第五章 可数性公理.ppt

2020/6/7,宁德师范高等专科学校,1,第五章可数性公理,本章主要介绍4种与可数性相关的拓扑性质,它们与度量空间性质、下章要讨论的分离性公理都是密切相关的.本章的要点是给出它们之间的基本关系.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,2,5.1第一与第二可数性公理,第二章介绍的空间的基,在生成拓扑空间,描述局部连通性,刻画连续性等方面都发挥了积极的作用.较少的基元对于进一步讨论空间的属性是重要的.定义5.1.1若X有可数基,称X满足第二可数(性)公理,或是第二可数空间,简称A2空间.定理5.1.1RA2.证令B=(a,b)|a,bQ,定理2.6.2,B是R的可数基.离散空间X具有可数基X是可数集.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,3,5.1第一与第二可数性公理(2),下面讨论“局部基”性质.(定义2.6.3)对xX,设Ux是x的邻域系,若VxUx满足:UUx,VVx使VU,则称Vx是x的邻域基,若更设Vx中每一元都是开的,则称Vx是x的开邻域基或局部基.易验证,(1)若Vx是x在X的邻域基,则V|VVx是x在X的局部基;(2)(定理2.6.7)若B是空间X的基,xX,则Bx=BB|xB是x的局部基.定义5.1.2若X的每一点有可数邻域基,称X满足第一可数(性)公理,或是第一可数空间,简称A1空间.定理5.1.2度量空间A1.证B(x,1/n)|nZ+是x的可数邻域基.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,4,5.1第一与第二可数性公理(3),例5.1.1不可数多个点的可数补空间X:非A1.设xX有可数局部基V.yX-x,VyV使Vyy,yVy,从而不可数集xVy|xyX可数集,矛盾.定理5.1.3A2A1.证若B是X的可数基,则Bx=BB|xB是xX的可数邻域基.逆命题不成立,不可数的离散空间是反例.定理5.1.4设f:XY连续、满、开映射,则X是A2(A1)Y是A2(A1).,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,5,5.1第一与第二可数性公理(4),证设B是X的可数基,则B*=f(B)|BB是Y的可数基.事实上,设U是y在Y中的邻域,取xf-1(y),则f-1(U)是x的邻域,BB使xBf-1(U),yf(B)U.证明也适用于:设V是x在X的局部基,则V*=f(V)|VV是f(x)在Y的局部基.可遗传性质(如,离散性,平庸性),开遗传性质(如,局部连通性),闭遗传性质.定理5.1.5A2,A1都是可遗传性质.证设YX.若B是X的可数基,则B|Y是Y的可数基.若yY且V是y在X中的邻域基,则V|Y是y在Y中的可数邻域基.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,6,5.1第一与第二可数性公理(5),定理5.1.6A2,A1都是有限可积性.证仅证若X1,X2是A1空间,则X1X2是A1空间.x=(x1,x2)X1X2,分别设x1,x2在X1,X2的可数局部基是V1,V2,令V=V1V2|V1V1,V2V2,则V是x在X1X2中的可数局部基.事实上,设U是x在X1X2中的邻域,则分别X1,X2的开集U1,U2使xU1U2U,V1V1,V2V2,使V1U1且V2U2,则V1V2U1U2U.推论5.1.7Rn的每一子空间是A2.作为2.7的继续,下面讨论第一可数空间的序列性质.X中的集列AiiZ+称为下降的,如果A1A2.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,7,5.1第一与第二可数性公理(6),定理5.1.8X在x有可数邻域基X在x有下降的可数邻域基UiiZ+.证“”设ViiZ+是x在X的可数邻域基,令Ui=V1V2Vi.定理5.1.9设X是A1空间,AX.A-x中序列xixxd(A).证定理2.7.2已证“”,下证“”.设UiiZ+是x在X中下降的可数邻域基.xiUi(A-x),则xix.事实上,x的邻域U,nZ+使UnU,in,xiUiUnU.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,8,5.1第一与第二可数性公理(7),定理5.1.10设X是A1空间.则f:XY连续xixX,f(xi)f(x).