第9章-状态空间分析法.ppt

第九章状态空间分析法,教学目的：了解状态变量、状态空间描述、能观性、能控性、状态观测器教学重点：线性定常系统的能控性、能观性教学难点：状态观测器及其应用授课学时：8,根轨迹法频率法,第9章状态空间分析法,以传递函数或频率特性的形式来描述控制系统的。,操作简单概念清晰分析与计算不复杂,优点：,缺点：（1）传递函数只描述输入与输出的关系，不描述系统内部信息；（2）传递函数只适用于零初始条件下的单输入-单输出定常系统；（3）试凑法-不具有最优性能。,第9章状态空间分析法,9.1状态变量描述9.2传递函数与动态方程的关系9.3线性定常连续系统状态方程的解9.4线性定常离散系统的动态方程式9.5线性定常系统的能控性9.6线性定常系统的能观性9.7对偶性原理9.8状态观测器及其应用9.9李雅铺诺夫第二方法,第一节状态变量的描述,状态、状态变量,状态空间表达式,第一节状态变量的描述,m,第一节状态变量的描述,2、状态变量：由于和表征系统在时刻的状态，故称它们为初始状态变量。,1.状态：系统的状态就是系统过去、现在和将来的状况。表征系统运动的信息。,一、一般概念,第一节状态变量的描述,系统具有记忆功能,结论：已知系统的初始状态和时刻的输入，就能唯一地确定系统未来的状态,为状态向量,第一节状态变量的描述,4、状态空间,状态向量所有可能值的集合称为状态空间。系统在任一时刻的状态都可用状态空间中的一点表示。,5.状态方程,状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量间的数学表达式称为状态方程,第一节状态变量的描述,二、状态空间表达式,n阶系统应有n个独立的状态变量，对应的状态方程是n个联立的一阶微分方程。,设单输入线性定常系统的状态变量为,则其一般形式的状态方程为,第一节状态变量的描述,把上述方程组写成向量矩阵形式为：,式中,A为系统的系数矩阵,b为输入矩阵(控制矩阵）,1、单输入单输出系统的状态方程,第一节状态变量的描述,2、单输入单输出系统的输出方程,系统的输出量与状态变量、输入变量间的数学表达式称为输出方程。,单输出线性定常系统输出方程的一般形式可表示为,它表示系统的输出由两部分所组成：一部分是状态变量的线性组合；另一部分是输入的直接传输。把上式写成向量矩阵式为,C为系统的输出矩阵，对于单输出系统，C为1*n型行向量;D为入直接影响输出的传输系数。,第一节状态变量的描述,3、单输入单输出系统的状态空间表达式,状态方程与输出方程合在一起称为系统状态空间表达式，又称系统的动态方程。,4、状态模型图,单入单出系统的状态图,第一节状态变量的描述,5、多输入、多输出线性定常系统的状态空间表达式,第一节状态变量的描述,多输入、多输出惯性系统的状态空间表达式,第一节状态变量的描述,例9-1已知一RLC电路如图9-4所示，ur和uc分别为电路的输入与输出量。试选择两组状态变量，写出它们对应的动态方程式。,解：由基尔霍夫定律得：,（1）设状态变量,则上式可改写为：,第一节状态变量的描述,表示成向量矩阵形式为：,输出方程为：,（2）设状态变量,则式可改写为：,输出方程为：,第一节状态变量的描述,把上述方程改写为向量矩阵形式为：,由此可知，系统状态变量的选择不是唯一的。显然，对应于不同的状态变量选择，所得到的动态方程也是不相同，但它们都描述了同一系统。,讨论上述所选的两组状态变量间的内在关系,设,则得，,写成向量矩阵的形式,式中,P为非奇异矩阵，通过非奇异矩阵P的变换，可将状态变量x1、x2变换为一组新的状态变量,若变换矩阵P为任意的非奇异矩阵，则可变换出无数多组状态变量和相应的动态方程，从而进一步说明了状态变量选择的非唯一性。为了应用上的方便，通常总优先考虑那些能被量测的物理量为状态变量。,第一节状态变量的描述,终上所述，用状态变量描述系统具有如下的特点：（1）系统的状态变量描述是系统输入、状态、输出诸变量间的时域描述。（2）输入引起系统内部状态的变化是一个动态过程，在数学上用向量微分方程描述。输出方程是一个代数方程。（3）一个系统的状态变量选择不是唯一的，一个n阶系统，只能有n个状态变量，不能多也不能少。（4）由于状态方程是一阶微分方程组，因而适用于计算机求其数值解，或用计算机对系统进行分析研究。