第二章-一维杆中的应力波.ppt

第二章一维杆中的应力波-物理问题,2.1物理问题讨论一维杆中纵波的传播问题,假设：变形前后横截面为平面只有均布轴向力各参量为、的函数(1)微元体的运动方程：,即,也可写成或,(2-1),2,应变和质点的速度分别是位移对X,t的一阶导数,由位移u的单值连续条件即可得到联系和的相容性方程,即连续方程,(2-2),(2)连续方程,3,(3)材料的本构关系材料的本构关系,先限于讨论应变率无关理论,则作另一个假定:应力只是应变的函数,即(2-3)由于应力波速很高,在应力波通过的微元体的时间内,微元体尚未与周围介质交换热量,可近似认为绝热过程.本构关系是绝热的本构关系.关于变量的封闭控制方程组由(2-1),(2-2)和(2-3)组成.杆中应力波的传播问题即是从这些基本方程组中,按给定的初始条件和边条件来求解三个未知函数,4,一般情况下,是连续可微函数,设一阶导数为非零正数,引入由(2-1)和(2-3)消去,(2-4)或(2-2)和(2-3)消去(2-5)问题化为求解一阶偏微分方程组或,5,或由(2-1)、(2-2)消去可得(2-6)若对于线弹性材料,本构关系(2-7)(2-7)(2-6)消去则得同理可推出(2-8),线弹性杆中都满足形式为(2-8)的二阶偏微分方程，从不同的侧面表达了一维杆中波的传播规律。,第二章一维杆中的应力波-物理问题,6,若把和代入(2-4)中,则问题可完等价地归结为求解以位移为未知函数的二阶偏微分方程,即波动方程(2-9)上述控制方程组中,忽略了杆的横向运动的惯性作用,即忽略了杆的横向收缩或膨胀对动能的贡献.事实上,由于质点的横向运动将使杆横截面上的应力分布不再均匀,原来的横截面将变歪曲,也不再是一维问题.,7,第二章一维杆中的应力波-特征线,特征线:方向导数法,即能把二阶偏微分方程(或等价的一阶偏微分方程组的线性组合)化为只包含沿自变量平面(X,t)上某曲线的方向导数的形式时,此曲线即为特征线.,设自变量平面(X,t)上有某曲线,那么的一阶偏导数分别为,沿此曲线方向的微分为,8,方向导数含义：,在（X，t）平面内有一曲线，函数f(X,t)在S方向上的方向导数定义为：,给出了在与曲线相切方向上对S的变化率。其中S的方向即为：,9,线性组合,(1),(2),由(1)得:,由(2)得:,特征线微分方程,积分可得特征线.,与波动方程(2-9)对比:,第二章一维杆中的应力波-特征线,10,回代只包含特征线方向微分的常微分方程或,上式规定了在特征线上必须满足的相互关系,称为特征线上的相容关系.解线性偏微分方程的问题就完全等价地化为解特征方程和特征线上的相容关系.,11,小结:二阶线性偏微分方程,有两条实特征线,正向特征线:,负向特征线:,相容关系,物理平面(X，t)速度平面,X,t,第二章一维杆中的应力波-特征线,12,第二章一维杆中的应力波-特征线,特征线的另一种求解方法:不定线法,概念：沿(X,t)平面有这样的曲线,由沿此曲线上给定的初值及偏微分方程一起不足以确定全部偏导数的话,则此曲线称为特征线.,13,第二章一维杆中的应力波-特征线,若曲线为特征线,上述方程的解不确定,则应有,特征线方程,相容条件,即,14,例2-1:利用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系.