面积法在平面几何问题求解中的巧妙应用

平面几何问题的证明面积法（教案）教学目的：掌握面积法在平面几何解题中的巧妙应用 教学重点：1、三角形、凸四边形面积公式的推导 2、面积法在平面几何解题中的巧妙应用 教学内容： 2002年，张景中院士推出新概念几何，其中对三角学作了全新的处理，他把边长为1、夹角为的菱形的面积定义为，由此研究正弦的性质，到处理余弦，用面积的方法证明大量的平面几何问题，把三角学和几何学打成一片，别具一格，极有新意。张院士指出：抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学，而且使几何问题求解变得更有趣味。在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表示有关的几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，这就是面积法。一、为运用面积法解题，我们需要一些面积公式：1、 设中，角所对的边依次为，又为边上的高，为其外接圆半径，为其内切圆半径，则（1） ； （2）; （3）; (4); (5)； (6)。（海伦公式） 2、在凸四边形中，边长分别为，两对角线长为两对角线夹角，且，则：（1） (2) (3) （当四点共圆时） (4) ，或引理1：圆内接四边形的四边是则四边形的面积 ，。事实上，以E为一组对边的交点，设。由得 ，而 ，同理 ，由海伦公式得对于一般情况的凸四边形，不满足四个顶点共圆，就没有如上的相似三角形，所以面积公式有所不同。定理：一般地，任意凸四边形的四边是则四边形的面积为其中，.证明：设对角线， 由于任意四边形由四条边和一个内角确定，所以可将内角看作是内角的函数，即。、两式两边同时对角求导得： 将式代入式有 将式代入式有上式两边积分得,其中是待定的常数。当四边形的四点共圆时，,此时 所以任意凸四边形ABCD的面积 , 同理可证任意凸四边形ABCD的面积 由此我们也看出，四边给定的所有四边形中，当四点共圆时，四边形面积最大。二、面积法在平面几何解题中的应用引理2：共边定理 若直线和直线交于,可能的情况如下图，则. 例1、设是的平分线上任一点，过引交的延长线于,过引交的延长线于,求证：.连接由有.由有.故又P是的平分线上的点，P点到及的距离相等，即的边上的高等于的边上的高，从而.例2、如图，在中，是边上的高上的任一点，直线交于，直线交于，连接，求证：. 证明：过点A作的平行线，分别交的延长线于则有, ,3、 小结：正如张院士所说的抓住面积，不但能把平面几何课程变得更容易学，而且使几何问题求解变得更有趣味。因此，在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表示有关的几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系求解。四、课后思考题： 1、用面积法证明塞瓦定理。塞瓦（Ceva）定理：设分别是的边所在直线上的点（即三点中或三点或一点在边上），则三直线共点或平行的充要条件是 证明 必要性：若三直线交于一点，则 若三直线平行，则充分性：若直线交于一点，设与的交点为，则由必要性知。而题设有，由此有，即，由此知与重合，从而三直线共点。若,则代入已知条件有,由此知.故。证毕。2、 凸四边形中，,对角线交于点.求.证明 法1（常规解法）：由题意可知且四点共圆。设，则 在