古典概率、几何概率

古典概率、几何概率一、选择题1. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A. 18B. 38C. 58D. 782. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A. 56B. 25C. 16D. 133. 将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的概率为()A. 118B. 112C. 16D. 134. 同时掷3枚硬币，最多有2枚正面向上的概率是()A. 78B. 58C. 38D. 185. 已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB=()A. 74B. 14C. 32D. 126. 南宁市十二路公共汽车每5分钟一趟，某位同学每天乘十二路公共汽车上学，则他等车时间小于3分钟的概率为()A. 25B. 35C. 15D. 3107. 在区间0,1上随机取两个数，则这两个数之和小于32的概率是()A. 18B. 38C. 58D. 788. 在区间1,5上随机地取一个实数a，则方程x22ax+4a3=0有两个正根的概率为()A. 23B. 12C. 38D. 139. 在以点O为圆心，1为半径的半圆弧上任取一点B，如图，则AOB的面积大于14的概率为( ) A. 13B. 23C. 12D. 3410. 将长为的木棍随机分成两段，则两段长都大于的概率为()A. B. C. D. 二、填空题11. 通过调查发现，某班学生患近视的概率为0.4，现随机抽取该班的2名同学进行体检，则他们都不近似的概率是_ 12. 在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则PBC的面积小于S4的概率是_ 13. 在圆O上有一定点A，则从这个圆上任意取一点B，使得AOB30的概率是_三、解答题14. 甲乙两人拿两颗骰子做投掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷，否则，由对方接着掷.第一次由甲开始掷(1)分别求第二次、第三次由甲掷的概率；(2)求前4次抛掷中甲恰好掷两次的概率15. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230()从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；()在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率16. 已知函数f(x)=3x2+ax+b，若a，b都是从区间0,4内任取一个数，求f(1)0成立的概率17. 如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y). (1)求 APB的面积大于的概率； (2)求点P到原点的距离小于1的概率18. 甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率答案和解析【答案】1. D2. A3. A4. A5. A6. B7. D8. C9. A10. B11. 0.3612. 1213. 1614. 解：(1)投两颗骰子包含的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)共36种点数和为3的倍数有：(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)共12种，两骰子点数之和为3的倍数概率为：52+236=13，故第二次由甲投的概率为：P=13第三次由甲掷，包括两种情况：甲投掷2次得到的点数之和都是3的倍数，概率为(13)2；或者是甲投掷得到的点数之和不是3的倍数，乙投掷得到的点数之和也不是3的倍数，概率为2323，故第三次由甲投的概率为：P=(13)2+2323=59(2)求前4次抛掷中甲恰好掷两次的概率为P=P(甲甲乙乙)+P(甲乙甲乙)+P(甲乙乙甲) = 132313+232323+231323=142715. 解：()设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，P(A)=1545=13；()从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有53=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，P(B)=21516. 解：函数f(x)=3x2+ax+b，f(1)=3+a+b，f(1)0即3+a+b0，也就是a+b30a，b都是在区间0,4内任取一个数，0a4，0b4，可得点M(a,b)所在的区域是由a=0，a=4，b=0，b=4四条直线围成的正方形设满足f(1)0的点为N，则N所在的区域是正方形内，且在直线a+b3=0的上方，如图，即五边形ABCDE的内部，正方形面积为S=44=16，五边形ABCDE的面积为S1=S正方形SOBC=161233=232，事件“f(1)0”的概率为：P=S1S=23216=233217. 解：(1)如图，取线段BC，AO的中点E，F，连接EF，则当点P在线段EF上时，SAPB=，故满足条件的点P所在的区域为矩形OFEC(阴影部分)故所求概率为S阴影S正方形=12所有的点P构成正方形区域D，若点P到原点距离小于1，则x2+y21所以符合条件的点P构成的区域是圆x2+y2=1在第一象限所围的平面部分(图中阴影部分)点P到原点距离小于1的概率为S阴影S正方形=418. 解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是=(x,y)|0x60，0y60 集合对应的面积是边长为60的正方形的面积S=6060，而满足条件的事件对应的集合是A=(x,y)|0x60，0y60，|xy|15 得到SA=6060(6015)(6015) 两人能够会面的概率P=6060(6015)(6015)6060=716，两人能够会面的概率是716【解析】1. 