第5章-机械振动分析.ppt

2020/6/14,第2篇机械振动机械波,机械振动机械波,2020/6/14,第5章机械振动,5.1简谐运动5.2简谐运动的旋转矢量表示法5.3单摆和复摆5.4振动的能量5.5简谐运动的合成5.6阻尼振动受迫振动共振,内容提要,2020/6/14,振动:,任何一个物理量(物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近的反复变化.,机械振动:,物体在一定位置(中心)附近作的周期性往复运动.,简谐运动:,是最基本、最简单的振动.,振动的分类:,受迫振动,自由振动,阻尼自由振动,无阻尼自由振动,无阻尼自由非谐振动,(简谐运动),无阻尼自由谐振动,2020/6/14,5.1简谐运动,5.1.1简谐运动的特征及其运动方程,弹簧振子理想模型,令:,2.简谐运动的动力学特征:,1.简谐运动的基本依据:,由牛顿第二定律:,2020/6/14,3.简谐运动的动力学微分方程,微分方程的解：,振动表达式(简谐运动位移),任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足简谐运动的微分方程，或遵从余弦(或正弦)规律，则广义地说，这一物理量在作简谐运动.,4.简谐运动的运动学方程,2020/6/14,5.简谐运动的速度与加速度,2020/6/14,5.1.2简谐运动方程中的三个基本物理量,1.角频率:,2秒内往复振动的次数.,单位：弧度/秒(rads-1),完成一次完整的振动所需要的时间.,周期T:,单位时间内所完成的振动次数.,频率：,单位：赫兹(Hz)(s-1),2020/6/14,2.振幅A:,描述物体振动强弱的物理量(离开平衡位置的最大位移，取绝对值).,单位：m、cm、mm、nm,t=0时的相位，与初始条件有关；,3.初相位、相位和相位差,初相：,描述质点在t时刻振动状态的物理量.,相位t+：,相位差：,则相位差:,设有同频率两振子的振动方程分别为:,单位：弧度（rad）,2020/6/14,同相和反相,当=2k,(k=0,1,2,),两振动步调相同,称同相.,当=(2k+1),(k=0,1,2,),两振动步调相反,称反相.,超前和落后,若=2-10,则称x2比x1超前(或x1比x2落后).,超前、落后以-0,2020/6/14,(2),(3),2020/6/14,5.3单摆和复摆,5.3.1单摆,小球受力矩：,根据转动定律:,化简得:,为振动角位移振幅为0,单摆的振动是简谐运动.,结论：,2020/6/14,5.3.1复摆,刚体受力矩：,根据转动定律:,化简得:,复摆的振动是简谐运动.,结论：,为振动角位移振幅为0,2020/6/14,5.4简谐运动的能量,振子势能：,振子动能：,系统的总能量：,取振子在平衡位置时的势能为零,则：,2020/6/14,讨论：,(1)振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变.,(2)位移最大,势能最大,但动能最小,在振动曲线的峰值;位移为0,势能为0,但动能最大,在振动曲线的平衡位置.,2020/6/14,5.5简谐运动的合成,5.5.1同方向、同频率的两个简谐运动的合成,1.分振动:,2.合振动:,2020/6/14,讨论:,(1)若两分振动同相,即21=2k(k=0,1,2,),(2)若两分振动反相,即21=(2k+1)(k=0,1,2,),当A1=A2时,A=0.,则A=A1+A2,两分振动相互加强;,则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱;,当A1=A2时,A=2A1.,结论：,合振动x仍是简谐运动.,合振动振幅不仅与两分振动的振幅有关,与相位差也有关.,2020/6/14,旋转矢量法处理简谐运动的合成,2020/6/14,两个同方向同频率简谐运动的合成演示,2020/6/14,5.5.2同方向、不同频率两个简谐运动的合成拍,1.分振动:,2.合振动:,当时,当时，,A有最大值,A有最小值,结论：,合振动x不再是简谐运动.,2020/6/14,当21时,2-12+1,令,其中,随t缓变,随t快变,振幅相同、同方向不同频率的简谐运动的合成,2.合振动:,1.分振动:,合振动x可看作是振幅缓变的简谐运动.,结论：,2020/6/14,x,x2,x1,t,t,t,3.