第一章-极限与连续.ppt

应用数学讲座,第一章极限与连续,邢耀政,1、函数的定义及表示,1.1.1函数概念,定义1.1设x和y是两个变量，x的取值范围为非空数集D，如果对于每个xD，变量y按照一定的法则f总有一个确定的数值y和它对应，则称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)这里，x称为自变量，y称为因变量或函数.数集D称为函数的定义域.相应的值的集合称为函数的值域.,1.1函数,函数的定义域和对应法则是确定函数的二要素.约定函数的定义域是使得函数的解析式有意义的自变量的全体.,注:,(2)两个函数相同是指它们的定义域和对应法则均相同.两个解析表达式不同的函数有可能表示的是同一函数.,例如（a）,是不同函数；,是相同函数.,（b）,2020年6月13日星期六,函数常用的表示方法,解析法,表格法,图形法,2、分段函数,定义在定义域的不同范围内用不同解析式表示的函数称为分段函数.,例,（符号函数）,定义域为,值域为1，0，-1,2020年6月13日星期六,1.1.2函数的几种特性,1、单调性,如,y=x2,图,在(,0上单调递减,而在0,+)上单调递增.,而在(,+)上既不是单调递减也不是单调递增.,2、奇偶性,(2)若xD(f).有f(x)=f(x).则称f(x)为偶函数.其图像关于y轴对称。,若xD(f).有f(x)=f(x).则称f(x)为奇函数.其图像关于原点对称。,设f(x)的定义域为D.满足xD.有xD.,3、周期性,设f(x)的定义域为D(f).若存在常数T0,使xD(f).有xTD(f).且f(xT)=f(x).则称f(x)为周期函数.T为f(x)的周期.,由于周期函数的函数值是呈周期变化.因此,周期函数的图形也是呈周期性变化.会周而复始的重复出现.如y=sinx,y=cosx.,4、有界性,几何意义：由于|f(x)|M等价于Mf(x)M.因此,f(x)在(a,b)内有界.就表示了f(x)的图形夹在两平行直线y=M之间.,设f(x)在(a,b)有定义,若存在常数M0,使x(a,b),有|f(x)|M.则称f(x)在(a,b)内有界。,定义,否则,称f(x)在(a,b)内无界.,y=sinx在内有界.由于|sinx|1.所以,1和1分别是sinx的上界和下界.,例如,1.1.3反函数,定义:设函数y=f(x)的定义域为D,值域为M.且f是从D到M的单调函数,则yM.都有唯一确定的x与之对应.因此,x是y的函数,称它为y=f(x)的反函数.记作x=f1(y).由于习惯上用x表自变量,y表因变量.所以,反函数也记为y=f1(x).,注1.y=f1(x)的定义域为M,值域为D.,注2.y=f1(x)与y=f(x)的图象关于y=x对称.,注3.求反函数的一般步骤为:(1)从y=f(x)解出x;(2)将x与y互换.,例:求下列函数的反函数,解(1),解(2),1.1.4基本初等函数,基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六大类.它们是微积分中所研究对象的基础.它们的图像和性质大家要很好地掌握.,2020年6月13日星期六,1.1.5复合函数和初等函数,1、复合函数,定义若y=f(u)的定义域U.而u=(x)的值域为U*.且UU*，则y通过中间变量u成为x的函数,称它为由f(u)和(x)构成的复合函数.记作y=f(x).,y=f(x)可通过代入运算而得到:,将u=(x)代入到y=f(u)中.得到y=f(x).,2020年6月13日星期六,y=f(x)可通过代入运算而得到:,将u=(x)代入到y=f(u)中.得到y=f(x).,2020年6月13日星期六,（1）y=sinx3.,（2）y=(1+lgx)5,例1.指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成的.,解：,通过分析可知:以上函数由y=u5,u=1+v,v=lgx三个函数复合而成.,解：,通过分析可知:以上函数由y=sinu,u=x3两个函数复合而成.,21,2、初等函数,定义称由基本初等函数经有限次加,减,乘,除运算和有限次复合运算而成的函数为初等函数.,注意：分段函数就不是初等函数.,例,注：一般来说，初等函数只能用一个解析式来表示.,1.2极限的概念,考察：,趋势：越来越接近于0,求半径为圆的面积和周长。