公平席位的分配(韩文斌)

.公平席位分配模型班级：09数学（2）班 姓名：韩文斌 学号：0907022011摘要：通过建立人数比例模型、最大剩余法模型及Q值法模型解决了公平席位的分配问题。比较三种模型分配的结果方案，我发现了Q值法模型是解决公平席位分配问题较公平的方法。关键词：公平分配 绝对不公平程度 Q值法模型正 文1 问题的提出某学校有3个系共100名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。1.1 若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是什么？1.2 现在丙系有6名学生转入甲乙两系（其中3人转入甲系，3人转入乙系），现在该如何分配呢？1.3 因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:10的结局，会议决定下一届增加1席。在问题二中人数发生改变后的情况下，这1席又该分给哪个系呢？2 合理假设与变量说明假设3个系的总人数不再发生变动，各个系的人数除了问题二中人数的改动之外，不再发生任何改变。符号符号说明3个系的总人数系的人数 =1,2,33个系的总席数系的席数 =1,2,3 的余数系与系的绝对不公平程度系与系的相对不公平程度3 模型建立3.1 人数比例模型公平标准 , =1,2,3通过计算总席位与总人数、各系席位数与各系总人数的比例相等，来确定各系的席位数的分配方案。3.2 最大剩余法模型记的余数，越大说明系分一个席位代表人数就越多，为了公平降低，则剩余席位优先分给最大的系。3.3 Q值法模型1当总席位增加1席时，计算令，增加1席位应该分配给值最大的一方。3.3.1 不公平指标为简单起见考虑,两系分配席位的情况。设两方人数分别为,，占有席位分别为,则比值,为两方每个席位所代表的人数。显然仅当分配时才算完全公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通常，分配不公平，并且对比值较大的一方不公平。不妨设,不公平程度可用衡量。如设,，则，它衡量不公平的绝对程度，常常无法区分不公平程度明显不同的情况。如当双方人数增至，、不变时，则。即不公平的绝对程度不变，但是常识告诉我们，后面这种情况的不公平程度比起前面来已经大为改善了。为了改进上述的绝对标准，自然想到用相对标准。仍设，定义 （1）(1)即为A方的相对不公平度。若，定义 （2）(2)即为对B方的相对不公平度。3.3.2 分配原则假设A,B两方已经占有席位、。利用相对不公平度,讨论当总席位增加1席时，应该分配给A还是B不失一般性可设，大于号成立时对A不公平。若增设1席分配给A，就变为，分配给B就有，原不等式可能出现以下3种情况（只需讨论不等号的情况，一旦等号出现，按等式状况分配即可）（1），说明即使A增加1席仍对A 不公平，则这一席显然该分给A。说明即使A增加1席仍对A 不公平，则这一席显然该分给A。（2），说明A增加1席对B不公平。由（2）可得出对B的相对不公平度为 （3）3.3.3 ，说明B增加1席将对A不公平。参（1）可得出对A的相对不公平度为 （4）在使相对不公平度尽量小的分配原则下，如果 （5）则增加的1席应该分给A，反之分给B。由（3）（4）两式，（5）式等价于 （6）同时不难证明上述第1种情况，也会导致（6）式，于是我们的结论是：当（6）式成立时增加1席位应分给A，反之分给B。这种方法可推广到有m方分配席位的情况。设第i方人数为，已占有个席位，i=1,2,3当总席位增加1席时，计算令，增加1席位应该分配给值最大的一方。4 模型的求解问题1.1；模型一的求解：结果为: 模型二的求解：结果为：模型三的求解：当总席位增加1席时，计算令，增加1席位应该分配给值最大的一方。结果为：问题1.2；模型一的求解：结果为: 模型二的求解：，比较的余数，发现应该把多出的一席分给3系。结果为 模型三的求解：当总席位增加1席时，计算令，增加1席位应该分配给值最大的一方。结果为：问题1.3；模型一的求解：结果为: 模型二的求解：，得到的结果为，然后比较的余数大小。结果为 模型三的求解：当总席位增加1席时，计算令，增加1席位应该分配给值最大的一方。结果为： 5 模型的检验对于模型三中的第一种情况，即增加的1席分配给A方，变为，又因为结合上述两式，得到，即按照相对不公平度尽量小的原则，增加的一席应该分配给A方，即对第一种情况，仍然包含在中，这说明模型三是正确的。6 应用与推广值分配法可以用于一系列的席位分配。7 优缺点分析当总席位=21时，模型三的求解结果为：，模型三的求解结果为：，3系保住了按照比例+惯例模型将会失掉的1席。但是当总席位=20时，模型三的求解结果为：，模型三的求解结果为：，所以很难说值分配法对3系有利还是不利。虽然从值分配法和比例+惯例模型对这个具体问题不同的分配结果看，难以对二者进行