数值分析习题课.ppt

数值计算方法（数值分析）,课程复习与习题讲解,课程考察范围,1、引论2、插值法3、数值积分4、解线性方程组直接法5、解线性方程组迭代法6、非线性方程组数值解法7、常微分方程初值问题数值解法（注：每个章节均有重点内容）,试题构成,填空题5小题，共计10分。计算题6小题，每题15分，共计90分。各章均占15%左右权重。各章重点方法和公式要求掌握。（注1：试题总体难度等级简单）（注2：试题有一定的计算量，希望复习作业熟练掌握本课程重点方法计算过程）（注3：考试需携带计算器）,1、引论,误差与有效数字（重）p6：例1,2数值运算的误差估计算法稳定性与病态条件数p11：例6-8作业1、课本（清华版）p19，习题3、4.2、知近似值x1=1.42，x2=-0.0184，x3=184*10-4的绝对误差限均为0.5*10-2，问他们各有几位有效数字。（参见书后答案和课件例题！自己对照！）记住：准确到某位-误差限是该位的半个单位！,是圆周率真实值的近似值，其有3位有效数字。根据误差稳定性原则，在计算等式时应转变成计算。,历年试题分析,2、插值法,线性插值（重）p28：例2抛物线插值拉格朗日插值多项式均差（重）p31：均差表，p32：例题4均差与牛顿插值（重）诶尔米特插值分段线性插值三次样条插值（重）p44：例7与课件中例题的区别,复习题,1、已知，求f(x)的二次拉格朗日插值多项式，并利用该多项式计算的值。（保留三位有效数字）2、已知函数的观测数据为如下表：x123y0-53求Lagrange插值多项式为：,1.构造拉格朗日多项式p(x)逼近f(x)=x3，要求：（1）节点x为-1,1，做线性插值。（2）节点x为-1,0,1，做抛物插值。（3）节点x为-1,0,1,2，做三次插值。,历年考题,复习题,2.给定函数f(x)=x3-4x，试建立关于xi=i+1（i=1.5）的差商表,并列出关于x0,x1,x2,x3的插值多项式p(x)。,历年考题,1、设，取x0=4,x1=9,x2=6.25,则差商-0.0080808。（结果保留5位有效数字）2、给定如下数据：试列出三阶差商表，求出f(x)的三次牛顿插值多项式，并利用该多项式计算f(0)的值。（保留三位有效数字）,复习题,作业题9、构造适合系列数据的三次样条S(x)。x-1013y-1135y6,课件例4已知的函数值如下：x1245f(x)1342,在区间1,5上求三次样条插值函数S(x),使它满足边界条件,3、数值积分,数值积分基本思想代数精度（重）p100：例1插值型求积公式牛顿-科特斯公式（重：辛普森公式。p104）复合求积公式（重：复合辛普森。p108：例3）龙贝格求积公式（重：p110，例5-p112，例6）高斯求积公式（重：p120，例9）,历年考题,1、求积公式的代数精度为3次。2、使用梯形公式计算积分时截断误差为0.6796。（结果保留4位有效数字）3、所有牛顿柯特斯求积公式的系数和均为1。（）,例依次用n=8的复合梯形公式、n=4的复合辛卜生公式计算定积分,解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时，,由复合梯形公式可得如下计算公式：,由复合辛卜生公式可得如下计算公式,（积分准确值I=0.9460831）,这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复合梯形法只有两位有效数字(T8=0.9456909),而复合辛卜生法却有六位有效数字。,龙贝格求积计算步骤,解决用梯形公式计算积分近似值按变步长梯形公式计算积分近似值将区间逐次分半,令区间长度,计算,按加速公式求加速值,梯形加速公式：,辛卜生加速公式：,龙贝格求积公式：,精度控制；直到相邻两次积分值,（其中为允许的误差限）则终止计算并取Rn,请参见P112教材说明，加深理解！,例用龙贝格算法计算定积分要求相邻两次龙贝格值的偏差不超过解:由题意,由于，于是有,4、解线性方程组直接法,高斯消去法（重：p143，例2）列主消元法（重：p148，例4）LU分解平方根法追赶法向量和矩阵范数（重）矩阵的条件数（重）,历年考题,1、给定下述线性方程组用列主元高斯消去法求解该方程组（保留3位有效数字）。（10分）2、,3、给定下述线性方程组试分别用（1）选列主元高斯消去法（保留3位有效数字）（7分）（2）采用Doolittle（杜利特尔）法进行LU分解，（保留3位有效数字）（7分）求解该方程组。,历年考题,5、解线性方程组迭代法,迭代法思想迭代法收敛性（迭代矩阵谱范数r)xt=(a+b)/2;k=k+1;iffx(a)*fx(xt)r)x0=x1;x1=fx(x0);k=k+1;endkx1,k=4x=4.4934,3、给出计算的迭代公式，讨论迭代过程收敛性并证明x=2。,历年考题,历年考题,7、常微分方程