第二讲式-代数式与不等式

中学代数研究第二讲 式、代数式与不等式用字母表示数，数学研究的对象便从数扩展到式。式本身不仅是代表数的符号，也是表明对于数和字母按怎样的次序进行什么运算的符号。按照一定的数学法则，把数学符号连接起来的符号串，我们称之为数学式。数学式是数学研究的基本对象。一、数学符号简史古代数学涉及的抽象概念很少，也很少利用抽象符号。欧几里得几何原本就不使用数学符号。中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，包括使用0，也大量求解方程，但是因为计算过程依赖于算筹，所以也没有使用小数点、分数和其它运算符号，0只是一个空格。公元10世纪左右的阿拉伯数学，用文字代表数，使得数和文字可以实行运算，并借此求未知数，这是一项重大贡献，但是他们仍然以文字表述为主。最早使用“+”“-”表示加减的是15世纪的德国数学家。现存于德累斯顿图书馆的数学手稿（1486年）中，首见此符号。1631年，英国数学家奥特雷德在数学之钥一书中使用“”表示乘法，而1698年莱布尼茨在一封信中使用“.”表示乘法，这样可以避免“”和字母混淆。除法的记号“”在1659年由瑞士人雷恩引入。等号是英国数学家雷科德于1557年在励智石一书首先使用。表示方程的符号，世界各国很不相同，可以说五花八门。19世纪末20世纪初国际交往的扩大，终于有了比较统一的国际通用的数学符号。中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符号使用上拒绝和国家接轨。1897年京师同文馆数学大考题中的两则考题：详见中学代数研究1859年代微积拾级出版算起，取代天、地、人、元的过程，前后经历了半个世纪之久。二、数学符号语言代数式自学中学代数研究三、字母表示数自学中学代数研究四、解析式解析式用运算符号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的数学式。代数式：只含有加、减、乘、除四则运算和有理数次的乘方开方运算的解析式。超越式：解析式中如果除了代数运算之外，还有超越运算，称之为超越式。代数式中不含开方运算的称为有理式，否则称为无理式。整式整式（多项式）是一个数域，称为数域上的多项式，其中称为多项式的项，称为项的系数，变数字母所取的数值都属于数域，都是非负整数。各个系数都等于零的多项式称为零多项式。零多项式的值总是零。多项式的次数对于非零多项式，中的最大的非负整数值称为这个多项式的次数。多项式恒等数域上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字母的所有取值，这两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。定理：以标准形式给出的两个多项式恒等的充分且必要的条件是这两个多项式的对应项分别是具有相同系数的同类项。（待定系数法的理论依据）例 求证是一个完全平方式的充分必要条件是，并且都是非负实数。证（必要性）如果，那么由此可得：因而都是非负实数，并且。（充分性）如果都是非负实数，并且，那么分式有理分式两个多项式的比称为有理分式，也可简称为分式。有理分式的定义域在已知数域内，任意一组使分式的分母不为零的自变数值，使分式有一个完全确定的值与它对应，所有这样的自变数值组的集合称为这个分式的定义域。例 化简解将原式各项通分，得到公分母，分子显然，当时，。因此可以断定能被整除。同理可知，能被所含有的每一个二项式因式整除。如果以的所有二项式因式的积除，可得，这里是零次多项式。设代入的两个表达式，得到，于是，从而原式化简为。根式算术根次幂等于的非负实数，称为数的次算术根，并记作，其中称为根指数，称为被开方数。最简根式如果根式的被开方数的指数和根指数是互质的，被开方数的每一个因式的指数都小于根指数，并且被开方数不含有分母，那么称这个根式为最简根式。例 化简解因为，所以，。因为，所以，是符号相同的数。由；得 可知，当时，原式； 当时，原式； 当，并且时，原式； 当，并且时，原式。指数式与对数式指数式定义1如果，规定。定义2，这里的。定义3，这里的定义4，这里的，是任何正有理数。