N维向量的外积

如果向量A与向量B相交得到C，并且根据叉积的性质，C是垂直于A和B的向量，那么1.如果A和B是二维的，那么(通常)不可能有三个相互垂直的二维向量2.如果A和B是四维或更高，那么至少有两个向量垂直于A和B对于1，c是未定义的，对于2，c，定义似乎是模糊的(？)Q0。那么，叉积只存在于三维向量中？事实上，思考这件事是要用叉积来计算面积，所以有以下几个问题：Q1。对于两个N维向量，是否有一个坐标运算导致平行四边形夹在两个向量之间？或者它类似于叉积，它的结果是一个向量，它的模是一个面积？自然，也有一个三维的混合产品，这是由大量书籍中的决定因素定义的。三个三维向量在计算行列式时没有问题，三个四维向量是错误的.所以有Q2。对于三个N维向量，是否存在坐标运算，结果是三个向量夹在平行六面体的体积中？同样，它可以扩展到以下非常一般化的问题Q3。N维空间中的M个向量可以唯一地确定一个M维超立方体。如何从这些向量的坐标计算出超立方体的体积？(显然不一定是立方，但也不知道怎么称呼.)假设你学过线性代数，否则你不会说话.叉积有许多名称，如叉积和外积。促销有很多种。然而，为了回答你的问题，我们最好使用外部产品的名称。为什么不用交叉产品这个名字？向量的模表示长度，而两个向量的外积的模表示面积。虽然我们已经习惯了，但是仔细考虑它还是有点不自然。此外，如果将两个矢量的外积作为一个矢量，则该矢量取决于坐标系。换句话说，在坐标变换下它不能保持不变。这真的不是一个好地方。从物理学的角度来看，它们的维度也是不同的。也就是说，我们应该把它们区分开来，把向量和它的外积看作不同的东西。至少作为不同空间中的向量。那么，向量的外积应该被看作什么？考虑三维空间中的一组基点，它们对应于三个坐标轴。这两个向量的外积是一个“面积向量”，因此可以想象，如果由所有“面积向量”组成的线性空间被写成，则基底可以对应于3个坐标平面(是的，正好是3)。记住这组碱基。这里使用这个符号。这是外代数中代表外积的符号，叫做楔形，意思是楔形。因此，外积也称为楔积。为了方便起见，我们还可以添加一些协议。向量跨越的“平行四边形”(可视为退化的平行四边形)的面积和它本身是0，所以可以同意另一方面，在考虑物理等实际问题时，方向是非常重要的。从前面看的“面积”和从后面看的“面积”可以看作是相反的，所以我们可以同意。通过这种方式，我们已经为三个衬底定义了这一点如何计算？因此，很容易将这种双线性基础扩展到新的操作中。例如，对于并且，等于你注意到这个结果看起来很熟悉吗？如果最后改变它，改变它，改变它，这是我们熟悉的“交叉产品”。但我们不会改变。我们有这个区域。所以我们很自然地想到，我们也应该有一个体积。此外，它的基群是。换句话说，它是一个一维向量空间。然后大家同意，例如，如果你交换两个项目，你将得到原始乘以-1。这样，如果有两个项目是相同的，例如，如果两个项目的顺序改变了，就会有，所以它只能等于0。这样，类似于前面的，我们可以定义三个向量的外积。在检查计算之后(我不会写下具体的过程)，我们会发现三个向量的外积是熟悉的混合积，当然我们必须乘以1。如果你再看一遍前面的过程，你会发现“三”的维度在这里并没有发挥任何特殊的作用，至多它使维度完全相同。因此，我们可以把这些东西推广到任何有限维的向量空间。换句话说，对于一维向量空间，取一组基。这样，是的，它可以看作是张所跨越的一个向量空间(这个空间是量纲的)。然后，双方同意，如果交换两个项目，结果等于原始值乘以-1。然后你可以像以前一样定义维度向量的外积。那么，这个外部产品的模块(在这个维度空间中)就是你所要求的“体积”。特别是，在的时候，它是一个一维空间，三维向量可以排列成一个方阵，这些向量的外积正好等于这个矩阵的行列式(我不这么认为)。到目前为止，我已经回答了你所有的问题。然而，一旦中间的两个向量从产品中取出，它们到达内部，然后中间的东西和中间的东西从产品中取出并到达内部.这总是有点不方便。所以我们可以把它们统一起来。我们把实数域看作一个一维向量空间，如果我们规定它与其他事物的外积等于数的乘法，它就被记录为。然后写下你自己。然后取所有这些直接的和，得到它们并写下来。它也是一个向量空间。除了向量空间的结构之外，这个东西还有一个外积运算。我们称之为外代数。在我面前，我首先选择了一组基础，然后我定义了这样一堆东西。事实上，它们的定义也取决于碱基的选择，但是如果我想先讨论张量或其他什么的话，我就不在这里介绍它们了。外代数也有一个叫做“泛性质”的性质(如果你不理解这一段，忘了它吧):对于任何结合代数(术语“结合代数”在这里指的是某种形式的“乘法”运算，并且这个运算满足结合律的向量空间，这个“乘法”将被记录如下)和任何线性映射，如果在对中有任何元素，那么只有一个代数同态，所以这里的嵌入等价于在对中的一个。当然，交叉产品还有其他促销方式，但我对它们了解不多，所以我不会谈论它们。请参考维基百科的交叉产