解:由方向导数的定义,上述偏微分方程组线性组合为(3)所对的特征方向应相同,(1),(2),15,可得代入得特征线方程(3)式可写为即有从而得,16,第二章一维杆中的应力波-初边值问题,一、波动方程的解初值问题行波解法特定物理问题+初值定解无限长杆的初始条件,引入,则,(2-12),(2-13),(2-10),(2-11),17,把(2-12)(2-13)代入（2-10）：上式对、各作一次积分得：方程（2-10）的通解为：,（2-14）,(2-14)代入初始条件(2-11)式得:,其中:,（2-15）,第二章一维杆中的应力波-初边值问题,18,代入（2-14）中得到原初值问题的解为：式（2-14）（2-16）（2-17）波的传播规律的数学描述.,（2-17）,(2-15)式可解出:,积分,（2-16）,第二章一维杆中的应力波-初边值问题,19,二、物理意义和初值影响区间,若,若,依赖于区间的初值.,P点的依赖区间,第二章一维杆中的应力波-初边值问题,20,影响区域示意图,21,常数,则=常数;,常数,则=常数;,沿:,沿:,A点的初始值分解成对应于和两部分，则这两部分分别沿着直线L和R的数值不变地传播出去。,第二章一维杆中的应力波-初边值问题,22,初始值区间，用上式求出初始时刻和的分布，它们分别沿着斜率为，的方向形状不变的传播，为扰动传播的速度。扰动传播沿特征线。任意时刻t，是和的迭加。,初始值分解:,第二章一维杆中的应力波-初边值问题,23,2.3弹性杆中波的传播（半无限长弹性杆，不考虑反射）,第二章一维杆中的应力波-弹性杆中波的传播,（1）,（1）式的通解为：,引入,对求的偏微分,（2）,沿直线,（3）,一特征线和相容关系,24,沿着,（3）式可写成,对于线弹性杆，,因此有：,或,微分形式有：,特征线方程,相容条件,引入积分常数,右行波,左行波,Rieman不变量,25,第二章一维杆中的应力波-弹性杆中波的传播,二两个重要结论,PA:,PB:,若点A,B状态已知,则有,结论1:如果AB区间上的任一条曲线上应力、速度为常数，则在特征线PA、PB和曲线所围成的曲边三角形内，应力和速度也为常数，该区为恒值区。,若,26,PA:,PB:,DB:,DA:,(1),(2),(3),(4),(1)+(2)-(3)-(4):,结论2：P、A点间的应力差和速度差分别等于B、D点间的应力差和速度差。若特征线PA上应力、速度为常数，则BD上应力、速度也为常数；但各特征线上的应力和速度的常数值可以不同。,第二章一维杆中的应力波-弹性杆中波的传播,27,2.4Cauchy问题和Picard问题研究对象：半无限长弹性杆。初态：静止自然状态，时刻在杆端受一给定条件的撞击。初条件可写为：边条件：求解或按特征线法求解.,第二章一维杆中的应力波-Cauchy问题和Picard问题,28,第二章一维杆中的应力波-Cauchy问题和Picard问题,沿:,沿:,可得P点的和:,由于,可得,AOX为恒值区,29,如果常数,常数,则区总是恒值区,总有,。,类空曲线：OX的初值曲线是一条非特征线，并且经曲线上任一点所作的两条特征线都随时间的增加而进入所讨论区域。Cauchy问题：类空曲线的任意线段上给定，则可在由、和为边的曲线三角形区域中求得单值解，这类初边值问题称为Cauchy问题。,第二章一维杆中的应力波-Cauchy问题和Picard问题,30,混合边值问题或Picard问题B点作左行(负向)特征线,与OA交于D点,Aot区域：线因此恒该区域中恒有,即恒有右行(正向)特征线总交于轴，而轴的边条件给出,沿：,第二章一维杆中的应力波-Cauchy问题和Picard问题,M,t,31,正向特征线的数学表达式为该区域中任一点处的：说明：时刻加于杆端的扰动以速度在杆中传播，于t时刻到X截面，即特征线在物理意义上表示扰动（波阵面）的传播轨迹。类时曲线：Ot轴，经曲线上的任一点的两条特征线随时间的增加只有一条进入所讨论的区域。