07韦达定理初一自招教师

韦达定理韦达定理 1 / 6 第七讲 韦达定理 1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）: 设一元二次方程 2 0(0)axbxca的两根为 12 ,x x，由求根公式，可得 1212 , bc xxx x aa 此称为韦达定理. 反之，若两数 12 ,x x满足 1212 ,xxp x xq，则这两数是方程 2 0 xpxq的两根. 2. 韦达定理的应用 利用根与系数的关系求解的问题大致有以下几个方面： 1) 已知方程，求参数的值以及关于方程的两根的代数式的值； 2) 已知两数，求作以这两数为根的一元二次方程； 3) 当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看成是某个一元二次方程的两根，以便利 用根与系数的关系. 3. 二次方程根的降次技巧 将条件 2 0 xpxq 变形为 2 xpxq ，等式左侧是二次式，右侧是一次式. 4. 根的分布 不解方程，估计根的大小（即根在数轴上的分布）或者根据二次方程根的大小，来确定字母参数 的取值范围，是韦达定理的重要应用. 下面列举几种常见的情况及其不等式控制. 1) 两根为正数： 12 12 0 0 0 xx xx ； 两根为负数： 12 12 0 0 0 xx xx ； 2) 一正根、一负根： 12 0 0 xx 韦达定理韦达定理 2 / 6 3）两根都大于 1： 12 12 0 110 110 xx xx 两根都小于 1： 12 12 0 110 110 xx xx 1. 已知 1 x、 2 x是方程 2 2 x+3x4=0 的两个根， 求：（1） 1 x+ 2 x= ； 1 x 2 x= ； （2）(2 1 x3)(2 2 x3)= ； （3） 21 11 xx = ； （4） 2 1 x+ 2 2 x= ； （5） 3 1 x+ 3 2 x= ； （6） 1 x 2 x= 。 答：-1.5，-2；10；0.75；6.25；-99/8. 2. 已知一元二次方程 8 2 x(21m)x+m7=0，根据下列条件，分别求出m的值： (1)两根互为倒数； (2)两根互为相反数； (3)有一根为零； (4)有一根为1； (5)两根的平方和为2。 答：15；-0.5；7；0； 2 623 3. 设方程 2 2310 xx 的两根为 12 ,x x，不解方程，求下列各式的值. 12 xx， 12 x x 12 (3)(3)xx 22 12 xx 韦达定理韦达定理 3 / 6 21 12 11 xx xx 12 xx 解： 12 3 2 xx ， 12 1 2 x x 12 (3)(3)xx 1 212 39x xxx 13 39 22 13 22 12 xx 2 1212 2xxx x 2 31 2 22 13 4 21 12 11 xx xx 22 22112112 121212 11 111 xxxxxxxx xxx xxx 133 77 42 1 13 44 1 22 12 xx 22 121212 4xxxxx x 2 3117 4 222 【注】公式： 22 121212 ()4()4 bc xxxxx x aaa . 4. m为何值时，方程 22 (23)210 xmmxm的两个根互为相反数？ 解： 12 0 xx， 2 230mm ，得1m或3m. 当1m时， 2 40 x ，无解；当3m时， 2 20 x ，2x . 3m. 5. 若方程 2 10(0)xpxp 的两根之差为1，试求p的值. 解 ： 设 两 根 为 12 xx、， 则 12 xxp ， 12 1x x ， 12 1xx， 2 12 1xx， 即 2 2 1212 441xxx xp，0p ，5p 6. 已知，是方程 2 10 xx 的两个实数根，不解方程，求 22 23的值. 解：，是方程 2 10 xx 的两个实数根 2 10 ， 2 10 ，1，1 即 2 1， 2 1 韦达定理韦达定理 4 / 6 22 23 1 231 34 7 7. 若,m n是二次方程 2 201270 xx的两根，试求 22 (20116)(20138)mmnn的值. 解:,m n是方程 2 201270 xx的两个根, 2 201270mm， 2 201270nn 22 201162012711mmmmmm 22 201382012711nnnnnn 又由跟与系数的关系，得 2012mn，7mn 22 (20116)(20138)mmnn 11mn 1mnmn 72012 1 2004 韦达定理韦达定理 5 / 6 1. 已知方程 2 3510 xx 的两根为 12 ,x x，不解方程，求下列各式的值. 12 xx 12 x x 12 11 xx 33 12 xx 12 |xx 解： 12 5 3 xx 12 1 3 xx 12 1212 5 11 3 5 1 3 xx xxx x 2 3322 12121212121212 170 3 27 xxxxxxx xxxxxx x 2 121212 37 |4 3 xxxxx x 2. 关于x的方程 22 (21)20 xmxmm， 当m为何值时， 方程的两根互为相反数； 当m 为何值时，方程的两根互为倒数；当m为何值时，方程有一根为0？ 解： 2 2 2142890mmmm . 9 8 m . 12 1 20 xxm ， 1 2 m 22 1 2 2130 x xmmmm ， 9 8 m ， 113 2 m 0 x 时， 2 20210mmmm，1m或2m