旋转和翻折专题练习

图形的运动题型一：翻折问题；性质： 翻折前后两个图形全等：边相等，角相等 折痕垂直平分对应点的连线 学会找等腰画图： 已知折痕：过对应点做折痕的垂线并延长 已知对应点：做对应点连线的垂直平分线1如图，在梯形中，,点是边上一点，如果把沿折痕向上翻折，点恰好与点重合，那么为 。 【答案】【解析】把沿折痕向上翻折，点恰好与点重合在直角梯形中，作,则,作的角平分线交于点，联结，过点作的垂线交的延长线于点。由翻折可知，,由作图易得，在中，由勾股定理易得,2如图，在中，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当时，=_.【解析】设AC的中点为H，则,DH=3，AH=CH=4.如图2，当时，因为DE平分AEA,得到DEH是等腰直角三角形.，CE=1，所以.此时A,B之间的水平距离，竖直距离都是1，所以.如图3，,CE=7，此时A,B之间的水平距离，竖直距离都是7，所以.3正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分ADO交AC于点E，把ADE沿AD翻折，得到ADE，点F是DE的中点，连接AF，BF，EF若AE=则四边形ABFE的面积是 3正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分ADO交AC于点E，把ADE沿AD翻折，得到ADE，点F是DE的中点，连接AF，BF，EF若AE=则四边形ABFE的面积是【解答】解：如图，连接EB、EE，作EMAB于M，EE交AD于N四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，ACBD，AO=OB=OD=OC，DAC=CAB=DAE=45，根据对称性，ADEADEABE，DE=DE，AE=AE，AD垂直平分EE，EN=NE，NAE=NEA=MAE=MEA=45，AE=，AM=EM=EN=AN=1，ED平分ADO，ENDA，EODB，EN=EO=1，AO=+1，AB=AO=2+，SAEB=SAED=SADE=1（2+）=1+，SBDE=SADB2SAEB=1+，DF=EF，SEFB=，SDEE=2SADESAEE=+1，SDFE=SDEE=，S四边形AEFE=2SADESDFE=，S四边形ABFE=S四边形AEFE+SAEB+SEFB=故答案为4如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边AD、AB上且AE=BF=1，连接BE、CF交于点G，在线段EG上取一点H使HG=BG，连接DH，把EDH沿AD边翻折得到EDH，则点H到边DH的距离是【解答】解：连接HH，交AD于P，则AD垂直平分HH，DH=DH，即DHH是等腰三角形，正方形ABCD的边长为3，AE=BF=1，A=FBC=90，ABEBCF（SAS），ABE=BCF，CF=BE，又ABE+GBC=90，BCG+GBC=90，BGCF，BF=1，BC=3，RtBCF中，CF=，BG=，HG=BG=，又CF=BE=，HE=，EH：HB=2：3，PHAB，=，即=，PE=，PH=，PD=，RtPDH中，DH=DH，HH=2=，设点H到边DH的距离是h，则HHPD=DHh，=h，h=，点H到边DH的距离是故答案为：5如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将EFG沿EF翻折，得到EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则EMN的周长是 【解答】解：解法一：如图1，过E作PQDC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，DCAB，PQAB，四边形ABCD是正方形，ACD=45，PEC是等腰直角三角形，PE=PC，设PC=x，则PE=x，PD=4x，EQ=4x，PD=EQ，DPE=EQF=90，PED=EFQ，DPEEQF，DE=EF，DEEF，DEF是等腰直角三角形，易证明DECBEC，DE=BE，EF=BE，EQFB，FQ=BQ=BF，AB=4，F是AB的中点，BF=2，FQ=BQ=PE=1，CE=，PD=41=3，RtDAF中，DF=2，DE=EF=，如图2，DCAB，DGCFGA，=2，CG=2AG，DG=2FG，FG=，AC=4，CG=，EG=，连接GM、GN，交EF于H，GFE=45，GHF是等腰直角三角形，GH=FH=，EH=EFFH=，由折叠得：GMEF，MH=GH=，EHM=DEF=90，DEHM，DENMNH，=3，EN=3NH，EN+NHEH=，EN=，NH=EHEN=，RtGNH中，GN=，由折叠得：MN=GN，EM=EG，EMN的周长=EN+MN