初三数学《反比例函数》教案

1 初三数学反比例函数教案 1、 反比例函数的意义 说明：初三数学课说明：初三数学课反比例函数反比例函数这一章，共这一章，共 9 9 个课时，每个课时个课时，每个课时 2 2 小时，小时， 稍作删减可作为上新课的一个课时（稍作删减可作为上新课的一个课时（4545 分钟）使用。分钟）使用。 重点：重点：理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式 难点：难点：反比例函数的解析式的确定 关键：关键：对反比例函数意义的理解，把文学语言翻译成数学语言 方法：方法：注重类比，边讲边练 【学习过程学习过程】 【知识回顾知识回顾】 1.在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，当 x 在其取值范围内任意取一个值时， y ，则称 x 为 ，y 叫 x 的 . 2.一次函数的解析式是： . 3、正比例函数的解析式的: ，两个变量 x、y 变化关系是： . 3.一条直线经过点（2，3） 、 （4，7） ，该直线的解析式是 .以上这种求函数解 析式的方法叫： . 【活动一活动一】 提出问题：请根据下列问题，分别写出两个变量间之间的函数关系式： （1）京沪线铁路全程为 1463km，乘坐某次列车所用时间 t（单位:h）随该列车平均速度 v（单位:km/h） 的变化而变化； （2）某住宅小区要种植一个面积为 1000m2的矩形草坪，草坪的长为 y 随宽 x 的变化； （3）已知北京市的总面积为 1.68104平方千米，人均占有土地面积 S（单位：平方 千米/人）随全市人口 n（单位:人）的变化而变化 （4）ABC 的面积是 2，它的底边 y 随底边上的高 x 的变化而变化： （5）菱形的面积是 3，它的一条对角线 y 随另一条对角线 x 的变化而变化： （1） 、上面问题中，自变量与因变量分别是什么？（1） （2） （3） （4） （5） （7） 、上述函数关系式是一次函数吗？是正比例函数吗？ 【活动二活动二】 反比例函数的定义反比例函数的定义 1、上述函数表达式：、S， ， 有什么 v t 1262 x y 1000 n 4 1068 . 1 共同特征？你能用一个一般形式来表示吗？ 2 2、对于函数关系式，完成下表： x y 1000 x 102030405080100 x y 1000 当越来越大时怎样变化？这说明与具备怎样的关系？xyxy 3、类比一次函数的概念给上述新的函数下一个恰当的定义： 反比例函数： 请你回答：请你回答： 1、反比例函数中自变量在分式的什么位置？自变量的取值范围是什么？ x k y x 2、你能再举出两个反比例函数关系的实例吗？写出函数表达式，与同伴进行交流。 例题：例题： 例例 1 1 下列哪些式子表示是关于的反比例函数？每一个反比例函数中相应的值是多少？yxk ； ； xy4 x y 5 16 xy3 x y 123xy x y 3 2 xy 解：反比例函数是： K 的值分别是： 课堂练习课堂练习 1、关系式 xy+4=0 中 y 是 x 的反比例函数吗?若是，比例系数 k 等于多少？若不是，请说明理由。 2、 在下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 5 8 x y7 3 x y5xy 2 2 x y 3、若函数是正比例函数,则 m = ，已知函数是反比例函数,则 m = 7 m xy 2 5 (3m1) m yx 例题：例题： 例例 2 2：1、已知是的反比例函数，当时，yx2x6y 写出与的函数关系式。yx 求当时，的值4xy 解： 2、已知函数 yy1y2，y1与 x1 成正比例，y2与 x 成反比例，且当 x1 时，y0；当 x4 时， y9，求当 x1 时 y 的值 课堂练习课堂练习 1、已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=3 时，y=-8。 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式。 （2）求 y=2 时 x 的值。 3 2、y 是 x 的反比例函数，下表给出了 x 与 y 的一些值： x-2-1 2 1 2 1 13 y 3 2 2-1 （1）写出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表。 3、当 m = ，函数是反比例函数。 2 3 )2( m xmy 4、若 y 与 x-2 成反比例，且当 x=-1 时，y=3，则 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式。 （2）求当 x=5 时，y 的值 5、已知 y 与 z 成正比例,z 与 x 成反比例,当 x=-4 时,z=3,y=-4.求: (1)Y 关于 x 的函数解析式; (2)当 z=-1 时,x,y 的值. 6、 课后作业课后作业 1、若 y 是 x-1 的反比例函数，则 x 的取值范围是 2、若 y=是 y 关于 x 的反比例函数关系式，则 n 是 1 1 n x 3、把 xy=-1 化为 y=的形式，其中 k= k x 4、苹果每千克 x 元，花 10 元钱可买 y 千克的苹果，则 y 与 x 之间的函数关系式为 5已知 y 与 x 成反比例，且当 x2 时，y3，则 y 与 x 之间的函数关系式是 ，当 x3 时，y 6、当 m 时，关于 x 的函数是反比例函数？ 2 2 ) 1( m xmy 7.