集合及其表示

上海市剑青教育中心由教学研究专家和中学一线教师组成强大的师资队伍由考试研究专家精心打造训练材料，为全面提高上海市中小学生的各科成绩服务1.1集合及其表示（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素（3）元素对于集合的隶属关系（4）集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可在时称属于，即a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q“”的开口方向，不能把aA颠倒过来写不在时称，不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作互异性：集合中的元素没有重复无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 2、集合的表示方法：（1）列举法：在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况：元素个数少且有限时，全部列举；如1，2，3元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。如“所有从1到10000的自然数全体”可以表示为1，2，3，10000；三是当元素个数无限但有规律时，也可以用类似的省略号列举，如：自然数构成的集合，可以表示为0，1，2，3，4，称端省略列举。描述法它又可细分为文字描述及属性描述法两类：前者是在大括号内用文字写出集合的属性，由于括号本身含有了“所有”、“全部”的意义，故类似的量词要去掉，如：全体自然数构成的集合写成自然数而不写成全体自然数：特征描述法是集合中最广泛、最抽象的一种表示方法，其格式一般为元素的一般形式|元素的特征，如：(x,y)|y=x2,xR=抛物线y=x2上的点，而y|y=x2,xR表示函y=x2的y的取值范围；方程x2-1=0的解集为x|x2-1=0=-1,1,不是x2-1=0（它仅仅是用列举法表示的一个集合，这个集合中只有一个元素，就是方程x2-1=0,不是它解的集合。（3）图示法一是一维数轴表示，如初中阶段所学的不等式解集表示方法，其原理是数轴的定义与数轴上的点与实数一一对应；二是直角坐标表示，如（x,y）|y=x2 ;三是Venn图，即画个圆圈表示集合（有的书上称文氏兔、文斯图）；（4）符号表示法分为简记符号法及区间表示法：常用数集及记法非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+ 整数集：全体整数的集合记作Z , 有理数集：全体有理数的集合记作Q , 实数集：全体实数的集合记作R不含任何元素的集合称空集，符号为注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3，集合的分类： 按元素的个数分作4集合的有关概念：确定性，互异性，无序性5集合的表示其实，在符号表示法中还有一种方法区间表示法集合区间 读法 x|axb (a,b)开区间a到b x|axb 半开半闭区间a到b x|axb a,b闭区间a到b x|xa (-，a) 开区间负无穷到a x|axb 半开半闭区间a到bx|xb 半闭半开区间b到正无穷 2，同一集合不同的表示方法是相同的，具体解题时，这些表示方法中，将难于看出元素是什么的转化为能够看出的，这样有：数学解题的关键也是这“四化”【当堂训练】1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5 2、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是 3、由实数x,x,x,所组成的集合，最多含（ ） （A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素4、设集合G中的元素是所有形如ab（aZ, bZ）的数，求证： (1) 当xN时, xG; (2) 若xG，yG，则xyG，而不一定属于集合G5、已知集合A=a-2,2a2+5a,10,且-3A,求a6、已知集合1,a,b=a,a2,ab,求实数a,b7、m,m+d,m+2d=m,mq,mq2,求q 8、已知集合A=x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0,xR中仅有一个元素，求实数a的值9、已知S是满足下列两个条件的实数构成的集合：1S;若aS，则S. 请回答下列问题若2S,求证S必有另外两个数；求证，若aS，则1-S； S中元素能否只有一个？说明理由；求证：S中至少有三个不同的元素【家庭作业】1、用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x2-9=0的解组成的集合;(4)15以内的质数;(5)x|Z,xZ.2. 用列举法表示下列集合:(1)x2-4的一次因式组成的集合;(2)y|y=-x2-2x+3,xR,yN;(3)方程x2+6x+9=0的解集;(4)20以内的质数;(5)(x,y)|x2+y2=1,xZ,yZ;(6)大于0小于3的整数;(7)xR|x2+5x-14=0;(8)(x,y)|xN且1x4,y-2x=0;(9)(x,y)|x+y=6,xN,yN.3. (1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(x,y)来表示,其特征是满足y=x2;(2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x来表示,把不等式化为xa的形式,则这些实数的特征是满足x6;(3)不等式x-73的解是x10,则不等式x-73的解集表示为x|x10.4. 答案：(1)、(x,y)|2x+y=5;(2)、x|0x3;(5)、(x,y)|xy0;(6)、(x,y)|;(7)、x|x=2k-1,kN*;(8)、(x,y)|xR,y=0;(9)、x|x=2k,kN;(10)、x|x=3k,k