第4章---命题(二).ppt

,复合命题形式的真值表,（0）pp（1）（pq）pq（2）（pq）pq（3）（pq）pq（4）（pq）pq（5）（pq）pq（6）（pq）pq（7）pqpq（8）pqpq（9）pqpq(10)pqpq(11)pqqp(12)pqqp(13)pqqp(14)pqqp(15)(pq)pq(16)（pq）pq(17)pq(pq)(pq)(18)(pq)(pq)(pq)(19)pq(pq)(pq)(20)(pq)(pq)(pq),第四章命题（二）本章主要介绍复合命题的基本知识。什么是复含命题？复合命题就是自身含有其他命题的命题。例如：“只有某甲年满18岁，某甲才有选举权。”就是一个复合命题。它含有两个简单命题“某甲年满18岁”和“某甲有选举权”。复合命题有两个基本的组成部分，即支命题和逻辑联结词。支命题就是组成复合命题的命题。上例中的“某甲有选举权”和“某甲年满18岁”都是支命题。逻辑联结词就是将支命题联系起来构成复合命题的逻辑概念。上例中的“只有才”就是一种逻辑联结词。复合命题的类型是由逻辑联结词的性质决定的，不同的逻辑联结词构成不同的复合命题。根据逻辑联结词的不同性质，将复合命题划分为联言命题、选言命题、假言命题和负命题四个基本类型。,第一节联言命题联言命题就是断定几种事物情况都成立的命题。例如，“太阳是恒星，并且地球绕太阳转”就是一个联言命题。它断定“太阳是恒星”和“地球绕太阳旋转”这两种事物都情况都成立。又如，“小张不出席大会而参加小组讨论”也是一个联言命题，它断定“小张不出席大会”和“小张参加小组讨论”这两个事物情况都成立。对于有两个支命题的联言命题，若用命题变项符号p、q分别表示它的两个支命题，则该联言命题的形式可写作“p并且q”，或者写作：pq联言命题的支命题，叫作联言支。符号“”称作合取词，它是用来表示联言关系的逻辑联结词。pq可读作“p并且q”、“p且q”、“p而且q”、“p与q合取”等等。,在汉语中，联言命题的逻辑联绪词具有多样的表达方式。除“并且”、“而且”等以外，“不但而且”、“虽然但是”“既又”、“还”、“也”、“和”、“与”等语词都能表达联言命题的逻辑联结词。例知：人民不但创造了物质财富，而且创造了精神财富。老张虽然自己有病，但他经常照顾别人：此人不学习还反对别人学习。我们爱好文学，也爱好科学。这些句子虽然表达的语法结构不同，有些表达方式在语气方面存在着明显的差异，表现了说话者的某些倾向和情感因素等等但它们的逻辑结构却是一样的，即都具有pq的形式。因为逻辑研究只是对语言材料一种形式的抽象，它关注的是断定的意义而不是语句在其他表达上的意义。以上这些语句有一个共同点，都是同时断定几个情况成立，因而都表达联言命题。,一个联言命题既然断定几种情况都成立，那么，它就是断定自身包含的那些支命题（即联言支）都真。因此，一个联言命题的真假是由它的支命题的真假决定的。当一个联言命题的全部联言支都为真的时候，这个联言命题是真的；而当它的联言支有一个为假或全部为假时，这个联言命题就是假的。例如，（1）地球是椭圆的而且是运动着的。（2）地球是椭圆的而且是静止的。（3）地球是方的而且是运动着的。（4）地球是方的而且是静止的。例（1）是一个真实的联言命题，因为它的两个联言支都是真命题。例（2）、例（3）和例（4）显然都是虚假的联言命题，因为它们都含有虚假的支命题。,联言命题与它的支命题之间的这种假制约关系可用真值表显示如下：联言命题形式的真值表,合取词满足交换律，pq与qp具有完全相同的真假值：pqqp合取词也满足结合律，(pq)r与p(qr)具有完全相同的真假值：(pq)rp(qr)合取词是一个二元联结词，即使用一个合取词能够而且只能联结两个支命题。但在一个联言命题中可以含有两个或两个以上的合取词，因此，联言命题还可以有三个或三个以上的支命题。例如：鲁迅不但是一个伟大的思想家，而且是一个伟大的文学家和一个伟大的革命家。