一条特征线上给定，与之相交的类时曲线上给定或，则可在此两曲线为界的的区域中求得单值解.该类问题为混合问题或Picard问题.,第二章一维杆中的应力波-Cauchy问题和Picard问题,32,讨论：Cauchy问题中其解完全由初条件确定，只受杆中初始扰动的影响,不受边界扰动的影响。Picard问题中其解由初条件和边条件共同确定,其解受由左行波传来的初扰动和右行波传来的边界扰动的影响。,第二章一维杆中的应力波-Cauchy问题和Picard问题,33,时刻波形曲线,O,截面位置上质点速度应变应力随时间的变化曲线,第二章一维杆中的应力波-波形曲线,线弹性波,波速恒定,应力波在传播过程中波形不变.,34,例2-1求解一端固定,长为l杆中应力波的传播问题.,初始条件:,边条件:,(固定端),(自由端边条件),分析:(1)OA以下区为恒值区(2)区:作PQ特征线,边界AB上未知应力;,因此,区也是恒值区。,第二章一维杆中的应力波,35,（3）区为简单波区，任一条特征线RU上，,简单波区与恒值区总是相邻。,（4）区为复杂波区,任一点作两条特征线，可以和OC和AD相交。RS特征线满足；,代入固定端边条件：,则有，,若为自由端边条件：则有,第二章一维杆中的应力波,36,该区域中任一点M的状态，作两条特征线，,37,（5）区：NA特征线，,该区也是恒值区。,（6）区：,第二章一维杆中的应力波,38,第三章一维杆中的应力波-塑性波,2.5弹塑性杆中波的传播,一维长杆中施加的载荷v达到材料的屈服速度（对应于材料中波的应力大于材料的屈服强度Y）时，即或材料发生屈服而进入塑性变形状态，杆中将传播塑性波。此时，塑性波波速C是应变的函数，变化规律与材料的本构关系直接相关。,39,式中,代入方程中得杆的波动方程:,一研究对象细长杆均已知,其中弹塑性波的传播问题.二波动方程,或,第三章一维杆中的应力波-塑性波,40,三特征线及其相容关系设二阶拟线性偏微分方程：初始条件：平面上的以及上的，或为已知，为参量。可由下式求出：,设上任意一点.方程（1）的解在处泰勒展开,第二章一维杆中的应力波-塑性波,(1),41,根据特征线的定义（不定解的求法）：如果假定曲线上的条件尚不能唯一的求出这些偏导数，因而定不出方程的解。则曲线定义为特征线。,(2a),(1)(2a)联立组成关于的三元一次方程:,其解,第二章一维杆中的应力波-塑性波,42,式中当时，方程有不定解。由得特征线方程：,或,第二章一维杆中的应力波-塑性波,43,当时，两簇特征线。(1)为双曲型偏微分方程；当时，一簇特征线。(1)为抛物型偏微分方程；当时，没有特征线。(1)为椭圆型偏微分方程。,特征线上的相容关系：,或由此可分析：经过处理，一个二阶拟线性偏微分方程简化为特征线方程和沿特征线上的相容关系，后面两个都属于常微分方程。,第二章一维杆中的应力波-塑性波,44,考察一维波动方程:,代入可得特征线方程:,代入可得相容关系,第二章一维杆中的应力波-塑性波,二阶拟线性偏微分方程,系数分别为,45,或,46,（若则与线弹性杆中相同，现在讨论常数的情况）设应力，仅是应变的常值函数。（仅考虑加载段，不考虑卸载段）,积分为,令,则上式或,第二章一维杆中的应力波-塑性波,上式对弹性波和弹塑性波都适用，积分后，可得到左行波和右行波特征线上的相容关系的等价式为：,47,(1)线弹性材料;(2)线弹性-线性硬化材料;(3)线弹性-递减硬化材料;(4)线弹性-递增硬化材料,几种常见的材料本构模型,第二章一维杆中的应力波-塑性波,48,（1）线弹性材料对于特定的材料弹性波波速为常数：，特征线为相互平行的直线。（2）线弹性-线性硬化材料弹性区内，塑性区内，塑性波速为常数，且。