如果 y 与 x 成正比例，z 与 x 成反比例，那么 y 与 x 之间的函数关系是 （ ） A 正比例关系 B 反比例关系 C 一次函数关系 D 不确定 8、在下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） A、 B C、xy=5 D、 9、已知 y 是 x的反比例函数，并且当 x=3 时，y=4。 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式。 （2）求 x=1.5 时 y 的值。 5 8 x y7 3 x y 2 2 x y 之间的函数关系。与，求值都等于 的时，与成反比例，并且与成正例，与，已知 xy yxxxyxyyyy 10 32 2121 4 10、已知 y-2 与 x 成反比例, 并且当 x = 3 时 y =1，求 y 与 x 的函数关系式。 2、 反比例函数的图像 重点:画反比例函数图像，归纳出并初步理解反比例函数性质。 难点:反比例函数性质的理解和应用 关键：对反比例函数图像的理解 方法：数形结合，边讲边练 一、一、 【知识回顾知识回顾】 1一次函数 ykxb（k、b 是常数，k0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数 ykx（k0） 呢？ 2作函数图像的一般步骤： 、 、 2若点（3，6）在反比例函数的图象上，反比例函数的解析式 )0(k x k y 以上这种求函数解析式的方法叫： . 想一想：反比例函数的图像会是什么形状呢？ 二、讲解新课 例题 1、画出反比例函数 y=与 y= -的图象 x 6 x 6 注意：（1）列表取值时，x0，因为 x0 函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心， 向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求 y 值 （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的 图象更精确 （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线 （4）由于 x0，k0，所以 y0，函数图象永远不会与 x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 现在我们用描点法来画反比例函数 y=与 y= -的图象 x 6 x 6 （1）列表 x-6-5-4-3-2-11234-5-6 y= x 6 -1-1.5-2621.2 y=- x 6 11.223-6-2-1.5-1 （2）描点、连线 5 （- 4，2） 0 思考：思考：根据反比例函数和的图象，你能发现它们的共同特征吗？ x y 6 x y 6 反比例函数图像特点和性质：反比例函数图像特点和性质： 1、反比例函数(k0)的图象是由两个分支组成的_线。 x k y 2、当时，图象在_象限，y 随 x 的增大（减小）而_（ ）；0k 当时，图象在_象限，y 随 x 的增大（减小）而_（ ） 。0k 注意：注意：反比例函数(k0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。 x k y 反比例函数(k0)的图象无限靠近坐标轴，但永远都不与坐标轴相交。 x k y 练习练习： 1、在画反比例函数的图象 55 yy xx 和= 列出 x、y 对应值表： x-6-5-4-3-2-11234-5-6 y= 5 x y= 5 x 2、的图像叫 ，图像位于 象限，在每一象限内，y 随 增大而 ； x y 20 x 3、函数 y=图象在第 象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而 x 30 4、对于函数 y=，当 x-a,那么 b 和-b有怎样的大小关系? 课堂练习： 1、在反比例函数 y=图像上任取点 M(x1,y1)和点 N（x2，y2） ，且 3 x x1x20，那么，y1和 y2有怎样的大小关系？ 试比较该函数图像上两个点 的纵坐标和的大小。 2 5m 3 5m 想一想：想一想：1 1、不等式0 或0 与反比例函数 y=之间的有什么关系？ k x k x k x 2、如图 1，y= （2）y= （3）y= 在 x 轴上方的图象如图所示，由此推出 k1，k2，k3的大小 1 k x 2 k x 3 k x 关系 三、课后作业三、课后作业 1 1、如图（、如图（2 2） ，直线 y=kx 与反比例函数 y=-的图象相交于点 A、B， 6 x 过点 A 作 AC 垂直于 y 轴于点 C，连接 BC,则，SABC= 图（图（2 2） 10 2、已知正比例函数 y=kx 和反比例函数的图像都过点 A（m,1） ，求此正比 x y 3 例函数解析式及另一交点坐标。 3、如图 2，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y =的图象交于 A、B 两点 m x （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象写出使一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的 x 的取值范围 4、已知函数的图象经过点（2，3） ，下列说法正确的是（ ） x k y Ay随x的增大而增大 B.