这是有三个联言支的联言命题，其形式可写作：pqr,pqr的真假由p、q、r的真假情况决定，为构造pqr的真值表，可先确定由其中任意两个肢命题形式组成的联言命题形式的真值，然后再通过所求出的真假情况与另一支命题形式的真假情况来确定整个联言命题形式的真值。例知，以下是（pq）r的真值表,第二节选言命题选言命题就是对几种情况作出选择性断定的命题。选言命题包括相容选言命题与不相容选言命题两种基本形式。一、相容选言命题相容选言命题就是断定在几种情况中至少有一种成立的命题。例如，当我们获悉这项工程的负责人是老张和这项工程的负责人是老王这两个情况至少有一个成立，但尚不清楚倒底哪一个是真实的时，就会做出这祥一个相容的选言命题：这项工程的负责人是老张，或者这项工程的负责人是老王。选言命题的支命题，叫做选言支。若用命题变项符号p、q分别表示上述相容选言命题的两个选言支，则我们可以从中抽象出它的一般形式“p或者q”，也可写作：pq符号“”称作析取词，是用来表示相容选言关系的二元联结词。pq可读作“p或者q”、“或者p，或者q”、“p与q的析取”。,相容选言命题断定至少有一种情况成立，也就是断定它包含的几个选言支至少有一个为真。因此，相容选言命题只在它的全部支命题都假时才是假的。当它的支命题有一部分为真或全部为真时，它是真的。由此可得出相容选言命题形式pq与其支命题形式p、q之间的真假制约关系，以下列真值表表示：相容选言命题形式的真值表,析取词也满足交换律，pq与qp具有完全相同的真假值：pqqp相容选言命题也可以由三个或更多的选言支构成，其真值表可类似含由多个联言支的联言命题形式的情况。,二、不相容选言命题不相容选言命题就是断定在两种事物情况中有一种成立并且只有一种成立的命题。不相容选言命题的特征在于断定两种事物情况的不可并立性和互相排斥性。例如：要么武松打死老虎，要么老虎吃掉武松。这个不相容选言命题断定：对“武松打死老虎”和“老虎吃掉武松”这两种情况，只能有一种选择并且二者必居其一。若以命题变项符号P、q分别表示不相容选言命题的两个支命题，则它的形式就可写作“要么p，要么q”。或用以下公式表示：pq符号“”表示不相容选言关系，称不相容析取词。pq可读作“要么p，要么q”、“p与q不相容”、“p或q，二者必居其一”，等。,不相容析取词满足交换律：pqqp相容选言命题与不相容选言命题都是选言命题，它们的共同点是都断定至少有一选言支为真。二者的差别则在于：不相容选言命题除断定至少有一真外，还断定两选言支至少有一假；而相容选言命题则仅仅断定至少有一真，并不拒绝支命题都真的情况。由于不相容选言比相容选言断定得更多，因此，在支命题相同的情况下，一不相容选言命题pq为真时，相容选言命题pq必真；一相容选言命题pq为假时，不相容选言命题pq必假。自然语言中“或者”一词具有歧义性，即在大多数场合用来表达相容的选言关系，有时也表达不相容选言关系，从而，为确定究竟它表达哪一种选言命题，需联系具体的语言环境来判定。不过，在本书中，我们将限于在相容的意义下使用“或者”这一语词。,根据不相容选言命题的定义，我们知道，一个不相容选言命题实际上是断定了它的两个选言支既不同真又不同假。因此，当它的两个支命题都真或都假时，这个不相容选言命题是假的，而当它的两个支命题的真假值不同时，这不相容选言命题才为真。不相容言命题形式的真值表,不相容析取词满足交换律：pqqp相容选言命题与不相容选言命题都是选言命题，它们的共同点是都断定至少有一选言支为真。二者的差别则在于：不相容选言命题除断定至少有一真外，还断定两选言支至少有一假；而相容选言命题则仅仅断定至少有一真，并不拒绝支命题都真的情况。由于不相容选言比相容选言断定得更多，因此，在支命题相同的情况下，一不相容选言命题pq为真时，相容选言命题pq必真；一相容选言命题pq为假时，不相容选言命题pq必假。关于选言命题，还有一个值得注意问题，这就是自然语言中“或者”一词的歧义性。这个语词尽管在大多数场合用来表达相容的选言关系，但也存在着用这个语词来表达不相容选言关系的情况，从而要明确它究竟表达哪一种选言命题，还需联系具体的语言环境去判定。不过，在本书中，我们将限于在相容的意义下使用“或者”这一语词。