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第十四讲 余式定理&因式定理、解：原式=、解：原式=、解：原式=、解：原式=、解：原式=、，其中。解：原式=。【余式定理】若整式除以得商为，因余式次数要比商式次数小，故余式为常数记为r，则令得.故，多项式除以所得的余数等于，这就是余式定理. 【例题1】 求除以所得的余数解:余数为【例题2】 求除以所得的余数解:余数为【备用】分别求除以及所得的余数解:令解得，则余数为令解得，则余数为【除式为高次式时使用余式定理】【待定系数法】对于除式是几个一次式的积时，可以利用余式次数小于商式次数这一规律，通过待定系数法来求余式.【备用】多项式除以，所得的余数分别为3和5，求除以所得的余式解:利用待定系数法来解，设， 余式为:【例题3】 多项式除以所得的余式分别为1，2，3，试求除以所得的余式【例题4】 若除以所得余数为7，除以所得余数为5，试求a，b的值【因式定理】根据余式定理，我们可以得到如下推论，称为因式定理：如果多项式能被整除，即是的一个因式，那么；反之，如果，那么是的一个因式，或者说能被整除【例题5】 设能被整除，求k的值解:，所以【备用】设被整除，求k的值解:，所以【例题6】 设被整除，求a，b的值【备用】试确定和值，使被整除解:由因式定理可解: 【备用】已知多项式被和整除，试求a，b的值，并求除以后所得的商式和余式【例题7】 设（m，n都是整数）既是多项式的因子，又是多项式的因子，求【例题8】 求证:，都是的因式，并分解因式【待定系数法】【例题9】 求一个关于x的二次三项式，它被除余2；被除余8；并且被整除解:设这个二次三项式为: 则，解得【例题10】 已知关于x的三次多项式除以时，余式是，除以时，余式是，求【例题11】 已知多项式能被整除，且商式是，求的值解:运用待定系数法=（）（）=由多项式恒等定理知，所以【作业1】 已知多项式除以所得余数是（ ）A. B. C. D.答案：D【作业2】 已知多项式除以所得余数是（ ）A. B. C. D.答案：C【作业3】 已知多项式，求除以所得余数. 解：. 【作业4】 设，求除以所得余数解：利用综合除法或余式定理来解【作业5】 已知能被整除，求
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