2019年春部编版八年级数学下册 全册教案

第十六章二次根式 16161 1二次根式 第 1 1 课时二次根式的概念和性质 1二次根式的概念和应用 2二次根式的非负性 重点 二次根式的概念 难点 二次根式的非负性 一、情景导入 师：(多媒体展示)请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔 电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高 h/km 之间有近似关系 r 2Rh(R 为地球半 径)如果两个电视塔的高分别为h1km，h2km，那么它们的传播半径之比为多少？同学们能 化简这个式子吗？ 由学生计算、讨论后得出结果，并提问 2Rh1 生：半径之比为，暂时我们还不会对它进行化简 2Rh2 师： 那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简 如何进行二次根式的运算？ 如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容 二、新课教授 活动 1：知识迁移，归纳概念 (多媒体演示)用含根号的式子填空 (1)17 的算术平方根是_； (2)如图， 要做一个两条直角边长分别为7 cm 和 4 cm 的三角形， 斜边长应为_cm； (3)一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为_m； (4)面积为 3 的正方形的边长为_，面积为 a 的正方形的边长为_； (5)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时的高度 h(单 位：m)满足关系 h5t2.如果用含有 h 的式子表示 t，则 t_ 【答案】(1) 17(2) 65(3) 65(4) 3a h (5) 5 活动 2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子 a表示的实际意义是什么？被开方数a 满足什么条件时，式子 a才有意义？ (2)当 a0 时， a_0；当 a0 时， a_0；二次根式是一个_ 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数 a 必须是非负数(2)非负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性 当 a0 时， a表示 a 的算术平方根，因此 a0； 当 a0 时， a表示 0 的算术平方根，因此 a0. 1 1 / 6969 也就是说，当 a0 时， a0. 三、例题讲解 【例】当 x 是怎样的实数时， x2在实数范围内有意义？ 解：由 x20，得 x2. 所以当 x2 时， x2在实数范围内有意义 四、巩固练习 1 1已知 a2b 0，求a2b 的值 2 11 【答案】 a20，b 0，又它们的和为 0，a20 且 b 0，解得 a 22 1 2，b . 2 1 a2b22( )2. 2 2若 x，y 使 x1 1xy3 有意义，求 2xy 的值 【答案】1 五、课堂小结 1本节课主要学习了二次根式的概念形如a(a0)的式子叫做二次根式， “”称 为二次根号 2二次根式的被开方数必须是什么数才有意义？ a(a0)又是什么数？ 1本节课的教学过程中，通过创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启 发，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者地位 2注重知识之间的衔接，在温故知新的过程中引出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知 的理解 第 2 2 课时二次根式的化简 2 1理解( a) a(a0)，并能利用它进行计算和化简 2通过具体数据的解答，探究 a2a(a0)，并利用这个结论解决具体问题 重点 理解并掌握( a)2a(a0)， a2a(a0)以及它们的运用 难点 探究结论 一、复习导入 教师复习口述上节课的重要内容，并板书： 1形如 a(a0)的式子叫做二次根式 2. a(a0)是一个非负数 那么，当 a0 时，( a)2等于什么呢？下面我们一起来探究这个问题 二、新课教授 活动 1： (多媒体演示)根据算术平方根的意义填空： ( 4)2_；( 2)2_； 1 2 5 2 () _；() _； 32 ( 0.01)2_；( 0)2_ 2 2 / 6969 由学生计算、讨论得出结果，并提问部分过程，教师进行点评 老师点评： 4是 4 的算术平方根， 根据算术平方根的意义， 4是一个平方等于4的非负数， 因此( 4)2 4. 1 2 15 2 5 同理：( 2)22；() ；() ；( 0.01)20.01；( 0)20. 3322 所以归纳出：( a)2a(a0) 【例 1】教材第 3 页例 2 活动 2： (多媒体展示)填空： 22_； 0.12_； 13 （ ）2_；（ ）2_； 37 1 （2 ）2_； 02_ 2 教师点评： 根据算术平方根的意义，我们可以得到： 11 222； 0.120.1；（ ）2 ； 33 3311 （ ）2 ；（2 ）22 ； 020. 7722 2 所以归纳出： a a(a0) 【例 2】教材第 4 页例 3 教师点评： 当 a0 时， a2a； 当 a0 时， a2a. 