， (2)由6得 y 6， y 1.y 12 x 点 D 的坐标为(6，1) 当 x2 时，反比例函数图象上的点为(2，3)，直线上的点为(2，5)，此时可得整点为 (2，4)； 当 x3 时，反比例函数图象上的点为(3，2)，直线上的点为(3，4)，此时可得整点为 (3，3)； 3 4， ，直线上的点为(4，3)，此时可得整点为 当 x4 时，反比例函数图象上的点为 2 (4，2)； 6 5， ，直线上的点为(5，2)，此时，不存在整 当 x5 时，反比例函数图象上的点为 5 点 综上所述，符合条件的整点有(2，4)，(3，3)，(4，2) 5 5解：(1)由图象知 k0，由已知条件得|k|3，k3. 3 反比例函数的解析式为y ， x 一次函数的解析式为 yx2. 3 yx， x11，x23， (2)由解得 y 3，y 1. 12 yx2， 点 A，C 的坐标分别为(1，3)，(3，1) (3)设点P的坐标为(0，m)，直线yx2与y轴的交点为M，则M的坐标为(0，2) 1 SAPCSAMPSCMP PM(|1|3|)5， 2 5591 PM ，即|m2| .m 或 m . 2222 91 0， 或0，. 点 P 的坐标为 22 点拨：依据图象及已知条件求k的值是解本题的关键，只有求出k的值，才能通过解方 程组求 A，C 两点的坐标，然后才能解决第(3)问 k1 6 6解：(1)把 A(1，8)的坐标代入 y，得 k18. x 8 把 B(4，m)的坐标代入 y ，得 m2. x 把 A(1，8)，B(4，2)的坐标代入 yk2xb， 可得 k22，b6. (2)设直线 AB 与 x 轴的交点为 C， 当 y0 时，2x60，解得 x3.C(3，0) 11 SAOBSAOCSBOC 38 3215. 22 (3)点 M 在第三象限，点 N 在第一象限 8 理由：M(x1，y1)，N(x2，y2)在反比例函数 y 的图象上， x 当 M(x1，y1)，N(x2，y2)在同一象限时，x1y2. x1x2，y1y2， M(x1，y1)，N(x2，y2)不在同一个象限 点 M 在第三象限，点 N 在第一象限 7 7解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD分成四个全等的小 6 矩形因为点A 为 y 的图象上的一点，所以S 矩形AEOH6.所以 S矩形ABCD4624.所以x 总费用为 2524600(元) 答：所需钢条一共花 600 元 8 8解：(1)如图，过点 A 作 AFx 轴，垂足为 F，交 BD 于 E. a 点 B(3，2)在反比例函数 y 的图象上， x 6 a326，反比例函数的表达式为y . x B(3，2)，EF2.BDy 轴，OCCA， 1 AEEF AF，AF4，点 A 的纵坐标为 4. 2 6 点 A 在反比例函数 y 的图象上， x 3 3 点 A 的横坐标为 ，A 2，4. 2