证定理2.7.3已证“”,下证“”.若f在某点xX不连续,f(x)的邻域V使f-1(V)不是x的邻域.设UiiZ+是x在X中下降的可数邻域基,那么每一Uif-1(V),xiUi-f-1(V),于是xix,从而f(xi)f(x)V,nZ+,in有f(xi)Vi,xif-1(V),矛盾.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,9,5.2可分空间,定义5.2.1DX称为X的稠密子集,若c(D)=X,即若U是X的非空开集,则UD.定义5.2.2若X有可数的稠密子集,X称为可分空间.定理5.2.2A2可分.证设B是X的可数基,BB,取定xBB,令D=xB|BB,则D可数.xX,及x的任一邻域U,BB使xBU,那么xBUD,所以UD,即xc(D).c(D)=X.由此,A2的每一子空间是可分的;Rn的每一子空间是可分的.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,10,5.2可分空间(2),例5.2.1设(X,T)是拓扑空间,X.定义X*=X,T*=A|AT.易验证,(X*,T*)是拓扑空间;B是(X,T)的基B*=B|BB是(X*,T*)的基.(1)(X*,T*)是可分空间,因为是X*的稠密集;(2)(X*,T*)是A2(X,T)是A2;(3)(X,T)是(X*,T*)的(闭)子空间,因为T=T*|X.现在,取(X,T)是不可数的离散空间,则(X,T)不是可分空间,(X*,T*)是可分,非A2空间,所以,(i)可分A2;(ii)可分性不是(闭)遗传性.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,11,5.2可分空间(3),定理5.2.4可分度量A2.,由此,可分度量空间的每一子空间是可分的.,(设xB(y*,1/2k),(x,y)(x,y*)+(y*,y)1/k).,证设D是度量空间(X,)的可数稠密集.令B=B(x,1/n)|xD,nZ+,则B是X的可数基.事实上,yX及y在X中的邻域U,kZ+,使B(y,1/k)U.由于c(D)=X,y*B(y,1/2k)D,那么B(y*,1/2k)B且yB(y*,1/2k)B(y,1/k)U.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,12,5.3Lindelf空间,定义5.3.1设A是X的子集族,BX.若BA,则称A是B的覆盖,并且当A是可数集(有限集,开集,闭集)族时,称A是B的可数(有限,开,闭)覆盖.若A的子集A1覆盖B,则A1称为A的子覆盖.数学分析中的Heine-Borel定理:R的闭区间的每一开覆盖有有限子覆盖.定义5.3.2X称为Lindelf空间,若X的每一开覆盖有可数子覆盖.含有不可数多个点的离散空间不是Lindelf空间.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,13,5.3Lindelf空间(2),定理5.3.1(Lindelf定理)A2Lindelf.证设X有可数基B.让A是X的任一开覆盖,令B1=BB|AA使BA=BnnZ+.AnA使BnAn.则AnnZ+是A的可数子覆盖.事实上,xX,AA使xA,BB使xBA,设B=Bn,那么xAn.由此,A2空间的每一子空间是Lindelf空间.(推论5.3.2),2020/6/7,宁德师范高等专科学校,14,5.3Lindelf空间(3),例5.3.1含有不可数个点的可数补空间X:Lindelf空间.例5.1.1已证明X不是A1空间.设A是X的开覆盖.取定AA,xA,AxA使xAx,则AAx|xA是A的可数子覆盖.故X是Lindelf空间.同理,X的每一子空间也是Lindelf空间.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,15,5.3Lindelf空间(4),定理5.3.3Lindelf度量A2.证设(X,)是Lindelf的度量空间.kZ+,X的开覆盖Ak=B(x,1/k)|xX有可数子覆盖Bk=B(xki,1/k)|iZ+.下证D=xki|k,iZ+是X的可数稠密集.,对X的任一非空开集U,xU,kZ+使B(x,1/k)U.由于Bk是X的覆盖,iZ+使xB(xki,1/k),那么xkiB(x,1/k)U,于是DU.故X是可分空间,再由定理5.2.4,X是A2.,2020/6/7,宁德师范高等专科学校,16,5.3Lindelf空