三、课堂小结 本节课应理解并掌握 (a)2a(a0)和 a2a(a0)及其运用 ，同时应理解a2 a(a0) 1注意前后知识之间的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的教学内容 按照由特殊 到一般的规律，降低学生理解的难度 2在总结二次根式性质的过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流活动中 体会成功 16.216.2二次根式的乘除 第 1 1 课时二次根式的乘法 理解并掌握 a b ab(a0，b0)， ab a b(a0，b0)，会利用它们进行计算 和化简 重点 a b ab(a0，b0)， ab a b(a0，b0)及它们的运用 难点 利用逆向思维，导出 ab a b(a0，b0) 一、创设情境，导入新课 活动 1：发现探究 (多媒体展示)填空： 3 3 / 6969 (1)49 _， 49 _； (2)2516 _， 2516 _； 1 (3)36 9 _， 136 9 _； (4)1000 _， 1000 _. 1 生：(1) 4 96， 496；(2) 25 1620， 251620；(3) 362， 9 1362；(4) 100 00， 10000. 9 试一试，参考上面的结果，比较四组等式的大小关系 生：上面各组中两个算式的结果相等 二、新课教授 活动 2：总结规律 结合刚才的计算，学生分组讨论，教师提问部分学生，最后教师综合学生的答案，加以 点评，归纳出二次根式的乘法法则 教师点评： 1被开方数都是非负数 2两个非负数算术平方根的积等于它们积的算术平方根 一般地，二次根式的乘法法则为： a b ab(a0，b0) 由等式的对称性，反过来： ab a b(a0，b0) 活动 3：讲练结合 教材第 67 页例题 三、巩固练习 完成课本第 7 页的练习 【答案】 课本练习第 1 题：(1) 10；(2)6；(3)2 3；(4)2. 第 2 题：(1)77；(2)15；(3)2 y；(4)4bc ac. 第 3 题：4 5. 四、课堂小结 本节课应掌握： a b ab(a0，b0)， ab a b(a0，b0)及其应用 1 创设情境， 给出实例 学生积极主动探索， 教师引导启发， 按照由特殊到一般的规律， 降低学生理解的难度 4 4 / 6969 2 在二次根式乘法法则的形成过程中， 由学生大胆猜测， 经过思考、 分析、 讨论的过程， 让学生在交流中体会成功第 2 2 课时二次根式的 除法 aaaa 理解(a0，b0)和(a0，b0)，会利用它们进行计算和化简 bb bb 重点 理解并掌握 a b a(a0，b0)， b aa (a0，b0)，利用它们进行计算和化简 b b 难点 归纳二次根式的除法法则 一、复习导入 活动 1： 1由学生回答二次根式的乘法法则及逆向等式 2填空(多媒体展示) 99 (1)_，_； 25 25 1616 (2)_，_； 4 4 8181 (3)_，_； 49 49 (4) 3636 _，_ 64 64 二、新课教授 活动 2： 先由学生对上面的结果进行比较，观察每组两个算式结果的大小关系，并总结规律 教师点评： 一个非负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根，等于它们商的算术平方根 一般地，二次根式的除法法则是： aa (a0，b0) b b 由等式的对称性，反过来： aa (a0，b0) b b 【例】教材第 89 页例题 三、巩固练习 课本第 10 页练习第 1 题 3 【答案】(1)3(2)2 3(3)(4)2a 3 四、课堂小结 aaaa 本节课应掌握(a0，b0)和 bb bb (a0，b0)及其应用 1创设情境，复习二次根式的乘法，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究 的兴趣 5 5 / 6969 2二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析 的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功 第 3 3 课时最简二次根式 最简二次根式的概念、利用最简二次根式的概念和性质进行二次根式的化简和运算 重点 最简二次根式的运用 难点 会判断这个二次根式是否是最简二次根式 一、复习导入 (学习活动)请同学们完成下列各题(请四位同学上台板书) 22 68x3 计算：(1)；(2)；(3)；(4) 2 . 3182ax y 教师点评： 262 62 382 ax3xy (1)；(2)；(3)；(4) 2 . 3ay 3 3 182ax y 二、新课教授 教师点评：上面这些式子的结果具有如下两个特点： 1被开方数不含分母 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 师：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式(教师板书) 教师强调：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式 【例 1】判断下列式子是不是最简二次根式，为什么？ 11 (1)3xyx；(2)25a 3a3；(3)；(4) 0.2a. 2x 1 解：(1)被开方数中有因数 ，因此它不是最简二次根式；(2)被开方数中有开得尽方的因 2 2 式 a ，因此它不是最简二次根式；(3)被开方数中有分母，因此它不是最简二次根式；(4)被开 方数中有因数 0.2，它不是整数，所以它不是最简二次根式 【例 2】化简： 27 (1)；(2) 12x2y3(x0)；(3) a2b4a4b2(ab0) 8 2722793 解：(1)66； 816482 (2) 12x2y3 4x2y23y2xy 3y； (3) a2b4a4b2 a2b2（b2a2）ab a2b2. 