（5）对于结构和参数已确定的系统，需要研究如何把已建立的微分方程或传递函数转变为相应的动态方程。,第二节传递函数与动态方程的关系,由动态方程求系统的传递函数,由传递函数列写动态方程,第二节传递函数与动态方程的关系,一、由动态方程求系统的传递函数,设单输入单输出线性定常系统的动态方程为,x为n1型状态向量,A为nn矩阵,b为n1型列向量,C为1n型行向量,y（t）和u（t）为标量,d为直接传输系数,对上式取拉氏变换，得,1、单输入单输出系统,为第i个输出与第j个输入间的传递函数。,例9-2已知系统的动态方程式如下，,求系统的传递函数。,解：,=,-,第二节传递函数与动态方程的关系,-,1、能控标准型实现,（1）传递函数无零点,对应的微分方程为：,-,令,则上述微分方程可改写为下列微分方程组,第二节传递函数与动态方程的关系,系统是输出为：,把上述方程用向量矩阵形式表示为：,式中,第二节传递函数与动态方程的关系,矩阵A：对角线上方的一个元素都为1，最后一行元素是由原微分方程系数的负值构成，其余元素为0。,矩阵b：除最后一个元素不为0外，其余元素均为0。,能控标准型：,矩阵A和b组成的状态方程称为能控标准形。,根据A和b的上述特征，一般只要对微分方程式或传递函数的观察，就能直接写出矩阵A和b及对应的动态方程。,第二节传递函数与动态方程的关系,能控标准形状态图,第二节传递函数与动态方程的关系,例9-3已知一系统的传递函数为,试写出能控标准形的状态空间表达式。,解：根据矩阵A和b的特征，直接写出系统能控标准形的状态空间表达式为：,第二节传递函数与动态方程的关系,由图可得：,其中,由于式没有零点，因而其状态方程为：,第二节传递函数与动态方程的关系,输出方程为：,写成向量矩阵的形式：,第二节传递函数与动态方程的关系,传递函数有零点的状态图,第二节传递函数与动态方程的关系,2、能观标准形实现,某三阶系统传递函数为：,是实现的直接传递部分,由于,因此只要分析,部分的实现即可。,其微分方程为：,对其在非零初始条件下取拉氏变换，求得,第二节传递函数与动态方程的关系,零状态响应,零输入响应,基于零输入响应中s2、s、s0的系数都是初始条件,的线性组合，由此可以,选择这些项的系数作为状态变量，即令,第二节传递函数与动态方程的关系,对上述方程组的最后一式求导，并等号两侧加,于是，得,能观标准形,第二节传递函数与动态方程的关系,上式能观标准形状态图,第二节传递函数与动态方程的关系,若传递函数为,写成其能观标准形动态方程为,第二节传递函数与动态方程的关系,能控标准型和能观标准型关系：,能控标准型的系数矩阵A与能观标准型的系数矩阵A互为转置；能控标准型的输入矩阵b是能够标准型输出矩阵C的转置，而能控标准型的输出矩阵C又是能观标准型输入矩阵b的转置,第二节传递函数与动态方程的关系,3、对角标准型实现,当系统的传递函数只含有相异的实极点时，还可化为对角标准型实现。,设系统的传递函数为：,令,则上式变为,第二节传递函数与动态方程的关系,式中：,则,令,则得,对上式取拉氏变换,第二节传递函数与动态方程的关系,i,或写作,第二节传递函数与动态方程的关系,上述状态方程的状态变量描述有如下特点：,（1）矩阵A对角线上的元素为传递函数的极点，其余元素全为零，各状态变量间没有耦合，彼此是独立的。（2）矩阵b是一列向量，其元素均为1；矩阵C为一行向量，它的元素为W(s)极点的留数。,第二节传递函数与动态方程的关系,对角标准型实现的状态图,第二节传递函数与动态方程的关系,例9-4已知一系统的传递函数为,试求对角标准型实现,解：传递函数的极点为,s1,s,s3,第二节传递函数与动态方程的关系,根据对角标准型实现的上述特点，直接写出动态方程,第三节线性定常连续系统状态方程的解,设线性定常系统的状态方程为,齐次方程的求解非齐次方程的求解转移矩阵的性质转移矩阵计算方法,通过,求取系统的时域响应，求解上式,一、齐次方程的解,当输入时，上述状态方程变为,第三节线性定常连续系统状态方程的解,方程,的解就是系统的零输入响应。,一阶标量齐次微分方程：,若,则该一阶微分方程的解为,解得,第三节线性定常连续系统状态方程的解,因此对于n阶齐次微分方程,的解有与一阶标量齐次微分方程相类似的形式，即,其中,i,为n1型列向量。