+EM=+=；解法二：如图3，过G作GKAD于K，作GRAB于R，AC平分DAB，GK=GR，=2，=2，同理，=3，其它解法同解法一，可得：EMN的周长=EN+MN+EM=+=；解法三：如图4，过E作EPAP，EQAD，AC是对角线，EP=EQ，易证DQE和FPE全等，DE=EF，DQ=FP，且AP=EP，设EP=x，则DQ=4x=FP=x2，解得x=3，所以PF=1，AE=3，DCAB，DGCFGA，同解法一得：CG=，EG=，AG=AC=，过G作GHAB，过M作MKAB，过M作MLAD，则易证GHFFKM全等，GH=FK=，HF=MK=，ML=AK=AF+FK=2+=，DL=ADMK=4=，即DL=LM，LDM=45DM在正方形对角线DB上，过N作NIAB，则NI=IB，设NI=y，NIEP，解得y=1.5，所以FI=2y=0.5，I为FP的中点，N是EF的中点，EN=0.5EF=，BIN是等腰直角三角形，且BI=NI=1.5，BN=，BK=ABAK=4=，BM=，MN=BNBM=，EMN的周长=EN+MN+EM=+=；故答案为：6将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B（0，1），点O（0，0）P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A（1）如图，当点A在第一象限，且满足ABOB时，求点A的坐标；（2）如图，当P为AB中点时，求AB的长；（3）当BPA=30时，求点P的坐标（直接写出结果即可）【解答】解：（1）点，点B（0，1），OA=，OB=1，由折叠的性质得：OA=OA=，ABOB，ABO=90，在RtAOB中，AB=，点A的坐标为（，1）；（2）在RtABO中，OA=，OB=1，AB=2，P是AB的中点，AP=BP=1，OP=AB=1，OB=OP=BPBOP是等边三角形，BOP=BPO=60，OPA=180BPO=120，由折叠的性质得：OPA=OPA=120，PA=PA=1，BOP+OPA=180，OBPA，又OB=PA=1，四边形OPAB是平行四边形，AB=OP=1；（3）设P（x，y），分两种情况：如图所示：点A在y轴上，在OPA和OPA中，OPAOPA（SSS），AOP=AOP=AOB=45，点P在AOB的平分线上，设直线AB的解析式为y=kx+b，把点，点B（0，1）代入得：，解得：，直线AB的解析式为y=x+1，P（x，y），x=x+1，解得：x=，P（，）；如图所示：由折叠的性质得：A=A=30，OA=OA，BPA=30，A=A=BPA，OAAP，PAOA，四边形OAPA是菱形，PA=OA=，作PMOA于M，如图所示：A=30，PM=PA=，把y=代入y=x+1得：=x+1，解得：x=，P（，）；综上所述：当BPA=30时，点P的坐标为（，）或（，）题型二：旋转问题；旋转三要素 旋转中心 旋转方向：顺时针；逆时针 旋转角度性质： 旋转前后两个图形全等：边相等，角相等 会找新的相似：以旋转角为顶角的两个等腰三角形相似注意题目中的暗示： 旋转后点落在 边上、直线上、射线上画图： 点的旋转 图形的旋转：可以把图形的旋转转化为点的旋转，从而画圆1在RtABC中，ACB=90，AC=，如果将ABC绕着点C旋转至ABC的位置，使点B 落在ACB的角平分线上，AB 与AC相交于点H，那么线段CH的长等于 2在ABC中，AB=AC，A=80，将ABC绕着点B旋转，使点A落在直线BC上，点C落在点，则= 3如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10连接BD，DBC的角平分线BE交DC于点E，现把BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的BCE为BCE当射线BE和射线BC都与线段AD相交时，设交点分别为F，G若BFD为等腰三角形，则线段DG长为【解答】解：在RtABD中，由勾股定理，得BD=14，在RtABF中，由勾股定理，得：BF2=（4）2+（10BF）2，解得BF=，AF=10=过G作GHBF，交BD于H，FBD=GHD，BGH=FBG，FB=FD，FBD=FDB，FDB=GHD，GH=GD，FBG=EBC=DBC=ADB=FBD，又FBG=BGH，FBG=GBH，BH=GH，设DG=GH=BH=x，则FG=FDGD=x，HD=14x，GHFB，即，解得x=故答案为：4在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把ABO绕点B逆时针旋转，得ABO，点A，O旋转后的对应点为A，O，记旋转角为（）如图，若=90，求AA的长；（）如图，若=120，求点O的坐标；（）在（）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