炎德英才大联考长郡中学2019届高三月考试卷六理数试卷与答案全解

书书书 理科数学试题? 长郡版? 第? ?页? 共?页? 题 ? 答 ? 要 ? 不 ? 内 ? 线 ? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 密 ? 号 ? 学 ? 名 ? 姓 ? 级 ? 班 ? 校 ? 学 炎德?英才大联考长郡中学? ? ? ?届高三月考试卷?六? 数?学? 理科? 得分? ? ?本试卷共?页?时量? ? ?分钟? 满分? ? ?分? 一? 选择题? 本大题共? ?小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选 项中? 只有一项是符合题目要求的? ? ? ?设集合? ? ? ? ? ? ? ? 集合? ? ? ? ? ? 则?等于 ? ? ? ? ?若?为虚数单位? 复数?满足? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则?的虚部为 ? 槡? ? ? 槡? ? ? ? 槡? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ?设随机变量? ? 其正态分布密度曲线如图所示? 那么向正方形 ? ? ? ?中随机投掷? ? ? ?个点? 则落入阴影部分的点的个数的估计值是 注? 若? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 九章算术? 中的? 竹九节? 问题? 现有一根?节的竹子? 自上而下各节的容 积成等差数列? 上面?节的容积共?升? 下面?节的容积共?升? 现自上而 下取第? ?节? 则这?节的容积之和为 ? ? ? ?升 ? ? ? ? ?升 ? ? ? ?升 ? ? ? ? ? 升 ? ? ?已知某几何体的外接球的半径为槡 ? 其三视图如图所示? 图中均为正方 形? 则该几何体的体积为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 理科数学试题? 长郡版? 第? ?页? 共?页? ? ? ?某城市有连接?个小区? ?和市 中心?的整齐方格形道路网? 每个小方格均为正方 形? 如图所示?某人从道路网中随机地选择一条最 短路径? 由小区?前往小区? 则他经过市中心? 的概率为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知? ? ?的内角?的对边分别为? 若? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ?面积的最大值是 槡? ? ? ? ? ? ? ?执行如图所示的程序框图? 输出?的值等于 ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知非空集合?满足以下两个条件? ? ? ? ?的元素个数不是? 中的元素? ?的元素个数不是?中的元素? 则有序集合对? ? 的个数为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ?在三棱锥? ? ?中? ?平面? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ?是边? ?上的一动点? 且直线? ?与平面? ? ?所成角的最大值为? ? 则三棱锥? ? ?的外接球的表面积为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 理科数学试题? 长郡版? 第? ?页? 共?页? ? ? ?已知 ? ? ? ? 是函数? 的导函数? 且对任意实数?都有 ? ? ? ? ? ? ? ? ?是自然对数的底数? ? 若不等式?的解 集中恰有两个整数? 则实数?的取值范围是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 选择题答题卡 题?号 ? ? ? ? ? ?得分 答?案 二? 填空题? 本大题共?小题? 每小题?分? 共? ?分? ? ? ?已知平面向量?满足? ? 且? ? ? ? ? 则?等于 ? ? ? ?已知奇函数? ? ? ? ? ? ? 的导函数的部分图象如图所示? ?是 最高点? 且? ?是边长为?的正三角形? 那 么? ? ? ? ? ? ? ?已知实数?满足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若? ? ? 只在点? ? 处取得最大 值? 则实数?的取值范围是? ? ? ?已知抛物线? ? ? ? 点?在该抛物线上且位于?轴的两侧? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中?为坐标原点? ? 则? ? ?面积的最小值是? 三? 解答题? 本大题共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演算步骤?第 ? ? ? ? ?题为必考题? 每个试题考生都必须作答?第? ? ?题为选考题? 考 生根据要求作答? ? 一? 必考题? 共? ?分? ? ? ? 本小题满分? ?分? 设数列? ? ? 的前?项和为? 且? ? ? ? ? 在正项等比数列? ? ? ? 中? ? ? ? 求? ? ? ? 和? ? ? 的通项公式? ? ? 设? 求数列? ? ? ? 的前?项和? 理科数学试题? 长郡版? 第? ?页? 共?页? ? ? ? 本小题满分? ?分? 如图? 四 棱 锥? ? ? ?中? 平 面? ? ?平 面 ? ? ? ? 底面? ? ? ?为梯形? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 且? ? ?与? ? ?均为正三角 形? ?为? ? ?的重心? ? ? 求证? ?平面? ? ? ? ? 求平面? ? ?与平面? ? ?所成锐二面角的正切值? 理科数学试题? 长郡版? 第? ?页? 共?页? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 某公司计划购买?台机器? 该种机器使用三年后即被淘汰?机器有一 易损零件? 在购进机器时? 可以额外购买这种零件作为备件? 每个? ? ? 元?在机器使用期间? 如果备件不足再购买? 则每个? ? ?元?现需决策 在购买机器时应同时购买几个易损零件? 为此搜集并整理了? ? ?台这 种机器在三年使用期内更换的易损零件数? 得下面柱状图? 以这? ? ?台机器更换的易损零件数的频率代替?台机器更换的易损零 件数发生的概率? 记?表示?台机器三年内共需更换的易损零件数? ? 表示购买?台机器的同时购买的易损零件数? ? ? 求?的分布列? ? ? 若要求? ? ? ? ? ? ? 确定?的最小值? ? ? 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据? 在? ? ?与? ? ? 之中选其一? 应选用哪个? 理科数学试题? 长郡版? 第? ?页? 共?页? ? ? ? 本小题满分? ?分? 如图? 在平面直角坐标系中? 已知点? ? ? 过直 线?左侧的动点?作?于点? ? ?的角平分线交?轴于点? 且? 槡 ? ? ? 记动点?的轨迹为曲线? ? ? 求曲线?的方程? ? ? 过点?作直线?