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,一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,机动目录上页下页返回结束,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2.连续单调递增函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在1,1上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,机动目录上页下页返回结束,定理3.连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续单调递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,证:设函数,于是,故复合函数,又如,且,即,机动目录上页下页返回结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,机动目录上页下页返回结束,例1.,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续.,机动目录上页下页返回结束,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,机动目录上页下页返回结束,例2.求,解:,原式,例3.求,解:令,则,原式,说明:当,时,有,机动目录上页下页返回结束,解:,所以运用等价无穷小的代换,有,例4.求,例5.设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x=1为第一类间断点.,在点x=1不连续,机动目录上页下页返回结束,例6.求函数,的连续区间,并求,所以函数f(x)的连续区间为,解:,解:,例7.求,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.,机动目录上页下页返回结束,作业P693(5),(6),(7);4(4),(5),(6);5,思考与练习,续?,反例,
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