,1.2.1数列的极限,注：按从小到大排列，可看作以为自变量的函数。,例：,2.数列的极限,定义对于数列，如果当无限变大时，趋于一个常数，那么称当趋于无穷大时，数列以为极限，记作或,称收敛于；如果的极限不存在，称数列发散。,例：,发散,发散,思考：什么样的数列是有极限的？,单调数列：有,单调有界原理：,有界数列：有,1.2.2函数的极限,函数极限是函数随着的变化而变化，当无限接近于某一个目标时，有什么样的变化趋势。,数列极限是通项随着自然数的变化而变化，考察当无限变大时，有什么样的变化趋势。,右极限,左极限,六种变化方式,常用极限符号,如果在极限过程下，,则称时，,或称是在,考察以下两个函数,当时，,邻域,(),空心邻域,()(),1.时函数的极限,设函数在有定义，,前例：,2.左极限与右极限,左极限：设函数在有定义，,右极限：设函数在有定义，,3.时函数的极限,设函数在有定义，,设函数在有定义，,设函数在有定义，,例1,解,例2,解,例3,解,充要条件是,充要条件是,定理：,1.3无穷小量与无穷大量,1.3.1无穷小量,无穷小量a，b，g常用来表示.,定义：若函数f(x)在x的某个变化过程中以零为极限，则称函数f(x)为x的该变化过程下的的无穷小量，简称为无穷小。,例如:当,是无穷小量；,当,是无穷小量；,是无穷小量.,理解无穷小量概念时应注意以下几点:,（2）无穷小是以零为极限的变量，不能把一个很小的数误认为是无穷小量。（0除外）.,（1）脱离自变量的某个变化过程（极限过程）谈无穷小量无意义.,（3）无穷小量的定义也适用于数列.,1.3.2无穷大量,定义若在自变量的某个变化过程中，函数是无穷小量,即，则称在该变化过程中，为无穷大量.简称无穷大，记作,正无穷大,负无穷大,与无穷小量类似，理解无穷大量概念时也应注意把握几个关键:,（2）无穷大是变量，不能把一个很大的数误认为是无穷大量。,（1）脱离自变量的某个变化过程（极限过程）谈无穷大量无意义.,（3）无穷大量与无界量的区别。,例如：当是无穷大量；当是无穷大量；当是无穷大量.,定理：在某极限过程中,若f(x)为无穷大量,则,反之,若f(x)为无穷小量,无穷小与无穷大量的关系,即：,例：自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小量、无穷大量？,无穷小量：,无穷大量：,1.3.3无穷小的性质,性质1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注：性质1中“有限个”不能丢，无限个无穷小量的和不一定是无穷小量,性质2有界函数与无穷小量之积仍然是无穷小量.,例1求,解：,例2,证:,为有界函数，,性质3常数与无穷小量之积仍然是无穷小量.,性质4有限个无穷小量之积（自变量为同一变化过程时）仍然是无穷小量.,注意：无穷小量的商未必是无穷小量,1.3.4无穷小量的阶,当时，考查无穷小量,定义设是同一变化过程中的两个无穷小量，,（1）若，则称是比高阶的无穷小量，也称是比低阶的无穷小量。,（1）若，则称与是同阶无穷小量。若，则称与是等价无穷小量。,1.4极限的性质与运算法则,性质1.5（唯一性）若极限limf(x)存在，则极限值是唯一的。,性质1.6（有界性）若极限存在，则函数F(x)在的某个空心邻域内有界。,性质1.7（保号性）若，且（或），则在的某个空心邻域内恒有（或）。若，且在的某个空心邻域内恒有（或），则（或）。,1.4.1极限的性质,1.4.2极限运算法则,解运用定理及其推论可得:,例1,因此,解由例1知道当x1时所给函数的分子和分母的极限都存在，,且分母极限,例2,所以,解由于,例3,即,因此，由无穷小量与无穷大量的关系可知，,当x1时,为无穷大量，,分母极限为0，不能应用商的运算法则，此时取决于分子的极限,解,例4,有时，所给函数在自变量的某个趋向下分子、分母的极限都为零，人们常称这类极限为型极限。,这时不能直接应用商的极限运算法则。,因式分解,约分,例5求,解当时，分子、分母都趋于无穷大，这类问题也不能直接利用商的极限运算法则，可使用如下方法（分子分母同除以x的最高次幂）：,例6求,解:,例7求,解:,但有以下规律：若an0，bm0，m、n为正整数，,小结：当自变量趋于无穷大时，其分子、分母都趋于无穷大.