交曲线?于?两点? 点?在?上? 且? ?轴? 试 问? 直线? ?是否恒过定点? 请说明理由? 理科数学试题? 长郡版? 第? ?页? 共?页? ? ? ? 本小题满分? ?分? 设函数? ? ? ? ? ? ? ? ? 若直线? 和函数? 的图象相切? 求?的值? ? ? 当? ?时? 若存在正实数? 使对任意? 都有? ? ?恒成立? 求?的取值范围? 理科数学试题? 长郡版? 第? ?页? 共?页? ? 二? 选考题? 共? ?分?请考生在? ? ? ?题中任选一题作答? 如果多做? 则按所 做的第一题计分? ? ? ? 本小题满分? ?分? 选修? ? ? 坐标系与参数方程 在直角坐标系? ? ?中? 以原点?为极点? 以?轴的正半轴为极轴建立极 坐标系? 圆?的极坐标方程为? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将圆?的极坐标方程化为直角坐标方程? ? ? 过点? 作斜率为?的直线? 直线?与圆?交于?两点? 试求 ? ? ? ? ? ? ? 的值? ? ? ? 本小题满分? ?分? 选修? ? ? 不等式选讲 已知定义在?上的函数? ? ? 且? ?恒 成立? ? ? 求实数?的值? ? ? 若? ? ? ? ? ? ? ? 求证? ? ? ? ? ? ? ? 书书书 理科数学试题参考答案? 长郡版? ? 炎德?英才大联考长郡中学? ? ? ?届高三月考试卷? 六? 数学? 理科? 参考答案 一? 选择题 题?号 ? ? ? ? 答?案 ? ? ? ? ? 解析?集合? ? ? ? ? ? ? ? ? 集合? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故选? ? ? ? ? 解析?槡 ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? 故?的虚部为 槡? ? ? ? ? 故选? ? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ?阴影部分的面积为? ? ? ? ? ? ?向正方形? ? ? ?中随机投掷? ? ? ?个点? 则落入阴影部分的点的个数的估计值是? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 设自上而下各节的容积分别为? ? ? 公差为? ?上面?节的容积共?升? 下面?节的容积共?升? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?自上而下取第?节? 则这?节的容积之和为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 几何体为正四面体? ? ? ? ? 解析? 由题意知? 此人从小区?前往小区? 的所有最短路径为? ? ? 共?条?记? 此人经过市中心? 为事件? 则?包含的基本事件为? ? ? 共?个? 所以? ? ? ? 即他经过市中心? 的概率为? ? ? ? ? ? 解析? 由题意知? ? ? ? ? 由余弦定理? ? ? ? ? ? ? 故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有? ? ? 故? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即得? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 根据条件? ?的元素个数不是?中的元素?的元素个数不是?中的元素?当集合?只有?个 元素时? 集合?中有?个元素? ? ?且? ? 此时仅有一种结果? ? ? ? ? ? ?当集合?有 ?个元素时? 集合?中有?个元素? ?且? ? 此时集合?中必有一个元素为? 集合?中必有一个元素 为? 故有如下可能结果? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 理科数学试题参考答案? 长郡版? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?共计?种可能?可以推测集合?中不可能有?个元素?当集 合?中有?个元素时? 集合?中有?个元素? 此情况与?情况相同? 只需? ?互换即可?共计?种可能?当 集合?中有?个元素时? 集合?中有?个元素? 此情况与?情况相同? 只需? ?互换即可?共?种可能? 综上所述? 有序集合对? ? 的个数为? ? ?答案选? ? ? ? ? 解析? 由? ? ?有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 而? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? 所以? ? 选? ? ? ? ? ? 解析? 三棱锥? ? ?中? ? ?平面? ? ? 设直线? ?与平面? ? ?所 成角为? 三棱锥外接球球心为? 半径为? 如图所示? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? 且?的最大值是 ? ? ?槡 ? ? ? ? ? 解得? ? 槡? ? ? 即? ?的最小值为 槡? ? ?的最小值是槡 ? 即点?到? ?的距离为槡 ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? 取? ? ?的外接圆圆心为? ? 作? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得?槡? ? ? ? ? ?槡? ? ? 取?为? ?的中点? ? ?槡? ? ? ? 由勾股定理得? 槡 ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 构造函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? 由? ? ?得? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? 研究? ? ? ? ? ? ? ? 的图象? 易知选? 二? 填空题 ? ? ? 槡 ? 解析? 由? ?可得? ? ? ? ? 则? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡 ? 槡槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 由奇函数? ? ? ? ? ?是边长为?的正三角形? 可得? ? ? ? ? ? ?是 最高点且?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得?槡 ? ? ? ? 所以? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 由不等式组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作可行域如图? 联立 ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? 当? ?时? 目标函数化为? 由图可知? 可行解? ? 使? ? ? 取得最大值? 符合题意? 当? ?