行列式的性质(3)、克莱姆法则和行列式的逆序定义.ppt

1.转置值不变；,一、行列式的性质,（一）关于行列式等于零的性质：,2.互换两行（列）变号；,（二）行列式的运算性质：,1.两行（列）元相同；,2.两行（列）元对应成比例；,3.某行（列）元全为零。,3.（提公因子）某行（列）有公因子k，可把k提到行列式外；,回顾上周所学内容,（三）行列式的展开定理：,1.行列式可按任一行（列）展开。,4.（裂项）某行（列）元素为多项和，可按此行（列）裂为多个行列式相加；,5.（加倍）某行（列）元素乘数k加到另一行（列），值不变。,二、简单行列式的计算：,1.直接判断为零；,2.降阶法：按多零的行（列）展开,（也可以利用性质把某一行（列）元素尽可能多化为零）；,3.化为三角行列式。,课后思考：的值,的值有什么关系？,与,分析：,注：计算元素为很大数字的行列式,注：行（列）等和行列式,把后面各列(行）加到第一列(行），提取公因式。,常用方法是将其他各行（列）元素表示成某行（列）元素的倍式加或减一个较小的数。,例5,解：从第二行起，每行都加第一行，得：,课本P19EX5(2),例6,解：从第二行，每行都减第一行，得：,课本P19EX5(3),注：逐次行（列）相加减，化简行列式，也是求行列式的一种常见方法。,思考：计算n阶行列式：,提示：先把第一行加到第二行，然后再把第二行加到第三行，依此下去，最后把第n行加到第n+1行。,提示：从第一行起，每一行都减去其下一行。,（P23例4）,四、行列式的其他常见计算方法简介：,2.数学归纳法：,4.加边法（添加一行一列，变成n+1阶再求解）；,3.递推法：找出n阶行列式与其结构相同的较低阶行列式的关系再求解；,如范德蒙行列式的计算（课本24页例5）；,1.按定义：不同行不同列元素乘积的代数和；,5.折成行列式之积（或和）；,6.作辅助行列式；,(在介绍行列式的逆序定义后介绍）,3克莱姆法则,一、齐次与非齐次线性方程组的概念,对线性方程组,若常数项全为零，则此时称方程组为齐次线性方程组。,若常数项不全为零，则此时称方程组为非齐次线性方程组。,如果由n个方程构成的n元线性方程组：,的系数行列式，则方程组有唯一解：,其中，Dj是把系数行列式第j列元素对应换为方程组的常数项所得的行列式。,二、克莱姆法则：,（证明留待下一章进行）,例：用克莱姆法则解线性方程组：,解：,（课本29页例1）,则其只有零解:.,推论1：若齐次线性方程组(1)的系数行列式，,注：运用克莱姆法则的两个前提：,1.方程个数与未知数个数相等；,2.系数行列式不等于零。,三、关于n个方程构成的n元齐次线性方程组的定理：,注：事实上，一定是(1)的解。,(1),推论2：若齐次线性方程组(1)有非零解，则其系数行列式.,（推论1的逆否命题）,例：若方程组有非零解，求,解：方程组有非零解时,练习：P32EX5、6,一、排列,例如：,32514,53214,都是5级排列。,思考：n个数的不同排列有多少个？,自然排列：按数的大小次序，由小到大排列。,除自然排列之外，任一n级排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。,定义：由自然数组成的一个有序数组称为一个n级排列。,12345,n!个,51214,都不是5级排列。,23456,4行列式的逆序定义,定义：在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。,一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数，记为.,例：,二、逆序与逆序数,如：32514中的3和2构成一个逆序。,奇排列：逆序数为奇数的排列。,偶排列：逆序数为偶数的排列。,三、奇排列与偶排列,如：32514,如：31524,四、对换,把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数保持不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换。,五、主要结论,定理：对换改变排列的奇偶性。,经过次相邻对换,分析：,设某一n级排列：,除i和j相对位置改变外，其余任两数顺序都没改变，,逆序增加或减少一个。,结论：相邻对换改变排列的奇偶性。,2.一般对换,经过次相邻对换,1.相邻对换,共经过次相邻对换。,奇数次,s+1,s,2s+1,定理：所有的n（）级排列中，奇偶排列各占一半，,各为个。,特点：,(2)各项是不同行不同列元素乘积。,(1)是3!=6项的代数和。,即：各项可写成,六、行列式的定义,观察各项列标排列，,123,231,312,321,213,132,偶排列,偶排列,偶排列,奇排列,奇排列,奇排列,各项符号是,（行标自然排列）,1.以三阶行列式为例：,N(),正负项各一半。,N(),N(),N(),N()=1,N()=1,=0,=2,=2,=3,所以三阶行列式可定义为：,是3级排列,不同行不同列的3个元素乘积,冠以符号,取遍所有的3级排列并求和,2.n阶行列式的定义：,是n级排列,共n!项的代数和。,例：下列各项，哪些是五阶行列式|aij|中的一项？若是，确定该项符号。,不是,N（）,3.用定义计算行列式,例：计算,解：除去等于零的项外，非零项只有一项，为：,N（）,注：用定义计算行列式一般只适用于零元素比较多的行列式（常称为稀疏行列式）或低阶