拍的现象,:振动出现时强时弱的现象.,2020/6/14,由于振幅总是正值，余弦函数的绝对值以为周期,即合振动振幅变化的周期：,拍频:单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即,2020/6/14,2020/6/14,*5.5.3相互垂直的简谐运动的合成,1.相互垂直的同频率简谐运动的合成,1)分振动:,2)合运动:,讨论,当=2-1=k(k为整数)时:,当=(2k+1)/2(k为整数)时：,2020/6/14,=0,(第一象限),=/2,=,=3/2,(第二象限),(第三象限),（第四象限）,2020/6/14,两个相互垂直的同频率简谐运动的合成演示,2020/6/14,2.相互垂直的不同频率简谐运动的合成,两个互相垂直、不同频率的简谐运动的合成时，如果它们的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状与频率比和相位差有关，这种图形叫做李萨如图.,两个相互垂直的不同频率简谐运动的合成演示,2020/6/14,5.6阻尼振动受迫振动共振,5.6.1阻尼振动,为阻尼系数,由牛顿第二定律:,称为阻尼因子,动力学方程：,微分方程的特征方程为：,2020/6/14,1.小阻尼情况:阻力很小,方程解：,周期:,(2)阻尼越大，减幅越迅速;,(1)阻尼较小时，振动为减幅振动，振幅随时间按指数规律迅速减少;,结论：,(3)振动周期大于自由振动周期.,2020/6/14,2.过阻尼情况：阻力很大,阻尼较大时，振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动.,结论：,2020/6/14,此时为“临界阻尼”的情况，是质点不作往复运动的一个极限.,3.临界阻尼情况:,结论：,2020/6/14,5.6.2受迫振动共振,1.受迫振动,系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动.,(1)策动力:,周期性的外力.,(2)振动规律:,物体受力：,恢复力,+阻力,+策动力,由牛顿第二定律：,令：,2020/6/14,在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，为:,其中:,第一项为暂态项，经过一段时间以后趋向于零，,为积分常数，由初始条件确定；,第二项为稳定项，,即:,代入原方程求得:,2020/6/14,(1)受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成;,(2)经一段相当的时间后，阻尼振动为零;,(3)其周期为策动力的周期，振幅、初相位不仅与初条件有关，而且与策动力的频率和力幅有关.,结论：,2020/6/14,2.共振：,当策动力的频率接近于固有频率时，受迫振动的振幅达到最大值的现象.,共振频率：,共振振幅：,阻尼系数越小，共振角频率越接近于系统的固有频率，同时共振振幅也越大.,结论：,2020/6/14,2020/6/14,情景再现,1940年7月1日，桥龄仅4个月的美国Tocama大桥在一场不算太强的大风中坍塌。风产生的周期性效果导致大桥共振，大桥在风中坚强的摇曳了近一天，最终轰然坠下,2020/6/14,第五章机械振动小结,5.1简谐运动5.2简谐运动的旋转矢量表示法5.3单摆和复摆5.4振动的能量5.5简谐运动的合成5.6阻尼振动受迫振动共振,内容提要,2020/6/14,1.振动表达式,2.简谐运动的速度与加速度,3.简谐运动方程中的三个基本物理量,振幅：,初相位：,4.振幅和初相位的求法,2020/6/14,5.旋转矢量表示法,模为简谐运动的振幅.,旋转矢量,角速度为简谐运动的角频率.,与x轴的夹角(t+)为简谐运动的相位.,t=0时，与x轴的夹角为初相位.,6.单摆,7.复摆,7.简谐运动的能量,2020/6/14,8.同方向、同频率的两个简谐运动的合成,9.同方向、不同频率两个简谐运动的合成拍,拍频:,(1)若两分振动同相,即21=2k(k=0,1,2,),(2)若两分振动反相,即21=(2k+1)k=0,1,2,),则A=A1+A2,两分振动相互加强;,则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱;,2020/6/14,例:,两个同方向的简谐运动曲线(如图所示),(1)合振动的振幅;(2)合振动的