定义5当是正无理数，是正实数，分别是的精确到的不足近似值和过剩近似值时，规定数列的共同极限是的无理数指数幂，记作，即定义6当是正无理数，是正实数时，规定。对数式定理（对数存在定理）：如果正实数不等于1，那么对于任一给定的正实数，有唯一的实数，使的次幂等于，即。定义如果不等于1的正实数的某次乘方的幂等于正实数，那么称这个幂的指数是以为底的的对数。三角式与反三角式在初等数学中，三角函数由几何性质给出定义，但研究由三角式与反三角式给出的解析式主要是运用代数的方法，并且着重于三角式与反三角式的恒等变形。三角式在初等数学中，三角函数的定义是用几何方法建立起来的，它仅仅给出了自变数的取值与三角函数值的对应，而不能给出直接由自变数的值计算三角函数值的公式。在数学分析教程中，用泰勒公式可将三角函数展开为幂级数。事实上，三角式的概念及其运算关系的建立并不依赖于几何的解释。定义对于实数，符号称为解析余弦，称为解析正弦，其中反三角式对于实数，如果，并且，那么表达式分别称为反正弦、反余弦。等式两个解析式用等号连接起来的式子称为等式：等式可以分为两类：恒等式和条件等式。当不定元取一切有意义的数值时，等号两边的解析式都取相同的值，称之为恒等式，也称之为绝对等式。当一个等式，只在不定元取某些特殊的数值时才成立，称之为条件等式。不等式两个解析式用不等号连接起来的式子称为不等式：不等式可以分为两类：绝对不等式和条件不等式。当不定元取一切有意义的数值时，不等式恒成立，称之为恒不等式，也称之为绝对不等式。当一个不等式，只当不定元取某些特殊的数值时才成立，我们称之为条件不等式。（补充）不等式基本性质不等式具有如下的基本性质定理1（传递性） 若，则。定理2（三歧性） 若中有且只有一个成立。定理3 若，则推论1 可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边。推论2 若，则。推论3 若，则。定理4 若，则当时，；当时，。推论1 若则。推论2 若则。推论3 若，整数，则。推论4 若，整数，则。定理5 设，则的充要条件是；的充要条件是或。定理6 ，其中等号当且仅当时成立。推论1 推论2 五、绝对不等式的证明l 用放缩法证明不等式利用放缩法证明不等式的关键是寻找中间变量，使成立，在量与之间架起一座桥梁，通过桥梁的过渡，使与之间间接地建立起不等关系。例 已知为正整数，试证：分析由不等式，得将这个同向不等式相乘得故，证毕。l 构造函数证明不等式某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看成自变量构造恰当的函数，利用函数的某些性质来证明不等式。利用构造函数证明不等式关键是构造恰当的不等式。例 已知，求证：分析从不等式的结构来看，易构造函数，易证在上是增函数。因为，所以。从而有l 构造几何图形证明不等式如果说不等式中的抽象的数量关系能用图形表示，利用图形的几何性质即可证明不等式。例 设，求证：分析从左式四个表达式特征可以看出，它们表示两点间的距离。故可构造点四边形为正方形，令点坐标为，则由三角形的性质得所以， 即。l 反证法在不等式证明中的应用反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明中也有广泛的应用。用反证法证明不等式，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的。例 已知，求证：中至少有一个不小于。分析此题从正面解决比较困难，可用反证法，假设结论不成立，即都小于，则由于得此式与矛盾，这说明假设不成立，故原命题成立。六、条件不等式的求解l 分类讨论例 为自然数，解关于的不等式：分析此不等式比较复杂，不仅含有参数，还有自然数。先把此不等式化简，再对参数进行讨论。不等式化简为：对进行讨论：当为偶数时，原不等式转化为当为奇数时，原不等式转化为下面再对进行讨论，由于为对数的底，故当时，不等式变为不等式组当时，不等式变为不等式组l 用几何方法求解不等式如果不等式的结构可以通过某种方式与图形建立起联系，则可设法构造图形，将不等式所表达的抽象的数量关系转化为图形加以解决。例