,将式代入式，得,比较等号两侧同次幂系数相等，求得,第三节线性定常连续系统状态方程的解,当t=0时,=a0,即,于是，x(t)可表示为,第三节线性定常连续系统状态方程的解,式中，,称为矩阵指数函数，又被称为状态转移矩阵，记为,二、非齐次方程的解,当输入时，状态方程,即为非齐次方程，将其改写为,第三节线性定常连续系统状态方程的解,用左乘上式等号的两边，得,e-,e-,经积分求得,-,两边左乘eAt，并整理得,或可写作,其中,第三节线性定常连续系统状态方程的解,零输入响应,零状态响应,若已知t0时刻的初始状态向量为x(t0),则对应的状态转移矩阵变为,上述、式变为,第三节线性定常连续系统状态方程的解,三、状态转移矩阵的性质,第三节线性定常连续系统状态方程的解,四、eAt的计算方法,1、应用拉氏变换计算,取拉氏变换，得,-,对上式取反拉氏变换，得,与,相比，得,-,-,第三节线性定常连续系统状态方程的解,2、利用对角标准型矩阵计算eAt,因此,其中,（1）矩阵A有相异的特征值,第三节线性定常连续系统状态方程的解,根据齐次方程的解为,可知的解为,则,-,-,两侧乘以P矩阵,于是，得,由因为,所以,第三节线性定常连续系统状态方程的解,式中,=,第三节线性定常连续系统状态方程的解,第三节线性定常连续系统状态方程的解,（2）矩阵A有多重特征值,设矩阵A在处有三重特征值，其余的特征值为,均为相异的。则式经过非奇异变换后，变为,令,第三节线性定常连续系统状态方程的解,将,代入,得,第三节线性定常连续系统状态方程的解,将代入得，,则式可表示为,第三节线性定常连续系统状态方程的解,因为,即,则,第三节线性定常连续系统状态方程的解,所以,又因为,则,第三节线性定常连续系统状态方程的解,（3）基于凯莱哈密顿定理的计算方法,如果能将eAt的展开式,简化为一个有限项之和，其计算的工作量就减少了。,根据凯莱哈密顿定理，推导eAt计算的有用公式为,式中，,-,-,为t的标量函数。,-,-,第四节线性定常离散系统的动态方程,由差分方程或脉冲传函求动态方程,线性定常连续动态方程的离散化,定常离散系统状态方程式的解,第四节线性定常离散系统的动态方程,和连续系统一样，离散系统也可以用状态空间法描述，其动态方程为：,式中，X(k)为n维状态向量；u(k)为r维输入向量；y(k)为m维的输出向量；G为nxn型矩阵,一、由差分方程或脉冲传递函数求动态方程,设单输入-单输出线性定常离散系统差分方程的一般形式为:,第四节线性定常离散系统的动态方程,式中，kkT时刻;T采样周期；y(k)kT时刻的输出；u(k)kT时刻的输入。在零初始条件下，对上式取z变换，求得的脉冲函数为：,第四节线性定常离散系统的动态方程,从上式可以看出，离散系统的脉冲传递函数与连续定常系统传递函数形式是完全相同的。因此，连续定常系统由传递函数建立动态方程的各种方法也适用于离散控制系统。,解：（1）能控标准型实现,把脉冲传函改写成有理真分式，即,引入中间变量X(z)，使上式变,第四节线性定常离散系统的动态方程,其对应的框图为,U,由改图得,第四节线性定常离散系统的动态方程,对上式求z反变换，得差分方程,设状态变量为,则,第四节线性定常离散系统的动态方程,将上述方程写成向量矩阵的形式,第四节线性定常离散系统的动态方程,（2）能观标准型实现,根据能控标准型实现，可直接写出该系统能观标准型实现,第四节线性定常离散系统的动态方程,（3）对角标准型实现,则,令,则得,第四节线性定常离散系统的动态方程,写成向量矩阵的形式,第四节线性定常离散系统的动态方程,二、线性定常连续动态方程的离散化,设线性定常连续系统的状态方程为,初始状态为x(t0)，则状态方程的解为,现所求从一个采样时刻t0=kT到下一采样时刻t=(k+1)T的解,因而有,在一个采样周期内u(k)=常量。则上式改写为,记,第四节线性定常离散系统的动态方程,这样离散化后系统的状态方程变为,令,则,是由连续系统状态转移矩阵导出的，即,=,若连续系统的输出方程为,则经离散化后变为,第四节线性定常离散系统的动态方程,三、定常离散系统状态方程的解,1、迭代法,中的k分别为0，1，k-1,就能求得T,2T,kT时刻的状态，即,上式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应,因此，离散系统的状态转移矩阵为,第四节线性定常离散系统的动态方程,将上式代入下式，,得,2.Z变换法,对,取Z变换，得,因此,比较,和,第四节线性定常离散系统的动态方程,则得,例9-8求下列离散系统状态方程的解。