求此简谐振动的表达式.ppt

机械振动,第六章,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。,广义振动：任一物理量(如电量、电流等)在某一数值附近反复变化。,一、简谐振动的描述,6-1简谐振动,物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)随时间按余弦或正弦函数变化.,以弹簧振子为例,1.运动方程,振幅A物体离开平衡位置的最大距离,决定于初始条件.,周期T物体完成一次全振动所需时间.,频率:单位时间内振动的次数.,角频率,相位t:决定某时刻的质点的运动状态,初相位,2.振动速度及加速度,简谐振动的加速度和位移反向正比.,3.振动初相及振幅由初始条件决定,初始条件：当t=0时,x=x0，v=v0,代入,得,例如：v0=0,x0=A,例1.一质点沿x轴作简谐振动，A=0.12m,T=2s,当t=0时,x0=0.06m,此时刻质点向x正向运动。求此简谐振动的表达式。,解：,取平衡位置为坐标原点,设简谐振动表达式为,T=2s,简谐振动的表达式为,A=0.12m,二、简谐振动的旋转矢量表示法,1.简谐振动与匀速圆周运动,匀速圆周运动在x轴上的投影为简谐振动：,2.简谐振动的旋转矢量表示法,注意：旋转矢量本身绕起始端匀角速度逆时针旋转，其末端在x轴上的投影点才做简谐振动。,3.两同频率简谐振动的相位差,两个谐振动,相位差,若=210,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。,当=0,两振动步调相同,称同相,当=,两振动步调相反,称反相,用旋转矢量表示振动相位关系,同相,反相,例：由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。,例2.以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，确定其振动方程.,解:,设振动方程为,由旋转矢量确定振动初相位：当t=0,旋转矢量以从t=0到t=1转过角度为,三、简谐振动的动力学方程,由振动方程,令,(回复力),反之，如质点所受的力,则质点一定作简谐振动.,或位移满足,简谐振动微分方程,简谐振动的定义,运动学定义,动力学定义,或,简谐振动的质点所受的合外力与它相对于平衡位置位移成正比而反向。,固有角频率,四、简谐振动实例,1.弹簧振子,选平衡位置为原点,位移为x处，物体所受的的合外力,满足简谐振动的动力学定义,物体一定作简谐振动.,由牛顿第二定律,角频率,完全由振动系统本生的性质决定。,固有周期,固有频率,振动方程,2.单摆,当5时，,摆球角位移为时受的合外力,平衡位置：=0.,谐振动微分方程,结论：单摆的小角度摆动是简谐振动。,3.复摆,绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。,令,小幅摆动时,角位移，回复力矩,M=mghsin,M=mgh,由刚体的转动定律,或,谐振动微分方程,拓展与思考,由能量守恒建立简谐振动微分方程,很小(5)，,线性谐振动,角谐振动,简谐振动的判断及振动方程的确定,归纳与总结,例如：对图示的扭摆，圆盘的转动惯量为J,为扭转常数，取决于悬线的长度、直径及材料。,例3.如图m=210-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cmt=0时,x09.8cm,v0=0(1)取开始振动时为计时零点，写出振动方程；(2)若取x0=0，v00为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。,解：,(1)确定平衡位置mg=kl取为原点k=mg/l令向下有位移x,则f=mgk(l+x)=kx系统作谐振动，设振动方程为,由初始条件得,由x0=Acos0=0.0980,sin00,取0=3/2,x=9.810-2cos(10t+3/2)m,对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变,固有频率,x09.8cm,v0=0,例4.如图所示，振动系统由一倔强系数为k的轻弹簧、一半径为R、转动惯量为J的定滑轮和一质量为m的物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.,解：将m的平衡位置取为坐标原点，设平衡位置对应的弹簧伸长量为l0,则,当m有位移x时,联立得,物体作简谐振动,谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数,五、简谐振动的能量,系统的机械能守恒,振动能量曲线,例5.一弹簧振子沿x轴作简谐振动，弹簧倔强系数为k，物体质量为m，简谐振动振幅为A。求弹簧振子的动能为势能的3倍时的位置x。,解：,另解：,一、同方向、同频率谐振动的合成,合振动是简谐振动,其频率仍为,质点同时参与同方向同频率的谐振动:,合振动:,6-2简谐振动的合成,如A1=A2,则A=0，两个同幅反相的振动合成的结果将使质点处于静止状态。,合振动的振幅取得最大，两分振动相互加强。,合振幅最小，两分振动相互减弱。,两个重要特例,若两分振动同相：,若两分振动反相:,合振动不是简谐振动,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,二.