这类极限称为型的极限，,对于它们也不能直接应用商的运算法则.,练习：,分母为零，分子为常数,1.5两个重要极限,1.5.1极限存在的准则,准则1如果函数f(x),g(x),h(x)在同一变化过程中满足,且，那么limf(x)存在且等于A。,准则2如果数列单调有界，那么一定存在。,1.5.2两个重要极限,1.重要极限一,变形式:,结构式:,例1.,解:,=11=1.,（此结果以后可以作为公式直接使用),例2,解:,一般地,可以用以下公式求极限,例3.,解:,注：此结果可以作为公式直接使用，式子中的sin可以换成tan，结果仍然成立。,例4.,解:,记住三角公式,=1,例5.,解:,思考:,和,0,1,1.重要极限二,（1+无穷小）=,规律,变形式：,例6.,解:,例7.,解:,例8.,解:,（此结果可作为公式记住),例9.,解:,例10.,解:,=lne,=1,(2),小结,基本公式,常用公式,(1),（1+无穷小）=,1.6.1连续函数的概念,1、增量,1.6函数的连续性,对于给定的函数y=f(x),函数在的某邻域有定义，当自变量x从变化到x时，自变量增量为，那么对应的函数值的增量为,2.点连续,定义1.16,设函数y=f(x)在的某邻域有定义，当自变量的增量趋于零时，函数的相应增量也趋于零，即，那么称函数在点连续。,其中,f(x)在x0连续的几何特征：,曲线y=f(x)在x0点不断裂。,定义1.17设函数y=f(x)在的某邻域有定义，如果当时，函数f(x)的极限存在，且，那么称函数f(x)在点连续。,例2,证,证完,由定义1.17可得到以下结论：,如果,定理,例4,解：,f(x)右连续但不左连续,4.函数在区间上的连续性,定理,给出来了求初等函数极限的一种方法,1、间断点的定义及判定,判定方法：,1.6.3函数的间断点,2、例题,例6考察函数在点处的连续性。,解：因为在没有定义，所以是的一个间断点，,又因为，所以点称为的无穷间断点。,2、例题,跳跃间断点：左右极限存在但不相等。,可去间断点：函数在极限存在，但不等于它在该点的函数值，即：,例9已知函数在点处连续，求的值。,解：因为,且在处连续，所以存在，等价于即,1.6.4闭区间上连续函数的性质,定理1.6若函数在闭区间上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值。,1.6.4闭区间上连续函数的性质,定理1.7若函数在闭区间上连续，和分别为在上的最小值和最大值，则对介于和之间的任一实数，至少存在一点，使得。,推论若函数在闭区间上连续，和异号，则至少存在一点，使得。,1.7.1需求函数与供给函数,如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为需求量Q是价格p的函数.记作,这一函数称为需求函数.,1.7常用经济函数,1.需求函数,注：1）需求函数为价格p的单调减少函数。2）需求函数的反函数为价格函数。,常见的需求函数：,(其中a,b,c,A0),幂函数：,2.供给函数,如果价格是决定供给量的最主要因素，可以认为供给量S是价格p的函数.记作,则S称为供给函数.,一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：,线性函数：,幂函数：,指数函数：,在同一个坐标系中作出需求曲线D和供给曲线S，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为供需平衡价格.,E,供需平衡点,均衡价格,例1当鸡蛋收购价为每千克7.5元时，某收购站每月能收购10000kg。若收购价每千克提高0.1元，则收购量可增加400kg，求鸡蛋的线性供给函数。,解：设鸡蛋的线性供给函数为,由题意得,解得,所求供给函数为,例2已知某商品的需求函数和供给函数分别为求商品的均衡价格。,解：由供需均衡条件，可得,因此，均衡价格为,1.7.2总成本函数、收入函数和利润函数,1.总成本函数,支付固定生产要素的费用，与q无关,支付可变生产要素的费用，随q的增加而增加,q：产量,：平均可变成本,解,由题意，求产量为100时的总成本,2.收入函数,如果产品价格p保持不变，则,总收入是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用表示出售的产品数量，R表示总收入,表示平均收入，则,解,3.利润函数,利润是生产中获得的总收入与投入的总成本之差