05 平行四边形2教师2016春季 初二数学自招进度四

平行四边形（平行四边形（2 2） 1 / 9 第五讲 平行四边形（2） 1 平行四边形定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ，用“ ”表示 2 平行四边形性质 性质 1：平行四边形的对边平行 （对边位置关系） 性质 2：平行四边形的对边相等 （对边数量关系） 性质 3：平行四边形的对角相等 （对角数量关系） 性质 4：平行四边形的对角线互相平分 （对角线） 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等 3 平行四边形的判定 判定 1：两组对边分别平行的四边形为平行四边形 （对边位置关系） 判定 2：两组对边分别相等的四边形为平行四边形 （对边数量关系） 判定 3：两组对角分别相等的四边形为平行四边形 （对角数量关系） 判定 4：对角线互相平分的四边形为平行四边形 （对角线） 判定 5：一组 对边平行且相等的四边形为平行四边形 （对边位置+数量关系） 平行四边形（平行四边形（2 2） 2 / 9 【例题1】 填空题 （1） 在平行四边形 ABCD 中，EF 过对角线交点 O，交 CD、AB 于 E、F，若 AB = 4cm，AD = 3cm， OF = 1.3cm，则四边形 BCEF 周长为_ （9.6 cm） （2） 已知平行四边形的面积是 144，相邻两边上的高分别为 8 和 9，则它的周长为_ （68） （3） 在平行四边形 ABCD 中，对角线 BD = 7cm，DBC =30，BC = 5cm，则平行四边形 ABCD 的面积为_ （17.5 2 cm） （4） 从平行四边形的一锐角顶点引另两条边的垂线，两垂线夹角135，则此四边形的四个角分 别为_ （45 ,135 ,45 ,135） 【例题2】 如图，已知，ABCD 中，AE=CF，M、N 分别是 DE、BF 的中点 求证：四边形 MFNE 是平行四边形 证明：由平行四边形可知， 又DAEBCFAECF，,DEBFAEDCFB 又M、N 分别是 DE、BF 的中点， ME=NF， 又由 AB DC，得AEDEDC， ,EDCBFC MENF， 四边形 MFNE 为平行四边形 【例题3】 在ABCD 中， 分别以 AD、 BC 为边向内作等边ADE和等边BCF， 连接 BE、 DF 求证：四边形 BEDF 是平行四边形 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， ,CDAB ADCBDABBCD 又 ADE 和 CBF 都是等边三角形， ,60DEBF AECFDAEBCF， ,DCFBCDBCFBAEDABDAE ()DCFBAE SEADCFBAS ，DFBE， 四边形 BEDF 是平行四边形 平行四边形（平行四边形（2 2） 3 / 9 【例题4】 如图，已知四边形 ABCD 为平行四边形，AEBD于 E，CFBD于 F （1）求证：BE=DF； （2）若 M、N 分别为边 AD、BC 上的点，且 DM=BN，试判断四边形 MENF 的形状 解： （1） 四边形 ABCD 是平行四边形， ,ABCD ABCDABDCDB ,AEBDE CFBDF于于， 90()AEBCFDABECDF AAS ，BEDF （2）四边形 MENF 是平行四边形 证明：有（1）可知：BE=DF， 四边形 ABCD 为平行四边行， ADBC MDBMBD DMBNDNFBNE ,NEMFMFDNEBMFENEF MFNE四边形 MENF 是平行四边形 【例题5】 如图，ADBC， B=C， BC=8， AD=6. 求： （1）AB+DC 的长 （2）AB 和 CD 间 的距离 解：作/CEDA，交BA的延长线于E， /BCDCBE ， 四边形AECD是平行四边形 00 22 ,6 12 190290 10 10 DCAE DACE ADBC BEBCCE ABDCABAEBF ， ， （2）作CFBE于F BE CFCE BC 4.8CF C BA D O 平行四边形（平行四边形（2 2） 4 / 9 【例题6】 如图，分别以 RtABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边ACD、等边ABE 已知BAC= 0 30，EFAB，垂足为 F，连结 DF求证：四边形 ADFE 是平行四边形 证明：易证 RtABCRtEBF AC=EF 在等边ACD 中，DAC= 0 60，AD=AC 又BAC= 0 30，DAF= 0 90，ADEF 又AC=EF，AD=EF，四边形 ADFE 是平行四边形 【例题7】 如图，已知以ABC 的各边为边，在 BC 同一侧作正BCE、正ACF、正ADB， 连 接 DE、EF. 