高中数学课件(必修一)函数与方程

第三章：函数的应用,第一节：函数与方程,要点梳理1.函数的零点（1）函数零点的定义对于函数y=f(x)(xD),把使_成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.,f(x)=0,基础知识自主学习,（2）几个等价关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与_有交点函数y=f(x)有_.(3)函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_,那么函数y=f(x)在区间_内有零点,即存在c(a,b),使得_，这个_也就是f(x)=0的根.,f（a）f（b）0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0),(x1,0),无,一个,两个,3.二分法（1）二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且_的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_,使区间的两个端点逐步逼近_,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.（2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_,给定精确度；第二步，求区间（a，b）的中点x1；,f(a)f(b)0,一分为二,零点,f(a)f(b)0,第三步，计算_：若_，则x1就是函数的零点；若_，则令b=x1(此时零点x0(a,x1);若_，则令a=x1(此时零点x0(x1,b);第四步，判断是否达到精确度：即若|a-b|,则得到零点近似值a（或b）;否则重复第二、三、四步.,f(x1),f(a)f(x1)0,f(x1)f(b)0,f(x1)=0,基础自测1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的零点是（）A.0，2B.0，C.0，D.2,解析由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).令g(x)=0，得x=0,x=g（x）的零点为0，,C,2.函数f(x)=3ax-2a+1在-1，1上存在一个零点，则a的取值范围是（）A.B.a1C.D.解析f(x)=3ax-2a+1在-1，1上存在一个零点，则f(-1)f(1)0,即,D,3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是（）解析图B不存在包含公共点的闭区间a，b使函数f（a）f（b）0.,B,4.下列函数中在区间1,2上一定有零点的是（）A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=mx2-3x+6D.f(x)=ex+3x-6解析对选项D，f（1）=e-30，f（1）f（2）0.,D,5.设函数则函数f(x)-的零点是_.解析当x1时，当x1时，(舍去大于1的根).的零点为,题型一零点的判断【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f（x）=x2-3x-18，x1，8；(2)f（x）=log2(x+2)-x，x1，3.第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.,思维启迪,题型分类深度剖析,解（1）方法一f（1）=12-31-18=-200，f(1)f(8)log22-1=0,f(3)=log25-3log28-3=0,f（1）f（3）0，故f(x)=log2(x+2)-x,x1，3存在零点.方法二设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图象，,从图象中可以看出当1x3时，两图象有一个交点，因此f(x)=log2(x+2)-x,x1，3存在零点.函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件.,探究提高,知能迁移1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）f(x)=x3+1;（2）x（0，1）.解（1）f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令f(x)=0，即(x+1)(x2-x+1)=0,x=-1,f(x)=x3+1有零点-1.（2）方法一令f(x)=0，x=1,而1(0,1),x(0,1)不存在零点.,方法二令y=x,在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象,从图中可以看出当01),f2(x)=则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标.在同一坐标系中，作出函数f1(x)=ax(a1)与f2(x)=的图象(如图所示）.两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且只有一个根.,题型三零点性质的应用【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x0).(1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.（1）可结合图象也可解方程求之.（2）利用图象求解.,思维启迪,解（1）方法一等号成立的条件是x=e.故g(x)的值域是2e，+)，4分因而只需m2e，则g(x)=m就有零点.6分方法二作出的图象如图：4分可知若使g(x)=m有零点，则只需m2e.6分,方法三解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0.此方程有大于零的根，4分等价于故m2e.6分(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g（x）=f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，,作出（x0）的图象.f（x）=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.其对称轴为x=e，开口向下，最大值为m-1+e2.10分故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.m的取值范围是（-e2+2e+1,+).12分,此类利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解.,探究提高,知能迁移3是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间-1,3上与x轴恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说明理由.解=(3a-2)2-4(a-1)0若实数a满足条件,则只需f(-1)f(3)0即可.f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)0.所以a或a1.,检验:(1)当f(-1)=0时，a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0，即x2+x=0，得x=0或x=-1.方程在-1,3上有两根，不合题意，故a1.(2)当f(3)=0时，a=解之得x=或x=3.方程在-1,3上有两根,不合题意,故a综上所述,a1.,1.函数零点的判定常用的方法有：零点存在性定理；数形结合；解方程f（x）=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=f（x）-g（x）的零点.3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.,方法与技巧,思想方法感悟提高,1.对于函数y=f(x)(xD),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数的零点,注意以下几点:(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.(2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.(3)一般我们只讨论函数的实数零点.(4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.,失误与防范,2.对函数零点存在的判断中,必须强调:(1)f(x)在a,b上连续;(2)f(a)f(b)0，f（-1）f（0）0),则y=f(x)（）A.在区间(1,e)内均有零点B.在区间(1,e)内均无零点C.在区间内有零点，在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点,解析因为因此f(x)在内无零点.因此f(x)在(1，e)内有零点.答案D,3.（2009福建文，11）若函数f（x）的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（）A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.解析g(x)=4x+2x-2在R上连续且设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则,又f(x)=4x-1零点为f(x)=(x-1)2零点为x=1;f(x)=ex-1零点为x=0;零点为答案A,4.方程|x2-2x|=a2+1(aR+)的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析aR+，a2+11.而y=|x2-2x|的图象如图，y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.方程有两解.,B,5.方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A.B.C.D.解析本题研究方程根的个数问题,此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其次是直接求出所有的根.本题显然考虑第一种方法.,如图，作出函数y=|x|(x-1)的图象，由图象知当k时，函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的交点，即方程有3个实根.答案A,6.设f(x)=x3+bx+c(b0)(-1x1),且则方程f(x)=0在-1,1内()A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根解析f（x）=x3+bx+c（b0），f(x)=3x2+b0,f（x）在-1,1上为增函数,又f（x）在内存在唯一零点.,C,二、填空题7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是_.解析g（x）=-6x2-5x-1的零点为,8.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)0的解集是_.解析f（x）=x2+ax+b的两个零点是-2，3.-2，3是方程x2+ax+b=0的两根，由根与系数的关系知f(x)=x2-x-6.不等式af(-2x)0，即-(4x2+2x-6)02x2+x-30,解集为,9.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0有三个实根；当x1时，恰有一实根.则正确结论的编号为_.,解析f（-2）=-2(-3)(-1)+0.01=-5.990，即f(-2)f(-1)0,由图知f(x)=0在(-1,0)上没有实数根,所以不正确.又f(0.5)=0.5(-0.5)1.5+0.01=-0.3650,即f(0.5)f(1)0,f(x)=0在（1，+）上没有实根.不正确.并且由此可知也正确.答案,三、解答题10.已知函数f(x)=4x+m2x+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点.解f（x）=4x+m2x+1有且仅有一个零点，即方程(2x)2+m2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t0)，则t2+mt+1=0.当=0,即m2-4=0，m=-2时，t=1;m=2时，t=-1不合题意，舍去，2x=1，x=0符合题意.,当0，即m2或m0,则应有f(2)0,又f（2）=22+（m-1）2+1,