第十章-多元函数积分学中的基本公式及其应用

第十章 多元函数积分学中的基本公式及其应用10.1平面上的单连通区域与区域的正向边界10.1.1单连通区域的定义设为平面区域，如果内任意闭曲线所围部分都属于，则称为平面单连通区域,否则称为平面复连通区域.注：平面区域是道路联通的(平面区域上的任意两点，存在曲线连接两点，且曲线上任意一点都属于平面区域)，但不一定是封闭的.例：如图10.1为平面单连通区域，如图10.2为平面复连通区域. 图10.1 图10.2 图10.310.1.2平面区域的正向边界的定义如图10.3，设平面区域，是的边界，的正向定义如下：当观察者沿着这个方向行进时，内在它附近的那一部分总在他的左边.10.2多元函数积分学中的基本公式格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了对坐标的曲线积分与二重积分、对坐标的曲面积分与三重积分和对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分之间的联系.其中格林公式是斯托克斯公式的特殊情形.10.2.1格林公式(1)格林公式的定义设平面上的有界闭区域是由分段光滑曲线围成，函数，在内有连续的一阶偏导数，则：,其中是有界闭区域的正向边界曲线.(2)格林公式的证明首先分析任何一条平行于轴或轴的直线最多与边界分段光滑曲线有两个交点的特殊闭区域.显然这种类型的闭区域有两种表现形式：如图10.4，； 如图10.5，. 图10.4 图10.5 图10.6由，同理，那么，在这种特殊区域下得证.如图10.6，若区域不满足以上特殊区域条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合特殊区域条件，仍可证明格林公式成立.【例10.1】求，其中是为由点到点以原点为圆心的左半圆周.分析：如果用关于的方程把直接化为一元函数积分求解会有些困难，所以可以试图建立一个封闭曲线，利用格林公式求解.解：构造辅助有向直线段：(),记有向直线段与有向曲线段围成的区域为,，.10.2.2高斯公式(1)高斯公式的定义设空间有界闭合区域，其边界为分片光滑闭曲面，函数，及其一阶偏导数在上连续，则：，其中边界指向区域的外部.(2)高斯公式的证明首先分析任何一条平行于轴、轴和轴的直线最多与边界的分段光滑闭曲面有两个交点的特殊闭区域.显然这种类型的闭区域有三种表现形式：如图10.7，类似的，类似的，.由，又因为：，其中是以闭区域的边界曲线为准线，母线平行于轴的柱面上的一部分. 所以有，同理：，,那么，在特殊闭区域下得证.若区域不满足以上特殊区域条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点超过两点时，可在区域内引进一个或几个辅助曲面把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合特殊区域条件，仍可证明高斯公式成立.【例10.2】求，其中是由椭球面的外侧.分析：通过曲面的表达式化为二重积分计算有些困难，若把积分记为，显然有： (),所以用高斯公式会简单些.若椭球面围成的区域记为，它包含，而，在处无定义，因而不能再上直接引用高斯公式.所以需要建立一个以原点为圆心，为半径方向向外的辅助球面（位于内）,在利用高斯公式求解.解：设所围成的区域记为,和所围成的区域记为，则：由于在区域内，10.2.3斯托克斯公式(1)斯托克斯公式的定义如图10.8，设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的方向侧符合右手规格，函数，在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则：(2)斯托克斯公式的证明首先分析平行于轴的直线与分片光滑的有向曲面相交不多于一点的特殊情形.设，方向取上侧，分片光滑的有向曲面在上的投影为，边界曲线记为，方向为正向.根据和方向侧为上侧，曲面在任意点处的单位法向量为：，其中、和分别为法向量与轴正向、轴正向和轴正向的夹角.，同理，那么，在特殊情形下有：.若有向曲面不满足以上特殊情形，即平行于轴的直线与分片光滑的有向曲面相交多于一点时，可在有向曲面上引一组或几组辅助线和面把它分划成几个部分曲面，使得每个部分曲面适合特殊情形，仍可证明斯托克斯公式成立.【例9.3】计算，其中是平面被三坐标面所截出的三角形的整个边界，它的方向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手法则.解：如图10.9，根据斯托克斯公式得：，其中是由所围成的平面.如图10.10，同理，则.10.3平面上曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题10.3.1平面上曲线积分与路径无关的定义设是平面上的一个区域，函数和在内连续.若对内任意两点，及内从点到点的任意两条分段光滑曲线,等式恒成立，称曲线积分在内与路径无关，只有起点有关.10.3.2平面上曲线积分与路径无关的等价条件(1)等价条件设是平面上的一个区域，函数和在内连续：若对内任意两点，及内从点到点的任意两条分段光滑曲线,等式恒成立.在内存在函数，使得.若函数和在包含的单连通区域内有一阶连续偏导数，使得.对内任意分段光滑闭曲线,.(2)等价条件的证明下面由条件证明得到条件：设为某一定点，为内任意动点，函数，则点由到，函数偏增量为：，因为在曲线积分与路径无关，所以,又因为直线段平行与轴，所以，其中.根据在内连续，于是有：，同理，所以.再由条件证明得到条件：因为，且函数和在包含的单连通区域内有一阶连续偏导数，所以.再由条件证明得到条件：设任意曲线围成的闭区域为,根据格林公式有：.再由条件证明得到条件：如图10.11，设任意曲线经过两固定点和,则：,所以(等同于条件).综上，根据的循环证明，以上四个条件等价.【例9.4】证明积分与曲线路径无关，其中曲线在区域上.解：设,，因为区域为平面复连通区域，且和在处无定义，所以必须求出一个原函数，使得，因为为连续函数，所以一定存在原函数,使，即一定存在原函数，使得.【例9.5】设，求，使.解：方法