【例 3】教材第 9 页例 7 三、课堂小结 1本节课应掌握最简二次根式的特点及其运用 2二次根式的运算结果要化为最简二次根式 1注重知识的前后联系，温故而知新让学生积极主动地探索，教师引导和启发，使学 生在经过思考、讨论和分析的过程后，获得新知，体会学习的乐趣 2 前两个例题旨在加强对最简二次根式的理解， 第三个例题让学生灵活运用二次根式解 决实际问题 6 6 / 6969 16.316.3二次根式的加减 第 1 1 课时二次根式的加减 理解并掌握二次根式加减的方法， 并能用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算 重点 理解并掌握二次根式加减计算的方法 难点 二次根式的化简、合并被开方数相同的最简二次根式 一、复习导入 (学生活动) 1计算： (1)x2x；(2)3a2a4a；(3)2x23x25x2；(4)2a24a23a. 2教师点评：上面的运算实际上就是以前所学习的合并同类项，合并同类项就是字母连 同指数不变，系数相加减 二、新课教授 (学生活动) 1类比计算，说明理由 (1) 22 2；(2)3 82 84 8； (3)3 2 8；(4)2 33 3 12. 2教师点评： (1) 22 2(12) 23 2； (2)3 82 84 8(324) 85 810 2； (3)虽然表面上 2与 8的被开方数不同，不能当作被开方数相同，但 8可化为 2 2，3 2 83 22 2(32) 25 2； (4)同样 12可化为 2 3， 2 33 3 122 33 32 3(232) 3 3. 所以在用二次根式进行加减运算时，如果被开方数相同则可以进行合并，因此可将二次 根式先化为最简二次根式，比较被开方数是否相同 因此可得：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同 的二次根式进行合并 【例 1】教材第 13 页例 1 【例 2】教材第 13 页例 2 三、巩固练习 教材第 13 页练习第 1，2 题 【答案】第 1 题：(1)不正确，两边不相等；(2)不正确，两边不相等；(3)正确 1 第 2 题：(1)4 7；(2)3 5；(3)10 23 3；(4)3 62. 4 四、课堂小结 本节课应掌握进行二次根式加减运算时，先把不是最简二次根式的化成最简二次根式， 再把相同被开方数的最简二次根式进行合并 1创设情境，给出实例由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程 ，老师加以启 发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则 2两个例题，旨在帮助学生理解并掌握二次根式的加减运算法则尤其是例2，要按照 两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神 7 7 / 6969 第 2 2 课时二次根式的加减乘除混合运算 含有二次根式的式子进行加减乘除混合运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 重点 二次根式的加减乘除混合运算 难点 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算 一、复习导入 (学生活动)：请同学们完成下列各题 计算： (1)(3x22x2)4x； (2)(4x22xy)(2xy)； (3)(3a2b)(3a2b)； (4)(2x1)2(2x1)2. 二、新课教授 由于整式运算中的 x，y，a，b 是字母，它的意义十分广泛，可以代表一切，当然也可以 代表二次根式，因此整式中的运算规律也适用于二次根式，下面我们就使用这些规律来进行 计算 【例 1】计算： (1)( 8 3) 6； (2)(4 23 6)2 2. 分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以可直接用整式的运算规律 解：(1)( 8 3) 6 8 6 3 6 48 184 33 2； (2)(4 23 6)2 2 3 4 22 23 62 223. 2 【例 2】计算： (1)( 23)( 25)； (2)( 5 3)( 5 3)； (3)( 3 2)2. 分析：第(1)题可类比多项式乘以多项式法则来计算，第(2)题把 5当作 a， 3当作 b，就 可以类比(ab)(ab)a2b2，第(3)题可类比(ab)2a22abb2来计算 解：(1)( 23)( 25) ( 2)23 25 215 23 25 215 132 2； (2)( 5 3)( 5 3) ( 5)2( 3)2532； (3)( 3 2)2 ( 3)22 3 2( 2)2 52 6. 三、巩固练习 教材第 14 页练习第 1，2 题 【答案】第 1 题：(1) 6 10；(2)42 2；(3)115 5；(4)4.第 2 题：(1)9；(2)ab； (3)74 3；(4)224 10. 8 8 / 6969 四、课堂小结 本节课应掌握利用整式运算的规律进行二次根式的乘除、乘方等运算 1情境引入，复习整式运算的知识，旨在迁移到利用乘法公式进行含二次根式算式的运 算，培养学生继续探究的兴趣 2例题的设计，旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用 9 9 / 6969 第十七章勾股定理 17171 1勾股定理 第 1 1 课时勾股定理(1 1) 了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能 应用勾股定理进行简单的计算 重点 勾股定理的内容和证明及简单应用 难点 勾股定理的证明 一、创设情境，引入新课 让学生画一个直角边分别为3 cm 和 4 cm 的直角ABC，用刻度尺量出斜边的长 再画一个两直角边分别为5 和 12 的直角ABC，用刻度尺量出斜边的长 你是否发现了 3242与 52的关系，52122与 132的关系，即 324252，52122132， 那么就有勾 2股2弦2. 