,已知,解：,第四节线性定常离散系统的动态方程,因为,根据,第四节线性定常离散系统的动态方程,已知,故,则,第四节线性定常离散系统的动态方程,于是,因而,第五节线性定常系统的能控性,能控性的定义,线性定常离散系统的能控性判据,线性定常连续系统的能控性判据,第五节线性定常系统的能控性,用状态空间表达式描述系统时，通常会涉及到两个问题,（1）在有限的时间内，能否通过施加适当的输入量u(t)将系统从任意初始状态转移到其他指定的状态上去。（2）由于状态变量通常不是个个能被量测的，能否在有限时间内根据对输出y(t)的量测来确定初始状态x(t0),对于上述问题，卡尔曼首先做出了回答，这就是人们所知的能控性和能观性，这两个概念是现代控制理论中的两个非常重要的概念。,第五节线性定常系统的能控性,一、能控性定义,1、已知一系统状态方程为,由图可知，当时，输入U(s)不仅能直接控制状态变量x1的变化，而且还通过x1与x2的耦合关系间接地影响着x2，故系统的状态是能控的。如果d=0,输入u到x2间便没有通路，此时系统为不能控。,第五节线性定常系统的能控性,2、桥形电路,状态变量为x,输入量为u(t)，输出量为y(t),不管输入u(t)如何改变，u(t)引起的电容两端的电位相等，即状态变量x(t)=0,因此，状态变量x是不能控的。,令u(t)=0，不管状态变量初始值x0为任何非零值，输出y(t)恒等于0，因此初始状态x0引起的状态运动不能被y(t)所反映，即状态变量x是不能观测的。,不能控、不能观测,第五节线性定常系统的能控性,能控性定义：,若存在着一个无约束的控制向量u(t)，在有限的时间内，将系统由任意给定的初始状态x(0)转移到状态空间的坐标原点，则称系统的状态是完全能控的，简称系统能控。,二、线性定常离散系统的能控性判据,例9-9已知系统的状态方程为,式中,问能否通过控制量,使系统在第三步（k=2）,上转移到零状态。,第五节线性定常系统的能控性,解：利用迭代法，由状态方程求得,令x(3)=0，如果上式有解，能从式中求出,即,则系统是能控的。,第五节线性定常系统的能控性,把上式改写为,因为,这表示方程式有解，其解为,-,第五节线性定常系统的能控性,离散系统的能控性判据,称为能控性矩阵,例9-10已知一单输入系统的状态方程为：,试判断系统状态的能控性。,-,第五节线性定常系统的能控性,解：因为,则得,故该系统的状态是不能控的。,第五节线性定常系统的能控性,例9-11一系统的状态方程为,判断系统的能控性。,解：因为,所以该系统是能控的。,第五节线性定常系统的能控性,例9-12一多输入三阶线性定常系统的状态方程为,判断系统的能控性。,解：由于H是3*2型矩阵，rank（H）3，因此对能控性的判断还要考察下列矩阵的秩,所以该系统是能控的。,第五节线性定常系统的能控性,三、线性定常连续系统的能控性判据,=,若,则线性定常连续系统就是能控的。,线性定常系统的动态方程为,第六节线性定常系统的能观性,能观性的定义,线性定常离散系统的能观性判据,线性定常连续系统的能观性判据,第五节线性定常系统的能控性,为了使系统具有优良的动态性能，就要求系统的所有的状态变量都能被测量，这一点在工程上难以实现。基于系统的输出是状态变量的线性组合，因此设想能否由输出的量测值来确定系统的状态，这就涉及到系统状态能观性的概念。,虽然系统的输出能被测量，但并不等于由量测到的输出值就能确定系统的状态，只有状态能观测的系统，才能有输出的量测值估计出系统的状态。,一、能观性定义,第五节线性定常系统的能控性,输出y只含有状态变量x2的信息，状态变量x1与输出y之间没有任何直接和间接的关系。因此，不能由Yd量测值来确定状态变量x1,系统的状态是不完全能观的。,第五节线性定常系统的能控性,某系统动态方程为,y与状态变量x1和x2之间虽然有通路，单并不意味着由y的量测值一定能估计出系统的状态变量。,第六节线性定常系统的能观性,根据系统的系