线性习题课(1).ppt

,线性代数习题课一,一、内容提要,二、典型例题,一、内容提要,三阶行列式值的计算,对角线法则,一、内容提要,n阶行列式的定义,对n阶矩阵A,把删去第i行及第j列后所得的n-1阶子矩阵称为(i,j)元的余子矩阵,记为Sij.,称detSij为(i,j)元的余子式,记为Mij.,称(-1)i+jMij为(i,j)元的代数余子式,记为Aij.,n阶行列式的递归公式:,一、内容提要,Laplace展开定理,行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和.即,设A=(aij)为n阶方阵,则有,一、内容提要,行列式的性质,性质1行列式与它的转置行列式相等.,性质2对换两行,行列式值反号.,性质3行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.,性质4若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.,性质5把行列式某一行的各元素乘以同一数,然后加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.,对n阶矩阵A,有det(kA)=kndetA.,设A,B为n阶矩阵,则有,一、内容提要,伴随阵,设A为n阶方阵,Aij为(i,j)元的代数余子式,记,称A为方阵A的(转置)伴随阵.,伴随阵的性质,设A为n阶方阵A的伴随阵,则有,如果|A|0,那么,称方阵A为非奇异矩阵.,逆阵计算公式,非奇异矩阵A的逆阵为,逆矩阵,如果存在矩阵B,使AB=BA=E那么,称方阵A为可逆的,并称B为A的逆矩阵.,定理设A,B为n阶方阵,若AB=E,则A,B可逆,且有,一、内容提要,逆矩阵的性质,设A,B为n阶可逆矩阵,则有,一、内容提要,分块对角阵的性质,设,(3)A可逆的充分必要条件是Ai(i=1,s)都可逆,且有,一、内容提要,等价矩阵,如果矩阵A经过有限次初等(行,列)变换,化为矩阵B,就称矩阵A与B(行,列)等价,记为AB.,矩阵的等价具有反身性、对称性和传递性.,初等矩阵,由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵.,初等矩阵可逆,其逆阵也为初等矩阵,具体如下:,一、内容提要,定理方阵A为可逆矩阵的充分必要条件是:A可以表成若干初等方阵的乘积.,定理,(2)矩阵A与B列等价的充分必要条件是:存在可逆矩阵Q,使B=AQ.,矩阵A与B行等价的充分必要条件是:存在可逆矩阵P,使B=PA.,具体地有,一、内容提要,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,一、内容提要,矩阵的等价标准形,可逆阵的行最简形(等价标准形)是一个单位阵.,定理矩阵的等价标准形唯一.,矩阵的秩,称矩阵A的等价标准形中单位阵的阶数为A的秩,记为R(A),或rank(A).,规定零矩阵的秩等于0.,一、内容提要,矩阵秩的基本性质,性质1等价矩阵有相等的秩.,设P,Q可逆,则,性质2,性质4,行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.,性质5,一、内容提要,性质6,矩阵秩的常用性质,性质7,性质8,性质9,性质10,一、内容提要,逆矩阵的初等变换求法,矩阵初等变换的应用,线性方程组的最简形解法,将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.,矩阵方程AX=B,XA=B的初等变换解法,一、内容提要,(1)当R(A,b)R(A)时,方程组无解;,(2)当R(A,b)=R(A)=n时,方程组有唯一解;,(3)当R(A,b)=R(A)n时,方程组有无穷多解.,设n元线性方程组Ax=b.,n元方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)n.,定理AX=B有解的充要条件是R(A)=R(A,B).,线性方程组的可解性定理,当A为方阵时,Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.,一、内容提要,齐次通解结构定理,设n元齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系为x1,xn-r,其中r=R(A),则Ax=0的通解为,(k1,kn-r为任意数),非齐次通解结构定理,(k1,kn-r为任意数),设x=h是n元非齐次线性方程组Ax=b的一个解(称特解),x1,xn-r是导出组Ax=0的一个基础解系,则Ax=b的通解为,一、内容提要,(1)对换分块矩阵的两行(列);,(2)以一个可逆矩阵左乘(右乘)分块矩阵的某一行(列);,(3)把分块矩阵的一行(列)左乘(右乘)一矩阵加到另一行(列)上.,矩阵的分块初等行(列)变换,一、内容提要,对分块矩阵施行一次分块初等变换,就是对矩阵施行若干次初等变换.,Schur公式,设矩阵A为可逆矩阵,矩阵D为方阵,则有,二、典型例题,例1设a1,a2,a3,b均为3维列向量,矩阵A=(a1,a2,a3),解,B=(3a1,2a2,b),且已知行列式detA=2,detB=6.计算det(3A-B)和det(3A+B).,解,例3计算行列式,解,解1,因此,解2,假设,则有,例5,解,解,例6,解,例7,由AB=B+A,得,证明,例8设A满足方程A2+2A-9E=O,证明A与A+4E都可逆,并求它们的逆阵.,由A2+2A-9E=O,得,因此A可逆,且有,因此A+4E可逆,且有,因为,例9设A是3阶可逆矩阵,A的第2列乘以4为矩阵,解,B