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察身边的 地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？ 拼图实验，探求新知 1多媒体课件演示教材第2223 页图 17.12 和图 17.13，引导学生观察思考 2组织学生小组合作学习 问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法 引导学生用拼图法初步体验结论 生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和 师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明 归纳验证，得出定理 (1)猜想：命题 1：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2b2 c2. (2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进 行证明到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵 爽是怎样证明这个定理的 用多媒体课件演示 小组合作探究： a以直角三角形 ABC 的两条直角边 a，b 为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成 弦图的样子吗？ b它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？ c利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法想一想还有什么方 法？ 1010 / 6969 师：通过拼摆，我们证实了命题 1 的正确性，命题 1 与直角三角形的边有关，我国把它 称为勾股定理 即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做 弦 二、例题讲解 【例 1】填空题 (1)在 RtABC 中，C90，a8，b15，则 c_； (2)在 RtABC 中，B90，a3，b4，则 c_； (3)在 RtABC 中，C90，c10，ab34，则 a_，b_； (4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_； (5)已知等边三角形的边长为2 cm，则它的高为_cm，面积为_cm2. 【答案】(1)17(2) 7(3)68(4)6，8，10(5) 33 【例 2】已知直角三角形的两边长分别为5 和 12，求第三边 分析：已知两边中，较大边 12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进 行计算让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想 【答案】 119或 13 三、巩固练习 填空题 在 RtABC 中，C90. (1)如果 a7，c25，则 b_； (2)如果A30，a4，则 b_； (3)如果A45，a3，则 c_； (4)如果 c10，ab2，则 b_； (5)如果 a，b，c 是连续整数，则 abc_； (6)如果 b8，ac35，则 c_ 【答案】(1)24(2)4 3(3)3 2(4)6(5)12 (6)10 四、课堂小结 1本节课学到了什么数学知识？ 2你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？ 3你还有什么困惑？ 本节课的设计关注学生是否积极参与探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极 思考、能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想(数形结合)以及学生能否有条理地 表达活动过程和所获得的结论等关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形 验证勾股定理第 2 2 课时勾股定理(2 2) 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题 重点 将实际问题转化为直角三角形模型 难点 如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题 一、复习导入 问题 1：欲登12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，至少需要多 长的梯子？ 师生行为： 1111 / 6969 学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型 教师深入到小组活动中，倾听学生的想法 生：根据题意，(如图)AC 是建筑物，则 AC12 m，BC5 m，AB 是梯子的长度，所以 在 RtABC 中，AB2AC2BC212252132，则 AB13 m. 所以至少需 13 m 长的梯子 师：很好！ 由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为a，b，就可以求出斜边 c 的长由勾股定理 可得 a2c2b2或 b2c2a2，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直 角边的长，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长 问题 2：一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m、宽2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内 通过？