分析力学东北大学10章_凯恩方程.ppt

第10章凯恩方程，东北大学应用力学研究所李永强，第2页，第10章凯恩方程，10.1篇速度和偏角速度10.2凯恩方程，1。像Appell想的那样，构造独立速度变量(伪速度)。2.“偏转速度”(partialvelocity)、“偏转速度”(partialangularvelocity)、“广义活动力”(Generalizedactiveforces)、“广义惯性力”(Generalizedactiveforces)表示广义活动力，广义惯性力为计算机计算，程序阶段，第3页，10.1篇速度和偏转速度，具有n个粒子的不完全系统，具有d个完全约束和g个不完全约束的系统的独立坐标变分分数(系统的自由度)为：f=3n-d-g，系统中每个粒子Mi的也就是说，粒子的速度，结果，等差可以记录为：形式中和通常是普通坐标QJ和时间t的函数。第4页，10.1偏转速度和偏转速度，对于刚体系统，同样，将第I个刚体的瞬时角速度表示为：形式中和通常表示为广义坐标QJ和时间t的函数。根据伪速度的定义，系统的广义速度可以用f个独立的伪速度表示。其中，粒子系统中的第一个粒子称为第一个独立速度变量的相对速度。和通常是广义坐标QJ和时间t的函数。第5页，10.1偏转速度和偏转速度，类似，对第独立速度变量(称为固定系统中的第I刚体)的偏转速度。和通常是广义坐标QJ和时间t的函数。对于整个系统，一般化速度(j=1，2，k)相互独立，因此伪速度为广义速度(=j=1，2，k)可以采用的话，相对独立广义速度的偏速度，第6页，10.1偏速度和偏角速度，注：偏速度和偏速度是广义坐标QJ和时间t的矢量函数，其中独立速度可以相对于独立广义速度或预先选择的独立伪速度。独立速度变量选择不是唯一的，因此同一粒子或刚体可以具有不同形式的偏转速度和偏转速度。但是，粒子系统中的每个粒子Mi和刚体系统中的每个刚体Di都具有与系统的自由度相同的部分速度和部分角速度。因此，在谈到偏转速度和偏转速度时，必须指定偏转速度或偏转速度，以指示哪个粒子或刚体对应于哪个独立速度。第7页，10.1偏转速度和偏转速度，示例10-1设置粒子a在Oxy平面中沿着固定抛物线轨道运动，轨道方程为。其中a是常数，偏转速度。解决方案：系统是单个自由度的整个系统。粒子a的速度投影必须满足限制条件，如果y为独立广义坐标，则为独立广义速度，粒子a的速度为部分速度(相对于独立速度)，8页，10.1部分速度和部分角速度，示例10-2查找双摆系统的部分速度。解决方案：使用1和2作为独立的广义坐标，和是独立的速度。单位向量和分别垂直于OA和AB。粒子a和b的速度可以分别表示为：对于粒子a，和的部分速度分别为：粒子b的两部分速度分别为：9页、10.1部分速度和部分角速度，将和表示为：因此点a和点b对于独立速度和角速度分别为：10页、10.1部分速度和偏转，示例10-3行星齿轮半径为r车轮I的半径为r。测试偏转速度和偏转速度。解决方案：如果系统是单自由度整个系统，并且选定链接的角点是广义坐标，则可以记录点a的速度，样式的矢量系数是点a的偏移速度，其中l=r。表示连杆OA角速度的角速度为：因此，连杆的角速度为11页，10.1偏转速度和偏转速度，行星齿轮的角速度为：因此，齿轮的角速度矢量可以写成：因此，齿轮的角速度为：12页，10.1偏转速度和偏转速度，例如，10-4杆长度为2l的直线杆AB为平面运动，一端a的速度始终指向另一端b，并试验其中的点c的偏转速度。解决方案：系统具有两个自由度，因为xA、yA和为通用坐标，其约束表达式为：是不完全约束。如果c点速度为：使用13页、10.1部分速度和部分角速度，则c点部分速度：可以知道：可以用作伪速度，否则伪速度选择不是唯一的，并且部分速度取决于伪速度选择。第14页，10.2凯恩方程，凯恩方程的广义活动力和广义惯性力计算，第15页，10.2凯恩方程，凯恩方程，动力学一般方程导出的凯恩方程，由n个粒子组成的粒子系统，具有f自由度的f。要使系统中每个粒子的速度以伪速度出现，f伪速度(=1，).f)。