两个同方向频率相近简谐振动的合成拍,分振动,合振动,当21时,拍合振动忽强忽弱的现象,拍频:单位时间内加强或减弱的次数=|21|,Beatphenomenon,拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就被校准了。微波测速雷达：被测物体移动时，由于直达波和反射波混合的结果在接收检波器上混频出差拍信号，该差拍信号的频率和移动物体速度成线性关系。,拍的应用,三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成,合振动,分振动,合振动质点的轨迹方程,为椭圆方程.,两相互垂直同频率不同相位差简谐振动的合成,四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成,轨迹称为李萨如图形,对于两个频率不相同的谐振动，其相位差,不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定的轨迹。只有在两振动的频率成简单的整数比时，才有稳定的轨迹。,李萨如图形,解：(1),解：(2),x1和x3合成振幅最大,x1和x3同相,x2和x3合成振幅最小,x1和x3反相,一、阻尼振动,阻尼振动,能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。,摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。,辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。,6-3阻尼振动受迫振动和共振,固定端,物体以不大的速率在粘性介质中运动时,介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比,阻尼系数,由牛顿第二定律，得,l0=mg/k,系统固有角频率,阻尼因子,弱阻尼,阻尼振动的振幅按指数衰减,过阻尼,系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置,临界阻尼,系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来,阻尼振动的应用,在实际生产和生活中，常根据不同的要求，通过不同的方法来控制阻尼的大小。例如，各种机器，为了减震、防震，都要加大摩擦阻尼。各种声源、乐器，总希望它能辐射足够大的声能，就需要加大其辐射阻尼，各种乐器上的空气箱就起这种作用。,在灵敏电流计中，为了尽快地、较准确地进行读数测量，常使电流计的偏转系统处于临界阻尼状态下工作。因为临界阻尼与过阻尼和弱阻尼状态相比，振动物体回到平衡位置的时间最短。,二、受迫振动,受迫振动：振动系统在周期性外力作用下的振动。这种周期性的外力称为驱动力。,系统在弹性力、阻力和驱动力的作用下，其运动方程为,令,受迫振动的微分方程,在阻尼较小的情况下的通解,经过一段时间后，减幅振动可以忽略不计。系统达到稳定状态后的振动为一稳定的等幅振动。,受迫振动的稳定状态为,受迫振动微分方程,(1)角频率:等于驱动力的角频率,(3)初相:,特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化。,(2)振幅:,受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的大小和驱动力的特征有关。,最大振幅为,如0，r=0,即驱动力的角频率等于振动系统的固有角频率时，振幅达到最大值。这种现象叫共振。,三、共振,受迫振动的振幅,与驱动力的角频率有关。令dA/d=0，可得与振幅极大值对应的角频率为,在共振时，=0,共振原因的进一步分析,受迫振动的振动方程,初相,则=/2,振动速度，,这说明，振动速度和驱动力同相(F=Acost)，因而，驱动力总是对系统做正功，系统能最大限度地从外界得到能量。这就是共振使振幅最大的原因。,驱动力,受迫振动的微分方程,共振的利与弊,共振现象在实际中有着广泛的应用：钢琴、小提琴等乐器的木制琴身，利用共振现象使其成为了一共鸣盒，以提高音响效果；收音机的调谐装置也利用了共振现象（电磁共振）选台；原子核内的核磁共振用来进行物质结构的研究及医疗诊断等。,共振的利与弊,共振现象也有其危害性：例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生强烈的共振而受到损坏。,18世纪中叶，一队拿破仑士兵在指挥官的口令下，迈着威武雄壮、整齐划一的步伐，通过法国昂热市一座大桥，快走到桥中间时，桥梁突然发生强烈的颤动并且最终断裂坍塌，造成许多官兵和市民落入水中丧生。造成这次惨剧的罪魁祸首，正是共振！因为大队士兵齐步走时，产生的一种频率正好与大桥的固有频率一致，使桥的振动加强，当它的振幅达到最大限度直至超过桥梁的抗压力时，桥就断裂了。,共振的利与弊,声音杀人,听不到的声音次声，频率低于20赫兹，人体内脏固有频率和次声频率接近，外来次声会引起人体无法忍受的颤抖，从而产生视觉障碍、定向力障碍、恶心等症状，甚至还会出现可导致死亡的内脏损坏或破裂。,共振现象也有其危害性：例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生强烈的共振而受到损坏。,由开有许多小孔的孔板和空腔所构成，当传来的噪声频率与消声器的固有频率相同时，就会跟小孔内空气柱产生剧烈共振。这样，相当一部分噪声能在共振时被“吞吃”掉。,公路隔音墙,措施：破坏外力的周期性、改变物体的固有频率、改变外力的频率、增大系统的阻尼等。,共振的利与弊,简谐振动微分方程,一、简谐振