弹性区内和塑性区内的特征线分别相互平行，但是弹性波特征线与塑性波特征线斜率不相同。,第二章一维杆中的应力波-塑性波,49,（3）线弹性-递减硬化材料弹性区：，塑性区：，且有.弹性区内特征线分别相互平行，塑性区内波幅不同的特征线彼此不平行。a）上凸形的曲线；二阶导数；b）随着应力增加,应变增加,塑性波速减小,塑性波传播过程中，波剖面是逐渐发散和展宽的（发散波）。,第二章一维杆中的应力波-塑性波,50,（4）线弹性-递增硬化材料弹性区：，塑性区：，塑性波速不为常数。弹性区内特征线分别相互平行，塑性区内波幅不同的特征线彼此不平行。(a)下凹形的曲线;二阶导数；(b)随着应力增加,塑性波速增加；(c)塑性波传播过程中，高幅值扰动的传播速度大于低幅值扰动的传播速度，波剖面会愈来愈陡(会聚波)，最终将在波阵面上发生质点、速度和应力应变的突跃，形成冲击波。,第二章一维杆中的应力波-塑性波,51,例:半无限长杆,处于静止的自然状态,在初始t=0时刻杆端受到一撞击载荷,若杆端质点速度随时间的变化已知.问题归结为在初始条件和边条件下,求解杆中弹塑性波的传播问题.初条件边条件,分析:(1)恒值区AOX与简单波区AOt中的弹性波部分与前述弹性波解完全相同;,恒值区AOX,AOt中的弹性波,52,单波区有沿正向的特征线的Riemann不变量R1由边界条件确定沿正向特征线质点速度应变和应力均不变,从而不变,但对不同的正向特征线有不同的值.在塑性简单波区中正向特征线是一系列斜率不同的直线,即有,(2)对应的塑性波部分,由于负向特征线都终将与X轴相交,在零初始扰动情况下,Riemann不变量R2恒为零.在塑性简,53,(3)塑性波的波速C取决于材料的密度和材料动态应力应变曲线塑性部分的斜率，因此根据材料本构关系的应变硬化特性不同，所形成应力波的塑性波区的特征线之间的发散或会聚趋势也不同，应力波在传播过程中波剖面的变化趋势也不同。(4)根据特征线方法，可以画出一维弹塑性波的波系图（X-t图）、某一位置的图,以及杆中应力波传播的图.在平面上,塑性简单波区对应的一段曲线,当引入后，平面上塑性简单波区相对应一段直线.,54,55,塑性简单波的特征线图和对应的图,56,2.6强间断、弱间断及冲击波和连续波,1)强间断:(数学定义)波阵面上，位移连续，但其一阶导数间断即和在波阵面上有突跃，称为一阶奇异面或强间断.这类应力波称为形成冲击波。波剖面:间断，波阵面前后的状态量差值为一有限值。线弹性-递增硬化材料中塑性波最终形成强间断.,第二章一维杆中的应力波-强间断弱间断冲击波,奇异面:在波阵面上,质点位移必须连续,但其导数可以间断.这种具有导数间断的面,在数学上称为奇异面.,57,2)弱间断：如果位移及其一阶导数连续而二阶或高阶导数间断,如加速度间断，则称为二阶奇异面或更高阶的奇异面.这类间断形成弱间断。这类应力波常称为加速度波.波阵面:连续，形成连续波。波阵面前后的状态参量差值无限小。线弹性-递减硬化材料中塑性波只能形成弱间断.,58,应力波以强间断或弱间断传播，取决于两方面因素：边界条件;材料的应力应变关系;,1)线弹性材料,本构关系,边界弱间断弹性波弱间断;,第二章一维杆中的应力波-强间断弱间断冲击波,59,1)线弹性材料,边界强间断弹性波强间断,若为恒值,则也为恒值区.OA两侧均为恒值区.则原来经过t轴0-t4间各点的正向特征线互相重叠在OA线上,在OA线上发生质点速度,应力和应变的突跃,OA线为强间断波阵面的传播轨迹.,60,2)线弹性-线性硬化材料,弱间断边界;弹性波和塑性波都是波剖面不变的连续波,但两者之间的距离将在传播过程中越拉越远.