概率论和数理统计浙大四版习题答案解析第三章

第三章多维随机变量及其分布1.1箱子里有12个开关，其中2个是次品，其中随机取2次，每次取1个。 考虑两个实验： (1)返回样品，(2)不返回样品。 定义随机变量x。 y如下所示关于(1)(2)的两种情况，试着写了x和y的共同分布律。解： (1)返回样品的情况因为每次拿东西都是独立的。 凭独立性知道。P (X=i，Y=j)=P (X=i)P (Y=j )P (X=0，Y=0 )=P (X=0，Y=1 )=P (X=1，Y=0 )=P (X=1，Y=1 )=或者写xy0101(2)不返回样品的情况P X=0，Y=0 =P X=0，Y=1 =P X=1，Y=0 =P X=1，Y=1 =或者写xy01013.二箱子里，有3只黑球、2只红球、2只白球，其中任意取4只球，取黑球的数设为x，取白球的数设为y，求出x、y的联立分布律。xy01230001020解： (x，y )的可能值为(I，j )，I=0、1、2、3、j=0、12、I2，联合分布律为P X=0，Y=2 =P X=1，Y=1 =P X=1，Y=2 =P X=2，Y=0 =P X=2，Y=1 =P X=2，Y=2 =P X=3，Y=0 =P X=3，Y=1 =P X=3，Y=2 =05.3设随机变量(x，y )的概率密度为(1)决定常数k。 求出(P X1，y3)求出p (x1.5) (4)求出p (xy4 )分析：利用P (X，y ) 解： (1) MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM(2)(3)y(4)6.(1)求第1问中随机变量(x，y )的边缘分布律。(2)求第2问中随机变量(x，y )的边缘分布律。2解： (1)退回样品(第一题)xy0x y=4110xo.o1边缘分布规律X01Y01pipej不返回样品(第1题)xy0101边缘分布是X01Y01pipej(2)(X，y )的联合分布律如下xy0123000300解： x的边缘分布律y的边缘分布律X0123 Y13Pi Pj7.5设二维随机变量(x，y )的概率密度为解：6设二维随机变量(x，y )的概率密度为。x=yy求边缘概率密度。xo.o解：7设二维随机变量(x，y )的概率密度为。(1)试着决定常数c。 (2)求边缘概率密度。: l=yo.oy=x2x15 .第一题随机变量x和y是否彼此独立。解：返回样品时P X=0，Y=0 =P X=0P Y=0=P X=0，Y=1 =P X=0P Y=1=P X=1，Y=0 =P X=1P Y=0=P X=1，Y=1 =P X=1P Y=1=返回样本时，x和y是独立的如果不返回样品：P X=0，Y=0 =P X=0=P X=0=P X=0，Y=0 P Y=0，X=1 =P X=0P Y=0=P X=0，Y=0 P X=0P Y=0x和y不独立16.14x，y是彼此独立的两个随机变量，x均匀地分布在(0，1 )中。 y的概率密度是(1)求出x和y的联合密度。 (2)设包含a的二次方程式为a2 2Xa Y=0，求出有实根的概率。解： (1)X的概率密度为y=x2y的概率密度是1x德. dyo.o我知道x、y相互独立因此，(x，y )的联合密度(2)a有实根，所以判别式即，记述19.18某商品的周需求量是随机变量，概率密度是假设每周需求量相互独立，求出了(1)2周(2)3周需求量的概率密度。解： (1)设第一周的必要量为x，这是随机变量假设第二周的需要量为y，则这是随机变量且分布相同，其分布密度Z=X Y表示两周所需的商品量，从x和y的独立性可以看出z0在z0的情况下，fz (z)=0z0时，以和的概率式为人所知2220(2)z表示前两周的需要量，概率密度为表示第三周的需求量，概率密度如下z和相互独立=z 表示前三周的需要量q757； 0， u0，f(u)=0u0的情况的概率密度22.22某一形式电子管的寿命(时间表)近似遵循n (160，20 )分布。 随机选择的4只中，没有寿命不足180小时的概率。解：以X1、X2、X3、X4为4个电子管的寿命，它们相互独立，分布相同，概率密度如下设为N=minX1，X2，X3，X 4P N180=P X1180，X2180，X3180，X4180=p X80 4=1- p X80 4=(0.1587 )4=0.0006327.28将随机变量(x，y )的分布律xy012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05求出(P X=2|Y=2、P Y=3| X=0)求出(V=max (X，y )的分布律求出(U=min (X，y )的分布律解： (1)有条件的概率公式P X=2|Y=2=同样地，P Y=3|X=0=(2)变量V=maxX，Y 显然，v是随机变量，取V:0 1 2 3 4 5的值P V=0=P X=0 Y=0=0p=1=p x=1，Y=0 P X=1，Y=1 P X=0，Y=1=0.01 0.02 0.01=0.04p=2=p x=2，Y=0 P X=2，Y=1 P X=2，Y=2P Y=2，X=0 P Y=2，X=1=0.03 0.04 0.05 0.01 0.03=0.16p=3=p x=3，Y=0 P X=3，Y=1 P X=3，Y=2 P X=3，Y=3P Y=3，x=0p 4 y=3，x=1p 6 y=3，X=2=0. 050.050.050.060.010.020.04=0.28p=4=p x=4，Y=0 P X=4，Y=1 P X=4，Y=2 P X=4，Y=3=0.07 0.06 0.05 0.06=0.24P V=5=P X=5，Y=0 P X=5，Y=3=0.09 0.08 0.06 0.05=0.28(3)显然u的值是0、1、2、3P U=0=P X=0，Y=0 P X=0，Y=3 P Y=0，X=1 P Y=0，X=5=0.28同样地，p u=1=0.30 p u=2=0.25 p u=3=0.17或者省略为表形式(2)V012345Pk00.040.160.280.240.28(3)U0123Pk0.280.300.250.17(4)W=V U显然是w的取值为0，1，8。PW=0=PV=0 U=0=0PW=1=PV=0，U=1 PV=1U=0 V=maxX，Y=0和U=minX，Y=1是不可能的上式的PV=0，U=1=0另外，p v=1u=0=p x=1y=0 p x=0y=1=0.2因此，PW=1=PV=0，U=1 PV=1，U=0=0.2PW=2=PV U=2=PV=2，U=0 PV=1，U=1=PX=2 Y=0 PX=0 Y=2 PX=1 Y=1=0.03 0.01 0.02=0.06PW=3=PV U=3=PV=3，U=0 PV=2，U=1=PX=3 Y=0 PX=0，Y=3 PX=2，Y=1PX=1，Y=2=0.05 0.01 0.04 0.03=0.13PW=4=PV=4，U=0 PV=3，U=1 PV=2，U=2=PX=4 Y=0 PX=3，Y=1 PX=1，Y=3PX=2，Y=2=0.19p=5=p v u=5=p v=5，U=0 PV=5，U=1PV=3，U=2=PX=5 Y=0 PX=5，Y=1PX=3，Y=2 PX=2，Y=3=0.24PW=6=PV U=6=PV=5，U=1 PV=4，U=2PV=3，U=3=PX=5，Y=1 PX=4，Y=2PX=3，Y=3=0.19PW=7=PV U=7=PV=5，U=2 PV=4，U=3=PV=5，U=2 PX=4，Y=3=0.6 0.6=0.12PW=8=PV U=8=PV=5，U=3 PX=5，Y=3=0.05或者名单是W0123456