为什么？ 学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问 题的途径 生 1：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能 否通过 生 2：在长方形 ABCD 中，对角线 AC 是斜着能通过的最大长度，求出 AC，再与木板 的宽比较，就能知道木板是否能通过 师生共析： 解：在 RtABC 中，根据勾股定理 AC2AB2BC212225. 因此 AC 52.236. 因为 AC木板的宽，所以木板可以从门框内通过 二、例题讲解 【例 1】如图，山坡上两棵树之间的坡面距离是 4 3米，则这两棵树之间的垂直距离是 _米，水平距离是_米 分析：由CAB30易知垂直距离为 2 3米，水平距离是 6 米 【答案】2 36 【例 2】教材第 25 页例 2 三、巩固练习 1如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B，C 两点，在江对岸取一点 A，使 AC 垂直 江岸，测得 BC50 米，B60，则江面的宽度为_ 【答案】50 3米 1212 / 6969 2某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达地点 B 200 米， 结果他在水中实际游了 520 米，求该河流的宽度 【答案】约 480 m 四、课堂小结 1 谈谈自己在这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单的应用题； 会构造直角三角 形 2本节是从实验问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解答 这是一节实际应用课，过程中要充分发挥学生的主导性，鼓励学生动手、动脑，经历将 实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程，激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生独立思 考的能力第 3 3 课时勾股定理(3 3) 1利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 2利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点 3 进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型， 并能用勾股定理解决简单的实 际问题 重点 在数轴上寻找表示 2， 3， 5，这样的表示无理数的点 难点 利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段 一、复习导入 复习勾股定理的内容 本节课探究勾股定理的综合应用 师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直 角三角形全等你们能用勾股定理证明这一结论吗？ 学生思考并独立完成，教师巡视指导，并总结 先画出图形，再写出已知、求证如下： 已知：如图，在 RtABC 和 RtABC中，CC90，ABAB，AC AC. 求证：ABCABC. 证明：在 RtABC 和 RtABC中，CC90，根据勾股定理，得 BC AB2AC2，BC AB2AC2.又 ABAB，ACAC，BCBC，ABC ABC(SSS) 师： 我们知道数轴上的点有的表示有理数， 有的表示无理数， 你能在数轴上表示出 13所 对应的点吗？ 教师可指导学生寻找像长度为 2， 3， 5，这样的包含在直角三角形中的线段 师： 由于要在数轴上表示点到原点的距离为 2， 3， 5， ， 所以只需画出长为 2， 3， 1313 / 6969 5，的线段即可，我们不妨先来画出长为 2， 3， 5，的线段 生：长为 2的线段是直角边都为 1 的直角三角形的斜边，而长为 5的线段是直角边为 1 和 2 的直角三角形的斜边 师：长为 13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？ 生：设c 13，两直角边长分别为 a，b，根据勾股定理 a2b2c2，即 a2b213.若 a， b 为正整数，则 13 必须分解为两个平方数的和，即 1349，a24，b29，则 a2，b3， 所以长为 13的线段是直角边长分别为 2，3 的直角三角形的斜边 师：下面就请同学们在数轴上画出表示 13的点 生：步骤如下： 1在数轴上找到点 A，使 OA3. 2作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取一点 B，使 AB2. 3 以原点 O 为圆心、 以 OB 为半径作弧， 弧与数轴交于点 C， 则点 C 即为表示 13的点 二、例题讲解 【例 1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800 米处，过了 10 秒后，飞机距离这个男孩头顶5000 米，飞机每小时飞行多少千米？ 