04实验四 导数应用.ppt

MATLAB，高等数学实验，实验四导数的应用，实验目的理解和掌握用函数导数确定函数的单调区间、凹凸区间和极值的方法。进一步熟悉和掌握用MATLAB制作平面图的方法和技巧，掌握用MATLAB求方程的根(包括近似根)和函数的极值(包括近似极值)的方法。4.1学习MATLAB命令，4.1.1查找多项式方程的近似根，用MATLAB查找多项式方程的解的命令是根，使用以下方法：根(c)，其中c是上述方程左端多项式的系数向量，4.1.2查找方程f(x)=0的近似根。该命令的一般形式如下：(1)建立一个函数：f=内联(表达式)(2)求出该函数的零点：c=fzero，a，b)%求出零点cc=fzero，x0)%在函数f(x)的区间a，b%求出函数f(x)在x0附近的零点c，以及c，4.1.3求出非线性函数f(x)的最小值。用MATLAB求一元函数最小值的命令是fmin band，格式如下：(1)x=fmin band(fun，x1，x2) (2) x，fav1=fmin band(fun，x1，x2) (3) x，fav 1，退出标志，输出=fmin band(fun，x1，x2)，其中x=fmin band(fun，x1，x2)是fun函数在(x1，x2)上的最小值x。x，fav1=fminbnd(fun，x1，x2)返回解x处的目标函数值x，fav1，exitflag，output=fminbnd (fun，x1，x2)返回包含优化信息的结构输出。注(1)函数fminbnd算法基于黄金分割法和二次插值法。它要求目标函数必须是连续函数。该命令可以给出局部最优值。注意(2)命令fminbnd是为了找到函数f(x)的最小值。如果需要函数f(x)的最大值，则只需要-f(x)的最小值。4.2实验内容，4.2.1函数的单调区间，例1的单调区间。输入：symsxdy=diff (x 3-2 * x 1)获得函数执行后的一阶导数：dy=3 * x 2-2输入：x=-4:0.1:4。y1=x.3-2*x 1；y2=3*x.2-2；图(x，y1，k-，x，y2，b*)的输出如图4-1所示，其中仪表字线是导数函数的曲线图。图4-1，观察函数的增减与导数函数的正负之间的关系。输入：c=根(3，0，-2)以获得导数函数的两个零：c=0.8165-0.8165因为导数函数是连续的，导数函数在其两个零之间保持相同的符号。因此，只需要在每个单元之间取一个点来计算导数的值，就可以确定在这个区间内导数的正负，从而得到函数的增减。重新输入：x=-1；daoshuzhi=eval(dy)x=0；daoshuzhi=eval(dy)x=1；Daoshuzhi=eval(dy)，输出：daos胡志=1 daos胡志=-2 daos胡志=1表明导数函数分别取区间(-，-0.8165)，(-0.8165，0.8165)，(0.8165，)。因此，函数在区间(-，-0.8165和0.8165，)内单调增加，在区间-0.8165，0.8165内单调减少。4.2.2找到函数的极值，并例2找到函数的极值输入：Ezplot (x/(1 x 2)，-6，6)，如图4-2所示。观察它的两个极值，输入：f=x/(1x 2)；xmin，ymin=FM innd(f，-10，10)输出：xmin=-1.0000ymin=-0.5000表示x=-1为最小值，最小值为-0.5。图4-2。接下来，寻找最大值的问题被转换成最小值。输入：f1=-x/(1 x 2)；xmax，ymax=fminbnd(f1，-10，10)输出：xmax=1.0000ymax=-0.5000注意f=-f1，因此x=1是最大值，最大值为-(-0.5)=0.5。4.2.3找出函数的凹凸区间和拐点，并例3找出函数的凹凸区间和拐点。输入：symxy=1/(1 2 * x 2)；Y1=diff(y，x)y2=diff(y，x，2)执行后得到的函数的一阶和二阶导数分别为y1=-(4 * x)/(2 * x 2 1)2 y2=(32 * x 2)/(2 * x 2 1)3-4/(2 * x 2 1)2，然后输入：x=-33:0.1:3；y=(1 2*x.2).(-1)；y1=-4*x.*(1 2*x.2).2).(-1)；y2=32*(x.2).*(1 2*x.2).3).(-1)-.4 *(1 2*x.2).2).