为P，当OP+BP取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）【解答】解：（1）如图，点A（4，0），点B（0，3），OA=4，OB=3，AB=5，ABO绕点B逆时针旋转90，得ABO，BA=BA，ABA=90，ABA为等腰直角三角形，AA=BA=5；（2）作OHy轴于H，如图，ABO绕点B逆时针旋转120，得ABO，BO=BO=3，OBO=120，HBO=60，在RtBHO中，BOH=90HBO=30，BH=BO=，OH=BH=，OH=OB+BH=3+=，O点的坐标为（，）；（3）ABO绕点B逆时针旋转120，得ABO，点P的对应点为P，BP=BP，OP+BP=OP+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结OC交x轴于P点，如图，则OP+BP=OP+PC=OC，此时OP+BP的值最小，点C与点B关于x轴对称，C（0，3），设直线OC的解析式为y=kx+b，把O（，），C（0，3）代入得，解得，直线OC的解析式为y=x3，当y=0时，x3=0，解得x=，则P（，0），OP=，OP=OP=，作PDOH于D，BOA=BOA=90，BOH=30，DPO=30，OD=OP=，PD=OD=，DH=OHOD=，P点的坐标为（，）5如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折，得到ANM（1）当AN平分MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值【解答】解：（1）由折叠性质得：ANMADM，MAN=DAM，AN平分MAB，MAN=NAB，DAM=MAN=NAB，四边形ABCD是矩形，DAB=90，DAM=30，DM=ADtanDAM=3tan30=3=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：四边形ABCD是矩形，ABDC，DMA=MAQ，由折叠性质得：ANMADM，DMA=AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，MAQ=AMQ，MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，ANM=90，ANQ=90，在RtANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，（x+1）2=32+x2，解得：x=4，NQ=4，AQ=5，AB=4，AQ=5，SNAB=SNAQ=ANNQ=34=；（3）过点A作AHBF于点H，如图2所示：四边形ABCD是矩形，ABDC，HBA=BFC，AHB=BCF=90，ABHBFC，=，AHAN=3，AB=4，当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，AD=BC，AH=BC，在ABH和BFC中，ABHBFC（AAS），CF=BH，由勾股定理得：BH=，CF=，DF的最大值=DCCF=46如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，COD关于CD的对称图形为CED（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB=6cm，BC=cm求sinEAD的值；若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形OD=OB=OC=OA，EDC和ODC关于CD对称，DE=DO，CE=CO，DE=EC=CO=OD，四边形CODE是菱形（2）设AE交CD于K四边形CODE是菱形，DEAC，DE=OC=OA，=AB=CD=6，DK=2，CK=4，在RtADK中，AK=3，sinDAE=，作PFAD于F易知PF=APsinDAE=AP，点Q的运动时间t=+=OP+AP=OP+PF，当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是ACD的中位线，OF=CD=3AF=AD=，PF=DK=1，AP=，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为，点Q走完全程所需的时间为3s7如图，在ABC中，AB=AC=2，BAC=120，点D、E都在边BC上，DAE=60若BD=2CE，则DE的长为 【解答】解：（方法一）将ABD绕点A逆时针旋转120得到ACF，连接EF，过点E作EMCF于点M，过点A作ANBC于点N，如图所示AB=AC=2，BAC=120，BN=CN，B=ACB