初中数学联赛辅导九年级专题二十二--四点共圆

初中数学联赛赛前辅导讲义专题二十二 四点共圆一、知识要点1. 四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆2. 运用有关定理或结论：（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆（3）对于凸四边形ABCD，对角互补四点共圆.（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，四点共圆.（5）割线定理：对于凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P，四点共圆.（6）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD，四点共圆.二、典型例题例1 如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点求证：E、F、G、H四点共圆例2 如图，在ABC中，ADBC，DEAB，DFAC求证：B、E、F、C四点共圆例3 如图，已知ABCD为平行四边形，过点A和B的圆与 AD、BC分别交于 E、F求证：C、D、E、F四点共圆例4 如图，H为ABC的垂心，H1、H2、H3为H点关于各边的对称点求证：A、B、C、H1、H2、H3六点共圆例5 （托勒密定理的逆定理）在凸四边形ABCD中，如果ACBD=AB CD BCAD求证：A，B，C，D四点共圆三、巩固练习（一）选择题1设ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：(1)sinA=sinC；(2)sinA+sinC=0；(3)cosB+cosD=0；(4)cosB=cosD其中总能成立的关系式的个数是( ) A一个 B两个 C三个 D四个2下面的四边形有外接圆的一定是( ) A平行四边形 B梯形 C等腰梯形 D两个角互补的四边形3四边形ABCD内接于圆，A：B：C=7：6：3，则D等于( ) A36 B72 C144 D544如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=AD=AC，AHCD于H，CPBC交AH于P，若，AP=1，则BD等于( ) A B2 C3 D5对于命题：内角相等的圆内接五边形是正五边形；内角相等的圆内接四边形是正四边形以下四个结论中正确的是( ) A，都对 B对，错 C错，对 D，都错（二）填空题6如图2，ABC中，B=60，AC=3cm，则ABC的外接圆半径为 7如图3，ABC中，ACB=65，BDAC于D，CEAB于E，则AED= ,CED= 8如图4，ABC中，AD是BAC的平分线，延长AD交ABC的外接圆于E，已知AB=，BD=，BE=，则AE= ，DE 9如图5，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内一点，且OPB=45，PAPB514，则PB= 10如图6，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中，若AB和BC的长度各为1，那么AD= （三）解答题11如图7，在ABC中，AD为高线，DEAB于E，DFAC于F求证：B、C、F、E四点共圆12如图8，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于F，AB，DC的延长线交于E，EG平分AED交BC于M，交AD于G，FH平分AFB交AB于H，交CD于N求证：EGFH13如图9，AD、BC为过圆的直径AB两端点的弦，且BD与AC相交于E求证：14如图10，O为凸五边形ABCDE内一点，且1=2，3=4，