(-1)；y3=零(1，长度(x)；图(x，y，b-，x，y1，g *，x，y2，r:x，y3)的输出如图4-3所示。虚线是函数的二阶导数，而仪表字线是函数的一阶导数。观察po之间的关系，然后输入：x=-0.4082；zhi=eval(1/(1 2*x2)x=0.4082；ZHI=EVAL (1/(12 * x 2)输出：zhi=0.7500zhi=0.7500表示-0.4082和0.4082处的函数值都是0.75。因此，两个拐点分别为(-0.4082，0.75)和(0.4082，0.75)。4.2.4用于逼近极值，而例4用于逼近区间内的极值。输入：f=2 *(sin(2 * x)；25/2 * x *(cos(x/2)；2；f1=-2*(sin(2*x)2-5/2*x*(cos(x/2)2；xmin，ymin=fminbnd (f，0，pi) xmax1，ymax1=fminbnd (f1，0，1) xmax2，ymax2=fminbnd (f1，2，pi)，输出：xmin=1.6239 ymin=1.9446 xx 1=0.8642 yma x1=-3.7323 xm2=2.2449 yma x2=-2.9571输入ezplot(f，0，pi)输出，如图所示从图中可以看出，最大值为3.7323和2.9571，最小值为1.9946。图4-4，4.2.5证明了函数的不等式，而例5证明了当时的不等式。首先，制作图表并输入：x=0:0.1:3y1=exp(x)；y2=1 x；图(x，y1，k-，x，y2，b*)的输出如图4-5所示。图4-5，重新输入：symsxy=exp(x)-x-1；F1=diff(y，X)c=F0(exp(X)-1，0)输出：f1=exp(x)-1c=0当X=0时，两条曲线在一点相交，当X增加时，间隙逐渐增加。这是用单调性证明不等式的典型特征。根据计算，仅当x=0时，y(0)=0且y (x)=y (x)=0。因为x0，当x0时，y(x)为0。所以y(x)单调增加，当x0时，有。证明了当x1和x0时。图纸，输入：x=-1:0.1:1/2；y1=exp(x)；y2=(1-x)。(-1)；图(x，y1，b-，x，y2，r*)如图4-6所示。两条曲线在x=0处相交，两侧之间的间隙逐渐增大。证明的一种方法是单调性，它应该从x=0点向两边证明。另一个证明是使用最大值。为此，将不等式改写为。图4-6，输入：sym xf=exp(x)*(1-x)；G=diff(f，x)h=diff(f，x，2)输出：g=exp(x)*(1-x)-exp(x)h=exp(x)*(1-x)-2 * exp(x)输入：C1=F0(exp(x)*(1-x)-exp(x)，-1，0)C2=F0(exp(x)*(1-x)-exp(x)，0，1) x=0。H1=eval(exp(x)*(1-x)-2 * exp(x)f1=eval(exp(x)*(1-x)，输出：c1=0c2=0h1=-1f1=1，即该函数具有唯一的驻点x=0，g(0)=f(0)=-10，f(0)=1。由于驻点x=0处函数的二阶导数小于0，因此该点为最大值。因为这是唯一的静止点，它是函数的最大点。因此，x=0时取最大值1。所以当x0。绘图、输入：ezplot(atan(x) 1/x，4，20)输出如图4-7所示。当x趋向于正无穷大时，直线就是渐近线。这也是一个由单调性证明的不等式。图4-7，输入：symsxy=atan(x)1/x)1/x；Y1=diff(y，x)limit(y，x，inf)输出：y1=1/(1 x 2)-1/x 2ans=1/2 * pi，然后研究单调性，输入c=fzero (1/(1 x 2)-1/x 2，1，INF)输出：c=Inf，即当x0时，函数y=arctan(x) 1/x没有驻点。重新输入：x=2；Y2=eval (1/(1 x 2)-1/x 2)输出：当x0，y1(x)=y(x)0时，y2=-0.0500，是。事实证明，当时。图纸，输入：x=0:0.1:pi/2。y1=sin(x)；y2=2 * x/pi；图(x，y1，b-，x，y2，r)的输出如图4-8所示。图4-8，当x=0或x=两条曲线相交时。这两点之间有很大的差距。这是不等式的特征，需要用凹凸性来证明。输入：x=0。f1=eval(sin(x)-2 * x/pi)x=pi/2；F2=eval(sin