日本留学试験 平成22年 日本留学生考试 数学2

数学 2（上級） I 問1 方程式 (x 1)2= 3x 5 考。 (1)方程式 解x = 5 3 満解x =A,B。 ，AB。 (2)方程式 解全部C個。解最小， m 1 =m 満整数mDE。 1 問2 実数x, y関次3条件(a)，(b)，(c)考。 （a）x + y = 5, xy = 3満 （b）x + y = 5, x2+ y2= 19満 （c）x2+ y2= 19, xy = 3満 (1)等式x2+ y2= (x + y)2Fxy用 条件(b)xy =G 条件(c)x + y =Hx + y =IJ 得。 (2)次KM，下03適一選。 (i) (a)(b)K。 (ii) (b)(c)L。 (iii) (c)(a)M。 0必要十分条件 1十分条件，必要条件 2必要条件，十分条件 3必要条件十分条件 2 II xy平面上2直線 x = 1，y = 1 点A(0，3)与。 ，直線y = 1上点P，直線y = 1上点Q PAQ = 90 。2点P，Q条件満動，線分PQ長最小値求。 ，P座標(，1)，Q座標(， 1)。，PAQ = 90満， = 0， = 0， =AB 。，異符号， = H 。，PQ =IJ K, =L M ，最小値H。 3 III OAB考。 辺OA3:1内分点M，辺OB1:2 内分点N，線分AN線分BM 交点P。 OA B N M P (1) # OA， # OB # a， # b， # OP # a， # b表考。 AP : PN = s : (1 s)(0 s 1) BP : PM = t : (1 t)(0 t 1) # OP = (A s)#a + B C s#b = D E t#a + (F t)#b 成立 s = G H , t = I J 。，# OP # a，#b用 # OP = K L # a + M N # b 表。 4 (2) OA= 6，OB= 9，線分OP長AOB大関係調。 OP長，2 # a # b内積 # a # b用表 2= O PQ # a # b +RS 得。 ，例， = 4 cosAOB = TU V 。 一方，AOB大変，得値範囲 W = 34 = 5極大6極小 6 問2 曲線y = 2cos2x曲線y = 4cosx + k，x = a ( 0 a = 2 ) 共通接線。 (1) f(x) = 2cos2x, g(x) = 4cosx + k。題意，2曲線y = f(x)y = g(x) x = a共通接線 f(a) = g(a),f(a) = g(a) 。 f(a) = g(a)0 a = 2 ，a = O ，f(a) = g(a)k = P 得。 接点座標 ( O ,Q ) ，共通接線方程式 y = R S ( x T ) U 。 (2) 2 =x = 2 範囲，2曲線囲部分面積S求。 2曲線y軸関対称，b =V,c = O S =W a b (2cos2x 4cosx k)dx ，計算 S =X Y Z 得。 7 解答 I 問1問2 ABCDEFGHIJKLM 23422355012 II ABCDEFGHIJKLM 84203662222 III ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWX 11334113892319427171835 IV 問1問2 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 412214