时? 由? ? ? ? 得? ? ? ? ? 此直线斜率大于? 当 在?轴上截距最小时?最大? 要使可行解? ? 为目标函数? ? ? 取得最大值的唯一的最 优解? 则? ? ? ? ? ? 符合题意? 理科数学试题参考答案? 长郡版? ? 当? ?时? 由? ? ? ? 得? ? ? ? ? 此直线斜率为负值? 当在?轴上截距最大时?最大? 要使可行解? ? 为使目标函数? ? ? 取得最大值的唯一的最优解? 则? ? ? ? 即? ? ? 综上? 实数?的取值范围是? ? ? ? ?槡? ? 解析? 设直线? ?的方程为? ? ? ? ? 点? ? ? 直线? ?与?轴的交点为? ? 将? ? ? ?代入? ? ? ? 可得? ? ? ? ? ? ? ? 根据韦达定理有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以直线? ?恒过点? 且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ?槡? ? ?时? ? ?面积的最小值是槡? ? 三? 解答题 ? ? ? 解析? ? 当? ?时? ? 当? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? 于是? ? ? ? ? 解得? ?或? ? 舍? 所以? ? ? ? ? ? ?分 ? ? ? 由以上结论可得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ?时? ? ? 当? ?时? 令? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? 综上? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? 解析? ? 连接? ?并延长交? ?于? 连接? ?由梯形? ? ? ?中? ? ?且? ? ? ? ? 知? ? ? ? ? ? 又? 为? ? ?的重心? ? ? ? ? ? ? ? ? 故? ? ? 又? ?平面? ? ? ? ?平面? ? ? ?平面? ? ?分 ? ? ?平面? ? ?平面? ? ? ? ? ?与? ? ?均为正三角形? 连接? ?并延长交 于? ?的中点? 连接? ? ? ? ? ? ? ?平面? ? ? ? 以?为原点 建立如图所示的空间直角坐标系? 理科数学试题参考答案? 长郡版? ? ? ? ? ?槡? ? ?槡 ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? 槡? ? ? 可得? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 设平面? ? ?的一个法向量为? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ?槡? ? ? ? ? ? 令? ? ? 得?槡 ? ? 同理可得平面? ? ?的一个法向量? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡槡? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? 所以平面? ? ?与平面? ? ?所成锐二面角的正切值为? ? ? ? ?分 ? ? ? ? 解析? ? 每台机器更换的易损零件数为? ? ? ? 记事件? ?为第一台机器?年内换掉? ?个零件? ? ? 记事件? ?为第二台机器?年内换掉? ?个零件? ? ? 由题知? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为?台机器三年内共需更换的易损零件数的随机变量为? 则?的可能的取值为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? 要使? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则?的最小值为? ? ? ?分 ? ? ? 购买零件所需费用含两部分? 一部分为购买机器时额外购买零件的费用? 另一部分为备件不足时再购买 的费用? 当? ? ?时? 费用的期望为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ? ?时? 费用的期望为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以应选用? ? ? ? ? ?分? 理科数学试题参考答案? 长郡版? ? ? ? ? 解析? ? 设? ? 由题可知? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? 即 ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡 ? ? 化简整理得 ? ? ? ? ? ? 即曲线?的方程为? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? 由已知可得直线?的斜率不为?可设直线?的方程为? ? ? ? ? 联立方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 消去?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立? 记? ? ? ? 则? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?直线? ?的斜率为? ? ? ? 直线? ?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?直线? ?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?直线? ?过定点 ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? 解析? ? 设切点的坐标为? ? ? 由? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? ? ? 所以切线方程为? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? 由已知? ? ? ? ? ? ? ?和? ? ? ?为同一条直线? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? ? ? 则? ? ? ? 当? ? 时? ? ? 单调递增? 当? 时? ? ? 单调递减? 所以? ? ? 当且仅当? ?时等号成立? 所以? ? ? ? ?分? ? ?当? ?时? 由? 结合函数的图象知? 存在? ? ? 使得对于任意? ? 都有? ? 则不等式? ? ? ?等价? ? 即? ? ? ? ? ? ? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? 由? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? 若? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 在? ? ? 上单调递减? 因