函数的图象在第一象限 C当x0 时，必有y0 D.点（-2，-3）不在此函数的图象上 5、如果两点（1，）和（2，）都在反比例函数的图象上，那么（ 1 P 1 y 2 P 2 y 1 y x ） A0 B0 C0 D0 2 y 1 y 1 y 2 y 2 y 1 y 1 y 2 y 6 、反比例函数 在第一象限内的图象如图所示，P 为该图象上任意一点，PQ 垂直于 x 轴，垂足为 Q，设POQ 面积为 S，则 S 的值与 k 之间的关系是（ ） 7、已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交，其中一个交点的纵坐标为 6，kxy23 x k y 3 求一次函数和反比例函数的解析式. 8、如图，正比例函数 yk1x 的图象与反比例函数 y=的图象相交于 A，B 两点，其中点 A 的坐标 2 k x 为(,2).33 (1)分别写出这两个函数的表达式： (2)求点 B 的坐标. D E G C A F B 11 y x y 0 （-3，1） 9、 如图, 已知ABCADE, BC 的边长线交 AD 于 F, 交 AE 于 G, ACB=105,CAD=10, ADE=25. 求DFB 和AGB 度数. 10、 如图，在 RtABC 中， AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD，CE，BD 的延长线于 E，试 说明 BD=2CE 4、 反比例函数性质（2） 重点：反比例函数图像与性质的简单综合应用 难点：综合应用，解决有关问题 一、知识回顾 1、反比例函数图像的名称是 ，位于第 或第 象限，永远都不与 轴相 交，其理由是 2、反比例函数中， k y x 当 k 0 时，y 随 x 增大（减小)而 （ ） ，y 是 函数 当 k 0 时，y 随 x 增大（减小)而 （ ） ，y 是 函数 K 的几何意义是： 。如果点 P（x、y）是双曲线图像上的 k y x 一个动点，点 P 在运动过程中，以 为邻边长的矩形的面积 S1 S2 S3 . SN 二例题与思考： 1、基础练习 （1）根据图中条件，写出函数的解析式。 （2）已知 y-2 与 x 成反比例, 并且当 x = 3 时 y =1，求 y 与 x 的函数关 系式。 （3）函数 y=ax-a 与 (a0) 在同一个直角坐标系中的图象可能是 . x a y 12 O C F M D E N K y x 11 ()A xy， 22 ()B xy， 图 1 x y o x y o x y o x y o (1) (2) (3) (4) x y o x y o x y o x y o (1) (2) (3) (4) 二、知识讲解 例题：如图，一次函数 y1=kx+b(k0)的图象与反比例函数的图象相交于 A、B 两点 x m y 2 （1）根据图象，分别写出点 A、B 的坐标； （2）求出这两个函数的解析式 （3）连结 OA、OB，求ABC 的面积 三、课堂练习： 1、如图所示，直线 y1=kx+b(k0)与双曲线 y2=相交于 A、B 两点. m x 请根据图中条件回答： 当 x 取何值时，y1=y2 当 x 取何值时，y1y2 当 x 取何值时，y1y20 B. y2y10 C. y1y20 D. y2x3 B、x1x3x2 C、x3x2x1 D、x3x1x2 4、如图3，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x 2 y x 轴的负半轴上，且OA=OB=2，那么AOB的面积为 A、2 B、 C、 D、 2 2 5、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系 1 yx k 2k y x 1k2k 一定是（ ） (A) 、异号(B) 、同号 (C) 0， y2，则 k 的取值 1k y x 范围是_ _。3、已知，那么，k=_，其图象在第_象限。20 3 xy 4、菱形面积为12cm2，且对角线长分别为 x cm 和 y cm，则 y 关于 x 的函数关系式是_。 5、反比例数 y=，当 x0时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的值是 。 2 2 (21) m mx 6、.已知圆柱的侧面积是，若圆柱底面半径为 ，高为 ，则与 的函数10 2 cmrcmhcmhr 关系式是 。 7、若 A、B 两点关于轴对称，且点 A 在双曲线上，点 B 在直线上，设点y x y 2 1 3 xy A 的坐标为（a,b）,则= 。 a b b a 三、解答题：（共 48 分） 1、 （9 分）已知 y=y1+y2 ,y1与1 成正比例，2与1 成反比例，当0 时， 12；当2 时，7。 29 （1）求与的函数关系式； （2）当 x-2 时，求 y 的值。 2、 （9 分）一次函数的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数的图象交于 C、D 两点，如果 A 点坐标为(2,0)，点 C、D 在第一、三象限，且 OA=OB=AC=BD，试求一次函数和反比例函数的解析式？ 3、 （10 分）如图，一次函数的图象分别交 x 轴、y 1 2 2 yx 轴于 A、B，P 为 AB 上一点且 PC 为AOB 的中位线，PC 的 延长线交反比例函数的图象于 Q，求(0) k yk x 3 2 OQC S k 的值和 Q 点的坐标 3 4、（10 分）如图所示，点 A、B 在反