分析：根据题意，可以画出如图所示的图形，A 点表示男孩头顶的位置，C，B 点是两 个时刻飞机的位置，C 是直角，可以用勾股定理来解决这个问题 解：根据题意，得在 RtABC 中，C90，AB5000 米，AC4800 米由勾股定 理，得 AB2AC2BC2，即 50002BC248002，所以 BC1400 米 飞机飞行 1400 米用了 10 秒，那么它 1 小时飞行的距离为 1400660504000(米) 504(千米)，即飞机飞行的速度为504 千米/时 【例 2】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面 3 分米，一阵风吹来，水草被吹到 一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6 分米，问这里的水深是多少？ 解：根据题意，得到上图，其中 D 是无风时水草的最高点，BC 为湖面，AB 是一阵风吹 过水草的位置，CD3 分米，CB6 分米，ADAB，BCAD，所以在 RtACB 中，AB2 AC2BC2，即(AC3)2AC262，AC26AC9AC236，6AC27，AC4.5，所 以这里的水深为 4.5 分米 【例 3】在数轴上作出表示 17的点 解：以 17为长的边可看作两直角边分别为 4 和 1 的直角三角形的斜边，因此，在数轴 上画出表示 17的点，如下图： 1414 / 6969 师生行为： 由学生独立思考完成，教师巡视指导 此活动中，教师应重点关注以下两个方面： 学生能否积极主动地思考问题； 能否找到斜边为 17，另外两条直角边为整数的直角三角形 三、课堂小结 1进一步巩固、掌握并熟练运用勾股定理解决直角三角形问题 2 你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数， 并理解数轴上的点与实 数一一对应 本节课的教学中，在培养逻辑推理的能力方面，做了认真的考虑和精心的设计，把推理 证明作为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，注重数学与生活的联系，从学生的认 知规律和接受水平出发， 这些理念贯彻到课堂教学当中， 很好地激发了学生学习数学的兴趣， 培养了学生善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力 17.217.2勾股定理的逆定理 第 1 1 课时勾股定理的逆定理(1 1) 1掌握直角三角形的判别条件 2熟记一些勾股数 3掌握勾股定理的逆定理的探究方法 重点 探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系 难点 归纳猜想出命题 2 的结论 一、复习导入 活动探究 (1)总结直角三角形有哪些性质； (2)一个三角形满足什么条件时才能是直角三角形？ 生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方 和等于斜边的平方；(4)在含 30角的直角三角形中，30的角所对的直角边是斜边的一半 师：那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？ 生 1：如果三角形有一个内角是90，那么这个三角形就为直角三角形 生 2：如果一个三角形，有两个角的和是 90，那么这个三角形也是直角三角形 师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b 与斜边 c 具有一 定的数量关系即 a2b2c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为 直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？ 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以 3 个结、4 个结、5 个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为 3，4，5，有下面的关系：3242 52，那么围成的三角形是直角三角形 1515 / 6969 画画看，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，有下面的关系：2.5262 6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试 生 1：我们不难发现上图中，第 1 个结到第 4 个结是 3 个单位长度即 AC3；同理 BC 4，AB5.因为 324252，所以我们围成的三角形是直角三角形 生 2：如果三角形的三边长分别是2.5 cm，6 cm，6.5 cm.我们用尺规作图的方法作此三角 形，经过测量后，发现 6.5 cm 的边所对的角是直角，并且 2.52626.52. 再换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm 的三角形，可以发现 8.5 cm 的边所对的角是 直角，且有 427.528.52. 师：很好！我们通过实际操作，猜想结论 命题 2如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形 再看下面的命题： 命题 1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2. 它们的题设和结论各有何关系？ 