也就是说，关于伪速度，得到：引入伪坐标，第一个粒子的虚拟位移将被独立伪坐标的变异，即第16页，10.2凯恩方程，凯恩方程，向上替换为动力学一般方程。转换求和顺序，结果 相互独立，因此凯恩方程和中和分别称为系统映射，第17页，10.2凯恩方程，凯恩方程，将这个f方程与g个不完全约束方程联系起来，得出了f g的广义坐标qj(t)的方程，得到了系统的可以看出，使用凯恩方法建立系统的动力学方程，关键是计算系统的广义活动力和广义惯性力。凯恩方程，第18页，10.2凯恩方程，广义主动力和广义惯性力的计算，广义主动力广义惯性力，第19页，10.2凯恩方程，广义主动力和广义惯性力的计算_ _，广义主动力，整个系统的广义速度为独立速度(=j)根据给出的结果，凯恩方程与第二个拉格朗日方程相对应，广义惯性力可以用系统的动能来表示，所以凯恩方程对于完整系统来说等于第二个拉格朗日方程。第20页，10.2凯恩方程，广义主动力和广义惯性力计算_ _，广义主动力，对于一般粒子系统，广义主动力可以表示为：作用于粒子系统中每个粒子的活动力及其点对应于特定独立速度的部分速度的标准乘积之和称为对应于相应独立速度的广义活动力。k 。换句话说，对于刚体，广义主动力是作用于刚体简化中心的主向量和主力矩，分别对应于独立速度的点的偏转速度和部分角速度识别的总和，可以说刚体是对应于相应独立速度的广义主动力。假设o点是刚体的简化中心，则证明了第21页，10.2凯恩方程，广义主动力和广义惯性力的计算_ _，广义主动力。刚体为常规运动时，表示粒子I的速度、简化中心的速度、刚体的角速度和简化中心o点的粒子I的向量路径。和可以使用伪速度表示，即自下而上、比较等式两侧的前系数获得，并可以简化第22页、第10.2凯恩方程、广义主动力和广义惯性力的计算_ _、广义主动力、常识，以简化刚体第一个粒子对第一个独立速度的偏转速度、固定观念中心o点和第二个独立速度的刚体的偏转速度和偏转速度表示如果系统由n个刚体组成，第23页在计算惯性力时分析每个点的加速度，然后为每个粒子添加惯性力，计算每个粒子工作的惯性力和该点对应于特定独立速度的偏转速度的标准乘积之和。对于刚体，可以采用与计算广义主动力的推导方法相同的方式计算10.2凯恩方程，广义主动力和广义惯性力_ _，广义惯性力，对于粒子系统，可以采用以下方式计算，在刚体质心c中选择简化中心，表达式中的m是刚体的质量，aC是质心的加速度。第24页，10.2凯恩方程，广义主动力和广义惯性力计算_ _，广义惯性力，使用质心c(变换坐标系的原点)时，如果刚体中第一个粒子相对于变换坐标系的加速度，变换坐标系的加速度，并且因此对整个刚体系统具有广义惯性力，则质心角度Ci表示第一个刚体的质心。第25页，10.2凯恩方程，示例10-5质量m，半径r的平均半圆盘，在粗糙的水平面上摆动，设置，c是半圆盘质心。用凯恩方程试试晃动的微分方程。解决方案：系统具有使用作为广义坐标的自由度。C点对应于半圆盘旋转的角速度：半圆盘对应于的部分角速度3360，半圆盘的主动力对应于其重力作用，即粒子C的速度：26页，10.2凯恩方程，因此系统的广义动力力凯恩方程：即28页，10.2凯恩方程，示例10-6重量为p的滑块可以在平滑的固定平面上滑动。 半径为a、重量为q的均匀圆柱体在滑块的坡度下同时滚动。已知坡度梯度为alpha，在重力作用下，写出系统的运动方程。解法：系统是两自由度完整系统，如果选取x，s作为独立一般化座标，则为独立一般化速度。C1点的速度，C1点的两个独立速度的部分速度分别为：C2点的速度：C2点的两部分速度分别为，其中是沿着的单位向量。第29页，10.2凯恩方程，滑块转换为角速度1=0，因此滑块的偏转速度也始终等于0。圆柱体的角速度：因此圆柱体的两部分角速度是系统对独立速度的广义主动力。第30页，10.2凯恩方程在计算一般惯性力之前，可以将每个刚体的惯性力简化为各自的质心。滑块的惯性力从C1点简化到主矢量：圆柱体的惯性力从C2点简化到主矢量：对于惯性矩3360，31页，10.2凯恩方程，独立速度的一般惯性力：独立速度的一般惯性力：在