第4章 级数 2

前情提要,复数项级数收敛:实部虚部分别收敛绝对收敛:每项取模,对应的正项级数收敛条件收敛:不绝对收敛的情况下,原级数收敛幂级数收敛圆域收敛半径的求法:类似正项级数的收敛性判断(比值判别法,根植判别法)的过程,然后得到的结果取倒数两个重要级数1/(1-z),R=11/(1+z),R=1倒数型函数的幂级数展开,3泰勒级数,一、解析函数的泰勒展开1、定理12、泰勒级数的收敛半径二、函数展开成幂级数的方法1、直接展开法：例1，例22、间接展开法：例3，例4，例5，例6，例73、常用的泰勒级数,返回,1、定理1(解析圆内的展开),其中：,为内以,为中心的任何一个圆周,这个圆周及其内部包含于D，且展开式唯一。,在D内解析，,设函数,Proof,一、解析函数的泰勒级数展开,为D内一点，R为到D的边界,各点的最小距离，则在内可以展开成幂级数。,一句话:函数在解析圆内可展开为幂级数:,Proof:“存在性”,在内任取一点，由柯西积分定理：,上一页,下一页,又：,所以：,可以证明余项,从而：,上一页,下一页,(详细证明见书P119),“唯一性”反证法：,如果,能展开成另一种形式的幂级数,两边求阶导数，得：,所以：,返回,上一页,2、泰勒级数的收敛半径,的泰勒级数的收敛半径等于,到,的离,最近一个奇点的距离。,收敛圆域为：,如：a，b，c为奇点，则收敛半径为,返回,由定理1可知：若在内有奇点,则在,1、直接展开法：求,解：,返回,二、函数展开成幂级数的方法,f(z)无奇点,例2求在的泰勒级数。,收敛圆域：,返回,本题用间接展开法更好,2、间接展开法（利用已知级数展开）,例2的另一个方法：间接展开法,返回,f(z)的奇点为0,与展开中心点z0=1的距离为1,收敛圆域|z-1|1,例3求在处的泰勒展开。,解：,返回,例4求在处的泰勒展开。,解：,返回,例5求在处的泰勒展开。,解：,收敛圆域,返回,3、常用的泰勒级数,1、,2、,3、,4、,5、,6、,返回,例6将在处展开成泰勒级数,解：,收敛半径为4。,由,得：收敛圆域，,返回,例7：求在处的泰勒展开。,解：,返回,作业,f(z)的奇点为i,与展开中心点z0=0的距离为1,收敛半径R=1,收敛圆域|z-0|1,4洛朗级数,一、洛朗级数的概念1、引例2、定义二、洛朗级数的收敛域1、洛朗级数的收敛域2、定理13、洛朗级数展开的方法4、例题：例1，例2、例3,返回,1、引例,内展开成的幂级数(为奇点,解析),(1),内展开成,的幂级数(奇点,解析）,(2),返回,一、洛朗级数的概念,2、定义,及负幂次项,都收敛，则称洛朗级数收敛，,(1)定义1:展开后有负幂次项的幂级数称为洛朗级数。,返回,否则称洛朗级数发散。,1、洛朗级数的收敛域：,（1）设正幂次项,的收敛半径为R，,则在,即：在,令：,（2）,下一页,设的收敛半径为R1，则在,二、洛朗级数的收敛域,注:r和R的求法,对系数进行排序:,归根结底:内径r和外径R均为前一项除以后一项的极限,（3）分三种情况讨论,返回,上一页,2、定理1(解析圆环内的展开),内解析，则,在圆环域,内可唯一展开成洛朗级数,其中,为圆环内任一闭域的正向，,注：一个用途：,，所以,返回,3、在处展开成洛朗级数的方法,可在如下区域展开：,(如z0不为奇点，此时为泰勒展开式，它为洛朗级数的一个特例),（3）,（4）,（1）,（2）,返回,例1将在下列两点展开成洛朗级数。,解：,为奇点,返回,解：,（泰勒展开）,返回,解：,返回,解：,返回,（2）,以1为中心展开,即展开成的幂级数,不参与展开,分为如下两个区域：,返回,解：,返