弹性波速和塑性波速均为常数;,第二章一维杆中的应力波-强间断弱间断冲击波,61,线性硬化材料,边界条件:强间断;则形成双波结构，在斜率为的特征线上发生一次弹性突变，再在斜率为的特征线上发生一次塑性突跃，这两个陡峭的波阵面之间的距离在传播过程中愈拉愈远。,第二章一维杆中的应力波-强间断弱间断冲击波,62,3)线弹性-线性递减硬化塑性材料,边条件:弱间断;形成弱间断弹塑性波.,第二章一维杆中的应力波-强间断弱间断冲击波,63,3)线弹性-线性递减硬化塑性材料,边条件:强间断;弹性波区的平行特征线将重叠在一起形成强间断的弹性波;塑性波区的发散特征线将共交于O点(奇异点),形成塑性中心波.强间断边界条件中的弹性部分以强间断形成传播,而其塑性部分则从传播一开始就变为弱间断,以发散的连续波的形式传播.在传播过程中,波剖面变平坦.,第二章一维杆中的应力波-强间断弱间断冲击波,64,4)线弹性-递增硬化塑性,特点:1)高幅值塑性扰动的波速大于低幅值塑性扰动的波速,因此,塑性加载波是会聚波.在某一瞬时,发生应力,应变和质点速度的突跃,形成冲击波.2)强间断波由应力波传播会聚性质形成,热力学上引起额外熵增的冲击波;3)本构关系;边条件;初条件确定冲击波的形成时间和地点.,第二章一维杆中的应力波-强间断弱间断冲击波,65,第二章一维杆中的应力波-强间断弱间断冲击波,初始时刻的波形：右行波：,因而有:,反函数:,冲击波形成的条件:,或,冲击波形成的时间和位置:,取最小值才是冲击波开始建立的时刻.,初始条件中包含强间断,即则,66,2)设已知边条件右行波的特征线方程因此有(2-6-1)反函数形式为(2-6-2)式(2-6-1)对求偏导有式(2-6-2)对求偏导有,第二章一维杆中的应力波-强间断弱间断冲击波,(2-6-3),(2-6-4),67,若边界中包含强间断，即有则,对于突加载荷，开始就以强间断波进行传播。,冲击波形成条件：或由(2-6-3),(2-6-4)代入上述条件可求得冲击波形成地点和时间,第二章一维杆中的应力波-强间断弱间断冲击波,68,2.7波阵面上的守恒条件设有平面波阵面以波速D向右传播，波阵面上的任一物理量为，设波阵面之前和之后的值分别表示为和，则波阵面前后参量的变化值表示为：(2-7-1)如果在波阵面上连续，有，有间断则，用表示物理量在波阵面前后的差值，即突跃值。考察物理量对时间的变化率，即随波微商有：(2-7-2)对和分别取随波微商并相减，可得(2-7-3),第二章一维杆中的应力波-波阵面上的守恒条件,69,对于一阶奇异面（强间断），连续而一阶导数发生间断，有，即，(2-7-3)式变为：(2-7-4)此即著名的Maxwell定理。用和代替(2-7-3)中的,(2-7-5),第二章一维杆中的应力波-波阵面上的守恒条件,70,如果及其一阶导数连续，而二阶导数在波阵面上间断(二阶奇异面),有,即有,(2-7-6),式(2-7-3),(2-7-4)(2-7-6)为波阵面上的运动学条件,对应于波阵面上本身,的一阶导数和二阶导数发生间断时的情况.对于左行波,以-D代替D即可.,第二章一维杆中的应力波-波阵面上的守恒条件,71,如果波阵面上运动学相容条件的通式中的用位移u来代替，根据位移连续条件，显然有冲击波波阵面，用位移u来代替，一阶奇异面相容条件式(2-7-4)得：(2-7-7)加速度波波阵面，用位移u来代替，(2-7-6)式整理得(2-7-8)(2-7-7)式和(2-7-8)式分别为冲击波和加速度波波阵面的运动学相容条件质量守恒条件。