师：我们可以看到命题 2 与命题 1 的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫 做互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题例如把命题1 当 成原命题，那么命题 2 是命题 1 的逆命题 二、例题讲解 【例 1】说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ (1)同旁内角互补，两条直线平行； (2)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等； (3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； (4)直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半 分析：(1)每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设 和结论，并注意语言的运用； (2)理顺它们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真 一假，还可能都假 解略 三、巩固练习 教材第 33 页练习第 2 题 四、课堂小结 师：通过这节课的学习，你对本节内容有哪些认识？ 学生发言，教师点评 本节课的教学设计中，将教学内容精简化，实行分层教学根据学生原有的认知结构， 让学生更好地体会分割的思想设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生理解和 掌握；让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、 合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人将目标分层后，满足不 同层次学生的做题要求，达到巩固课堂知识的目的 第 2 2 课时勾股定理的逆定理(2 2) 1理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法 2理解逆定理、互逆定理的概念 重点 勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念 难点 理解互逆定理的概念 1616 / 6969 一、复习导入 师：我们学过的勾股定理的内容是什么？ 生：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2. 师：根据上节课学过的内容，我们得到了勾股定理逆命题的内容：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形 师：命题 2 是命题 1 的逆命题，命题 1 我们已证明过它的正确性，命题 2 正确吗？如何 证明呢？ 师生行为： 让学生试着寻找解题思路，教师可引导学生理清证明的思路 师：ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2b2c2.如果ABC 是直角三角形，它应与直角边 是 a，b 的直角三角形全等，实际情况是这样吗？ 我们画一个直角三角形 ABC，使 BCa，ACb，C90(如图)，把画好 的ABC剪下，放在ABC 上，它们重合吗？ 生：我们所画的RtABC，(AB)2a2b2，又因为 c2a2b2，所以(AB)2c2， 即 ABc. ABC 和ABC三边对应相等， 所以两个三角形全等， CC90， 所以ABC 为直角三角形 即命题 2 是正确的 师：很好！我们证明了命题2 是正确的，那么命题 2 就成为一个定理由于命题1 证明 正确以后称为勾股定理，命题 2 又是命题 1 的逆命题，在此，我们就称定理 2 是勾股定理的 逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理 师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立呢？ 生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是 对顶角”不成立 师：你还能举出类似的例子吗？ 生：例如原命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等 逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等 显然原命题成立，而逆命题不一定成立 二、新课教授 【例 1】教材第 32 页例 1 【例 2】教材第 33 页例 2 【例 3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中A 和DBC 都应为直角工人 师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？ 分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子 解：在ABD 中，AB2AD291625BD2，所以ABD 是直角三角形，A 是直 角 在BCD 中， BD2BC225144169132CD2， 所以BCD 是直角三角形， DBC 是直角 因此这个零件符合要求 三、巩固练习 1717 / 6969 1小强在操场上向东走 80 m 后，又走了 60 m，再走 100 m 回到原地小强在操场上向 东走了 80 m 后，又走 60 m 的方向是_ 【答案】向正南或正北 2如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立 即从相距 13 海里的 A，B 两个基地前去拦截，6 分钟后同时到达 C 地将其拦截已知甲巡逻 艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 40，求甲巡逻艇的 航向 11 【答案】解：由题意可知：AC120612，BC5065，12252132. 6060 222 又 AB13， AC BC AB ， ABC 是直角三角形， 且ACB90， CAB40， 航向为北偏东 50. 