初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型

等腰三角形的一般模型【知识精析】一、等腰三角形的特征：边、角的特征：两直角边相等，两锐角相等(均为45 )。边的关系：知道任意边的长度，就能得到其他边的长度。2、等腰三角形和等腰直角三角形：以等腰三角形为背景的几何问题经常包含全等三角形，发现和证明其中的全等三角形是解决问题的关键。 熟悉以下基本模型有助于解决直角等腰三角形问题。模型1 :通过直角等腰三角形的直角顶点的直线(不与三角形的边重叠)(1)若将元等腰三角形两直角边作为对应斜边，则一定能构筑一对等边直角三角形1-1 :图： RtABC表示873BAC=90，AB=AC，点d表示BC上的任意点，过b表示BEAD表示点e，过c表示CFAD表示点f。(1)求证： BE-CF=EF；(2)如果d在BC的延长线上(图(2) )，在(1)中的结论还成立吗？ 如果不成立，请写一个新的结论来证明。变量1 :在等腰RtABC中AB=CB、873ABC=90，点p在线段BC上(不与b、c重叠)，把AP作为腰长，把直角PAQ、QQ、AB把QQ正交AB设为m。(1)求证： m是BE的中点(PC=2PB的情况下，求出的值(2)若将原等腰三角形的两直角边作为对应直角边，则一定能够构筑一对全等的直角三角形1-2 :图：在RtABC中，873BAC=90，AB=AC，点d是BC上的任意点，过b是BEAD是点e，交AC是点g，过c是CFAC交AD的延长线和点f。(1)寻求证据： BG=AF(2)如果d在BC的延长线上(图(2) )，在(1)中的结论还成立吗？ 如果不成立，请写一个新的结论来证明。变式1 :如图所示，求出了在RABC中，ACB=45、BAC=90、AB=AC、点d是AB的中点，AFCD在h交BC处是f，BEAC交AF的延长线是e，BC在垂直处将DE二等分。变量2 :在等腰RtABC中，AC=AB，BAC=90，点d是AC的中点，AFBD是点e，交BC是点f，连接DF，求证：1=2。变式3 :在二等边RtABC，AC=AB，873.BAC=90，点d、e在AC上的两点连接AD=CE，AFBD在点g，交BC在点f连接DF，求出证明：1=2。模型2 :直角等腰三角形和直角三角形的斜边等腰三角形和另一个直角三角形有共同的斜边，一定能把两腰作为对应边构成全等三角形2-1 :连接PS，要求证明： PS=45。变式1 :在二等边RtABC中，AC=AB，BAC=90，e是AC上的点，点d是BE延长线上的点，ADC=135求证明： BDDC。变式2 :对于二等边RtABC，AC=AB，BAC=90，BE二等分ABC交AC为e，过c作CDBE交d，DMAB交BA的延长线为点m(1)求出的值(2)求出的值。模型3 :两个直角等腰三角形合计一个顶点(1)两个直角等腰三角形的直角顶点必须包含一对全等三角形3-1 :如图1所示，ABC、BEF是直角等边三角形，U， 预想并证明PS和PS的数量关系(2)两个等腰三角形共有锐角的顶点，直角开口方向相同，必须包含一对相似三角形(3)两个直角等腰三角形共享锐角顶点，直角开口方向相反，必须利用平移结构，可以包含一对全等三角形如图所示，ABC和EBD都是直角等腰三角形，BAC=BED=90。 把DE移到CF，把e和c叠加起来，把AE、AF连接起来，AEB和AFC是同等的(密钥利用并行证明ABE=ACF )。3-2 :图：两个直角三角形ABC、ADE的顶点a重叠，p在线段BD的中点，连接PC、PE。(1)如图1所示，如果BAC=DAE=45，则a、c、d在同一直线上时，线段PC、PE的关系为(2)如图2、3所示，请把UUUUUUUUK围绕a旋转度，选择(1)的结论是否成立能够证明你的结论。【古典型号】在BAC中，有满足AB=AC，且BAC=90满足BDC=90的点(1)点d在边BC之下时，要试着探索DB、DA和DC的大小关系吗？(2)点d在边BC上时，试着探索DB、DA和DC的大小关系吗？普及：(1) ABC是等边三角形，d是BC下方的点BDC=120，在这种情况下？(2) ABC是等腰三角形，d是BC下方的点BDC=60，在这种情况下怎么样？【预想】是在运算中发现的，还是有一定数量的对应关系？【巩固练习】如图所示，其中有、T、上两点、T、外一点，然后、得出如下结论； ； ，其中正确的是甲组联赛f.f乙级联赛德. dec.ca、B、c、 D、已知在RtABC中，AB=AC，BAC=90，如果o是BC的中点，则以o为顶点MON，AB、AC与点m、n相交。如果MON=90 (图1 )，则OM=ON； BM2 CN2=MN2；如果MON=45 (图2 )，则AM MN=CN；3 .如图所示，在平面直角坐标系中，AOB是直角等腰三角形、a (4，4 )。(1)设c为x轴正半轴上的运动点，以AC为直角边，设直角ACD，ACD=90，连接od求出AOD的度数(2)以a为y轴的垂线，连接以y轴为e、f为x轴负半轴上的点、g为EF的延长线上、以EG为直角边的等边RtEGH、以a为x轴的垂线EH为点m、FM的方程式成立吗？ 成立的话，请证明。如果不成立的话，就说明理由。4 .在ABC和DCE中，AB=AC、DC=DE、UUUUUUUUR=90、点e位于AB上、连续AD、DFAC位于点f。 探索PS、PS、PS的数量关系，求出PS的度数。5 .图：等脚RtABC和等脚RtEDB、AC=BC、DE=BD、ACB=EDB=90、e是一点，p是AE的中点。连接PS、PS的PS、PS的位置关系，数量关系证明你的结论。在e线段AB上变化时，其他条件没有变化，把EFBC设为f并与PF连接，在试判PCF的形状的点e运动中，PCF可以是等边三角形吗？ 如果可能的话，求ACB和EDB两直角边的比。6 .已知在两个共同顶点的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90连接AF，m在AF的中点连接MB、ME(1)如图1所示，当CB和CE在同一直线上时，MBCF；(2)如图1所示，如果CB=a、CE=2a，则求出BM、ME的长度(3)如图2所示，在BCE=45的情况下，求出BM=ME .7 .如图所示，在平面直角坐标系中，a (4，0 )、b (0，4 )。 点n是OA上的点，OMBN是m，且ONB=45 MON。(1)求证书： BN二等分OBA；(2)求出的值(3)点p是第四象限内的运动点，并且APO=135的话，请询问