决策理论一道习题

决策理论 与方法P85 12（1）(2)晨光公司生产的圆珠笔芯成箱批发给商业部门，每500件装成一箱，每箱产品的次品率有三种，即10%，20%，30%，相应的概率分别是0.7,0.2,0.1.出厂前的检验方案有两种，一是整箱产品逐一检验，二是整箱不检验，但必须承担商家更换次品费用，一件次品更换费用平均为0.77元。(1) 该公司应该选择哪一种检验方案？(2) 如果整箱产品逐一检验前，允许从每箱中抽取十件产品进行检验，设X=“其中所含次品个数”。试进行抽样贝叶斯决策分析。解：(1)先进行验前分析。次品率j10%20%30%次品率概率P（j）0.70.20.1先验状态变量的概率矩阵为P=（0.7,0.2,.01）T由题设给出的条件，方案a1在各状态的收益值为Q（a1，j）=q1j=0.15000j=50，j=1,2，3方案a2在各状态的收益值为Q（a2，j）=q2j=0.77500j=（38.5，77，115.5），j=1,2，3于是，收益矩阵为Q=（qij）23=相应的损失矩阵为R=（rij）23=方案a1，a2，的期望损失值ER（a1，j）=r1jP（j）=11.50.700.200.1=8.05ER（a2，）=r2jP（j）=00.7270.265.50.1=11.95因此，验前最满意行动方案a*=a1，即整箱产品逐一检验。(2)一箱产品中最多有次品50030%=150件，即所抽取的10件产品中所含次品数X=0，1，2， ，10则条件概率P(X=i|j)=P(X=i)=P(j)P(X=i|j)后验概率P(j|X=i)=P(j)P(X=i|j)/P(X=i)，j=1,2,3方案a1，a2，的期望损失值Ej|X=iR（a1，j）=r1jP(j|X=i)Ej|X=iR（a2，）=r2jP(j|X=i)当X=0时，有次品率r1jr2j验前概率P()条件概率P(X=0|)概率乘积P()P(X=0|)后验概率P(|X=0)方案a1的期望损失值方案a2的期望损失值10%11.500.70.348678440.2440749080.90945641510.4587020%0270.20.1073741820.0214748360.08001817102.160530%065.50.10.0282475250.0028247520.01052541300.6894合计10.268374497110.45872.8499同理得X=i方案a1的期望损失值方案a2的期望损失值验后最满意方案010.15872.8499a219.25476.6545a227.109214.4067a134.313026.4633a141.977039.3137a150.720849.1511a160.277655.5052a170.066259.4293a180.018361.8399a190.005063.3121a1100.001364.2021a1又有P(X=i)=X=iP(X=i)00.055510.092920.081430.052140.043550.076960.142170.188880.16490.0836100.0192合计1所以，验后最满意方案是a2的可能性P(a2)=0.0555+0.0929=0.1484，验后最满意方案是a1的可能性P(a