四、课堂小结 1同学们对本节的内容有哪些认识？ 2勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数 本节课我采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学设计，符合学生的认知规律和 认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、 验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培 养第十八章平行四边形 18181 1平行四边形 18181.11.1平行四边形的性质 第 1 1 课时平行四边形的性质(1 1) 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质 重点 平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质以及性质的应用 难点 运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算 一、复习导入 1师：我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图 形的形象 生：平行四边形 师：平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 生：自动伸缩门、挂衣服的简易衣钩等 师：你能总结出平行四边形的定义吗？(小组讨论，教师总结) (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示 1818 / 6969 如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ADBC，那么四边形 ABCD 是平行四边形平 行四边形 ABCD 记作“ABCD” ，读作“平行四边形 ABCD” ABDC，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形(判定)； 四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，ADBC(性质) 2探究 师：平行四边形是一种特殊的四边形，它除了具有四边形的性质和两组对边分别平行的 性质外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下 (1)由定义知道，平行四边形的对边平行根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相 邻的角互为补角 (2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等 下面证明这个结论的正确性 如图，已知：ABCD. 求证：ABCD，CBAD，BD，BADBCD. 分析：作四边形 ABCD 的对角线 AC，它将平行四边形分成ABC 和CDA，证明这两 个三角形全等即可得到结论 证明：连接 AC， ABCD，ADBC，13，24. 又 ACCA，ABCCDA(ASA) ABCD，CBAD，BD. 由上面的证明可知： 13，24， 1423， BADBCD. 由此得到： 平行四边形的性质 1平行四边形的对边相等 平行四边形的性质 2平行四边形的对角相等 二、新课教授 【例】教材第 42 页例 1 师：距离是几何中的重要度量之一，前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线 的距离在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍平行线之间的距离 如图 1，ab，cd，c，d 与 a，b 分别相交于 A，B，C，D 四点由平行四边形的概 念和性质可知，四边形 ABDC 是平行四边形，ABCD.也就是说，两条平行线之间的任何两 条平行线段都相等 从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的 距离都相等两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线 之间的距离如图2，ab，A 是 a 上的任意一点，ABb，B 是垂足，线段 AB 的长就是 a， b 之间的距离 三、巩固练习 1ABCD 中，A 比B 大 20，则C 的度数为() A60B80C100D120 1919 / 6969 【答案】C 2在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是() A对角相等B对角互补 C邻角互补D内角和是 360 【答案】B 3在 ABCD 中，如果 EFAD，GHCD，EF 与 GH 相交于点 O，那么图中的平行四 边形一共有() A4 个 B6 个 C8 个 D9 个 【答案】D 四、课堂小结 1两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 2平行四边形的性质：对边平行；对边相等；对角相等 我在设计本节课时先让学生看图形，体会到平行四边形在日常生活中的广泛应用，给出 平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作和教师演示旋转得到其 他性质因为本章课标明确要求学生能够规范地写出说理过程，所以我在得出平行四边形性 质的同时加上几何语言的描述，在练习中也注意规范学生的说理过程 2020 / 6969 第 2 2 课时平行四边形的性质(2 2) 理解并掌握平行四边形对角线互相平分的