,1)质量守恒条件,第二章一维杆中的应力波-波阵面上的守恒条件,72,2)动量守恒条件,强间断波,AABB间质点的动量守恒条件:整理后得,弱间断波，有，需要考察v和偏导数之间的关系，把一维纵波的动量守恒方程分别应用于波阵面的前方和后方并相减可得：(2-7-10),(2-7-9),第二章一维杆中的应力波-波阵面上的守恒条件,73,对于冲击波波阵面,有运动学相容条件(2-7-7)和动力学相容条件(2-7-9)可得冲击波的波速为对于加速度波,同样得到波速表达式波阵面上的运动学和动力学相容条件与材料的物性无关,对任何连续介质中的平面波都适用.但波速与材料的本构特性有关.一般情况下,冲击波速度与加速度波速不同.,第二章一维杆中的应力波-波阵面上的守恒条件,74,根据应变率无关理论，应力是应变的单值连续函数，对于弱间断有则波速形式变为：(2-7-14)这样加速度波的波速仍然是由材料本构关系曲线的切线斜率所确定。若应力与应变满足线性关系，则，此时加速度波与强间断波的波速一致。,第二章一维杆中的应力波-波阵面上的守恒条件,75,对于线弹性-递增硬化材料,塑性冲击波波速由激波弦AB的斜率确定.,第二章一维杆中的应力波-波阵面上的守恒条件,76,3)能量守恒条件,冲击波，根据能量守恒定律，应力波在dt时间内，对dX微元内介质所做的功，一部分用来增加介质的内能，一部分变为介质的运动动能，即有：其中,e为介质单位质量的内能;整理得:将和代入整理得:,第二章一维杆中的应力波-波阵面上的守恒条件,77,为介质单位体积的内能;则上式变为:,或,冲击波波阵面上的守恒条件为:,第二章一维杆中的应力波-波阵面上的守恒条件,78,右行波取（-）左行波取（+）与特征线上的相容关系相反,如果令冲击波波阵面上的突跃值由有限值趋于无限小,则前面3个守恒条件式化为弱间断波阵面上的守恒条件:,第二章一维杆中的应力波-波阵面上的守恒条件,79,说明:波阵面前后状态之间的关系,即跨过波阵面时状态参量所应满足的关系,而特征线上的相容条件则是沿着特征线上的状态量之间应满足的关系.扰动沿着右行特征线传播时将跨过一系列左行特征线,即跨过一系列左行的波阵面,因此,两者关系正好反号.,右行波,左行波,C,D,第二章一维杆中的应力波-波阵面上的守恒条件,80,第二章一维杆中的应力波-弥散效应,2.8横向波引起的弥散效应横向惯性的影响杆在轴向应力作用下,除有轴向应变外,由于泊松效应而引起的横向变形积分上式得,81,由此得横向运动的质点速度和加速度分别为在原平截面上有非均匀分布的横向质点位移,速度和加速度.即存在有相应地横向应力,从而导致平截面歪曲,不能再保持为平截面.应力状态不再是简单的一维应力状态,是一个三维问题.,第二章一维杆中的应力波-弥散效应,82,单位体积平均横向动能导出为：式中为截面对X轴的回转半径：,第二章一维杆中的应力波-弥散效应,83,微元体上作用着一对静平衡力和一非静平衡力.,非静平衡力所做的功等于纵向动能的增加率:整理得到微元体的运动方程:,第二章一维杆中的应力波-弥散效应,84,静平衡力做功,初等理论中全部转化为微元体的内能,在弹性波情况下转化为应变能.考虑横向运动的情况下,可看作由两部分组成,一部分仍使微元体应变能增加,一部分则转变成横向动能.单位时间,单位体积内,有整理得,第二章一维杆中的应力波-弥散效应,85,上式表明,考虑了横向惯性后,Hooke定律用新的应变率相关的应力应变关系所代替.横向惯性修正项与成正比,因此,在载荷随时间的两阶偏导数显著的情况下,修正是很必要的.上式代入运动方程,得并把代入,横向惯性效应;,第二章一维杆中的应力波-弥散效应,86,由于横向惯性效应的影响,杆中弹性纵波将不再像初等理论中以恒速度传播,而是对不同频率f(或波长)的谐波将以不同波速(相速)C传播.设谐波解代入波动方程中,有圆频率,波数圆频率为的谐波其相速按下式确定,第二章一维杆