求证：四边形 DAFE 是平行四边形 证：在正BCE和正ACF中， 0 , 1260CFAC CECB FCEACBFCEACB 同理：DBEACB ， DEAC ACAFDEAF EFABABADEFAD ，四边形DAFE是平行四边形 【例题8】 平面上有三个正ABD、ACE、BCF，两两共一个顶点求证：CD 与 EF 互相平分 解：连接 CD，EF，DE，DF ,ABDACEBCF为等边三角形 , 60 BAADBD BFBCFC CECAEA DBAFBCCAEBAD 60 ,60DBAFBCCAEBAD ,DBFABCCABEAD，,DBABDBFABC BFBC DBFABC，DFCA，CACE，DFCE， ,CAEACABEAD BADA，CABEAD，BCDE，BCFC， DECF，,DFCE DECF 四边形 CEDF 为平行四边形 EF 与 CD 互相平分 平行四边形（平行四边形（2 2） 5 / 9 F E D C B A 【例题9】 如图，已知：AD是ABCRt斜边BC上的高，B的平分线交AD于点E，过点E作 BCEF /，交AC于点F，求证：CFAE 证：在OD或延长线上取OBOD ，则四边形ABCD是 ADCABCCAD 若 D在OD上，则 ADCCAD 若D在OD延长线上，则ADCCAD矛盾 D与D重合 四边形ABCD为 【例题10】 在平行四边形ABCD中，6AB，8AD，B是锐角，将ACD沿对角线AC折 叠，点D落在ABC所在平面内的点E处，如果AE过BC的中点，求平行四边形ABCD的面积； 解：设：BC的中点为F，由翻折知：ACEACD 8AEAD，6CECD，CAECAD 易证： 1 2 AFCFBC，则90BAC 22 2 7ACBCAB， 12 7 ABCD SAB AC。 【例题11】 已知，凸四边形ABCD中，/ABCD，且ABBCCDAD， 求证：凸四边形ABCD为平行四边形 证：延长CD到E，使DEAD，连结AE，延长AB到F，使BFBC，连结CF， ABBCCDAD，ABBFCDDEAFCE，又ABCD， 四边形 AFCE为平行四边形，EF， 2,2ABCBCFFFADCDAEEE ， ABCADC ABCD，180ADCDAB， 180ABCDAB，ADBC， 四边形ABCD是平行四边形。 平行四边形（平行四边形（2 2） 6 / 9 H P R F Q E D CB A A F E D C B 【例题12】 如图：已知：ABC的三条高AD、BE、CF交与点H，分别过ABC的三个顶点作 对边的平行线交与P、Q、R，求证：HPHQHR 证：易证平行四边形APBCAPBC，同理AQBC， APAQ，易证ADPQ，即DA垂直平分PQ， HPHQ，同理HQHR HPHQHR 【例题13】 如图，在平行四边形ABCD中，AECF，求证：AOBCOB； 解：连结,BE BF，过点B作BMAE于M，BNCF于N， 易证 1 2 ABECFBABCD SSS AECF，BMBNAOBCOB。 【例题14】 已知：ABCD中，以BC、CD为边分别向形内作等边FBC和等边DCE 求证：AEF是等边三角形 证：易证,ECEDCDAB BCFBADADEABF， ADEFBCEAAF， 6060BCFECDECFBCDECFBCD 120ECFBCD 180 ,ABFFBCBAD60180ABFBAD 120ABFBADECFABF， 可得ABFECFEFAF EFAFEAAEF是等边三角形、 AB C D E F O 平行四边形（平行四边形（2 2） 7 / 9 【例题15】 在四边形 ABCD 中，ABCD，以 AC，AD 为边做一个ACED联结 BE，DC 的延长线 交 BE 与 F，求证：EF=FB 【例题16】 已知：ABCD的周长为 52， 自顶点 D 作DEAB，DFBC， EF 为垂足， 若 DE=5， DF=8，求 BE+BF 平行四边形（平行四边形（2 2） 8 / 9 【作业1】 平行四边形周长等于 68cm，被两条对角线分成两个不同的三角形的周长和等于 80cm， 两对角线的长度之比是 23，求两条对角线的长度 解：设一条对角线长为 2a，则另一条对角线长为 3a 平行四边形周长等于 68cm，相邻两边的长为 34cm， 34+2a+3a = 80，解得 a = 9.2， 2a = 18.4，3a = 27.6 【作业2】 如图，已知在等边ABC 中，CD=BF， 以 AD 为边作等边AED. 求证：四边形 CDEF 是平行四边形 证：ACDCBF 0 12 314 32460 ADCF ADDE CFDE 0 60 3 / / ADE ADE CFDE 又 【作业3】 如图，已知在ABCD中，E、F 是对角线 BD 上的两点，BE=DF，点 G、H 分别在 BA 和 DC 的延长线上，且 AG=CH，连接 GE、EH、HF、FG （1）求证：四边形 GEHF 是平行四边形； （2）若点 G、H 分别在线段 BA 和 DC 上，其余条件不变，则（1）中 的结论是否成立？ 解： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ,ABCD ABCD，GBEHDF 又AG=CH