解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有242=162=14种情况，所求概率为1416=78故选：D求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数2. 解：甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=13+12=56故选：A利用互斥事件的概率加法公式即可得出本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题3. 解：一颗骰子掷两次，共有36种满足条件的情况有(1,3)，(2,6)，共2种，所求的概率P=236=118故选：A列出基本事件，求出基本事件数，找出满足第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的种数，再根据概率公式解答即可本题主要考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的关键是要做到不重复不遗漏，属于基础题4. 解：同时掷3枚硬币，基本事件总数n=23=8，最多有2枚正面向上的对立事件是三枚硬全都正面向上，最多有2枚正面向上的概率：p=1C33(12)3=78故选：A最多有2枚正面向上的对立事件是三枚硬全都正面向上，由此利用对立事件概率计算公式能求出最多有2枚正面向上的概率本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用5. 【分析】本题主要考查了几何概型，关键是合理设置常数，从而得到关系式，由于运算量较大，故较难【解答】解：设AB=1，AD=m，记事件A=“在矩形ABD的边CD随机取P使APB的最大边AB”，则U=CD=1,UA=EF，其中P位于E时，BE=AB=1，P位于F时，AF=AB=1由题意可知，P(A)=UAU=EFCD=12，所以DE=CF=14在直角三角形ECB中，BC=m，EC=34，BE=1，所以916+m2=1，解得m=74，所以ADAB=m=74故选A.6. 解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是汽车5分钟一班准时到达车站，时间长度是5，而满足条件的事件是任一人在该车站等车时间少于3分钟的时间长度是3，由几何概型概率公式得到P=35，故选：B由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是汽车5分钟一班准时到达车站.而满足条件的事件是任一人在该车站等车时间少于3分钟，根据几何概型概率公式得到结果本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到7. 解：设取出的两个数为x、y，则有0x1，0y1，其表示的区域为纵横坐标都在0,1之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y1.5表示的区域为直线x+y=1.5下方，且在0x1，0y1表示区域内部的部分，易得其面积为118=78，则两数之和小于1.5的概率是78故选：D设取出的两个数为x、y，则可得“0x1，0y1”表示的区域为纵横坐标都在0,1之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y02a0，即a3或a1a34a0，得34AOB60，所以B所在的弧长为31=3，故所求概率为3=13，故选A10. 【分析】本题考查几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为9，基本事件的区域长度为5，代入几何概率公式可求【解答】解：设“长为9cm的木棍”对应区间0,9，“两段长都大于2cm”为事件A，则满足A的区间为2,7，根据几何概率的计算公式可得P(A)=7290=59故选B11. 解：由题意可得每个学生不近视的概率为0.6，随机抽取该班的2名同学进行体检，他们都不近似的概率是0.60.6=0.36，故答案为：0.36由题意可得每个学生不近视的概率为0.6，再利用相互独立事件的概率乘法公式求得随机抽取该班的2名同学进行体检，他们都不近似的概率本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题12. 解：设P到BC的距离为h 矩形ABCD的面积为S，PBC的面积小于14S时，h12BC 点P所在区域的面积为矩形面积的一半，PBC的面积小于14S的概率是12 故答案为：12 根据PBC的面积小于14S时，可得点P所在区域的面积为矩形面积的一半，从而可求相应概率本题考查几何概型，解题的关键是根据PBC的面积小于14S时，确定点P所在区域的面积为矩形面积的一半13. 解：如图， 要使AOB30，则B点所在圆弧占整个圆周的16由几何概型概率计算公式可得，使得AOB30的概率是16故答案为：16由题意画出图形，由几何概型概率计算公式得答案本题考查几何概型，考查了几何概型概率计算公式的求法，是基础题14. (1)投两颗骰子包含的基本事件用列举法求得共36种.点数和为3的倍数有12种，由此求得两骰子点数之和为3的倍数概率，从而求得第二次由甲投的概率以及第三次由甲投的概率(2)求前4次抛掷中甲恰好掷两次的概率为P=P(甲甲乙乙)+P(甲乙甲乙)+P(甲乙乙甲)，分别求得这三种情况的概率，相加即得所求本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题15. ()先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；()先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用16. 本题以一个函数值为正值的概率求法为例，着重考查了用不等式组表示平面区域和几何概率的求法等知识点，属于基础题将事件“f(1)0”化简得不等式a+b30，根据题意，a，b都是在区间0,4内任取的一个数，得到所有的点M(a,b)所在的区域是由a=0，a=4，b=0，b=4四条直线围成的正方形，而符合题意的点N所在的区域是正方形内，且在直线a+b3=0的上方，最后用符合题意的图形面积除以整个正方形的面积，即可得到所求概率17. 本题考查的是几何概型(1)由面积公式可知满足APB的面积大于14的点在一个长方形区域内，由长方形区域的面积比正方形的面积可求出其