,第四节负命题、负命题及其真假情况负命题就是通过否定一个命题而作出的命题。例如，并非地球是字宙的中心。并非这项工程的负责人或者是是老张或者是老王。一个负命题曲两部分组戍，即否定词和被否定的原命题。若用命题变项符号p表示原命题，则负命题的一般形式可写作“并非p”，或写作：p符号“”称作否定词，可读作“并非”、“非”、“不”等等。在汉语中，负命题可有多样的表达方式。否定词既可置于句首，也可置于句尾或句中。下列语句都表达负命题：并非人人都自私自利。并非华山比泰山高。“知识无用”是不真实的。,负命题与否定命题的区别负命题是对某个命题的否定，它是一种复合命题。否定命题则是性质命题的一种，即联项为否定的命题，其否定性不是作用于整个命题而是作用于谓项。例如：并非每个人都是善良的。每个人都不是善良的。这两个语句显然表达了两个意义截然不同的命题。前者是一个负命题，它的否定词“并非”是用来否定紧随其后的那个全称肯定命题的。后者则是一个否定命题，其否定词“不”仅针对联项“是”、作用于谓项“善良的”，它的意义在于断定每个人都被排斥在“善良的”这一类之外。由于负命题的否定词有时也放在句子的中部，需要注意勿将负命题与否定命题混淆起来，应根据是否构成对整个命题的否定对二者加以区别。还是上面的例子，“人不都是善良的这个语句与“人都不是善良的”表面上很接近，实际却有很大差别，一个是负命题，另一个却是否定命题。,一个负命题是真的还是假的，完全决定于它的支命题（即被否定的原命题）的真假。如果被否定的那个支命题是真的，那么这否定本身便是假的；如果被否定的那个支命题是假的，则这否定本身就是真实的。请看下面的例句：（1）并非人造卫星都是用于军事目的的。（2）并非三角形的内角和等于180度。例（1）是一个真的负命题，因为被它否定的支命题“人造卫星都是用于军事目的的”是假的。例（2）是一个假的负命题，因为它的支命题“三角形的内角和等于180度”是真的。一个负命题形式p与它的支命题形式p之间的真假制约关系如以下的真值表：,由真值表可见，负命题与其支命题的真假值完全相反，二者之间具有矛盾关系。,二、与负命题逻辑等值的命题关于负命题，形式逻辑中所关注的是一命题的负命题逻辑等值于什么样的命题。进行这样的研究，是为了要解决这样一个问题，即否定一个命题相当于肯定了一个什么样的命题。（一）与性质命题的负命题逻辑等值的命题由上文我们看到，负命题与支命题之间具有矛盾关系，因此一命题的负命题显然逭与该支命题盯齐盾英系的命题逻辑等值的。当着支命题是性质命题时，裉据逻辑方祥所概括的对当关系，很容易得出与该支命题的负命题逻辑等值的命题。下面的等值式反映了与各种性质命题的负命题逻辑等值的命题。（1）SAPSOP（2）SEPSIP（3）SIPSEP（4）SOPSAP（5）P(s）P(s)（或：并非这个S是P这个S不是P）（6）P（s）P(s）（或：并非这个S不是P这个S是P）,例如，根据（1），“并非所有的金属都是固体”逻辑等值于“有的金属不是固体”。根据（2），否定“没有水生动物是哺乳动物”所得出的是“有的水生动物是哺乳动物”。从等值式（5）、（6）可见，单称肯定命题的负命题等值于单称否定命题，单称否定命题的负命题等值于单称肯定命题。由、此，对于单称命题，否定性作用于整个命题与作用于谓项从逻辑上来说是相等值的。我们有：“并非曹操不是政治家”等值于“曹躁是政治家”，“并非地球是恒星”等值于“地球不是恒星”。由此，我们可以采取现代逻辑中通行的方式，将单称否定命题形式直接表示成单称肯定命题的负命题形式P（a）。这种情形还可以扩展到不带量项的关系命题，就是说，对于这样的关系命题，否定性作用于整个命题与作用于关系项在逻辑上是等值的。我们有aRbaRb因此，对“a不大于b”我们也可以将其形式直接写为aRb。,（二）与复合命题的负命题逻辑等值的命题1.与负命题的负命题等值的命题下述等值式反映了与负命题的负命题相等值的命题（0）pp等值式（0）表示，一支命题的负命题的负命题等值于该支命题，通常将此说成是：双重否定等值于肯定。等值式（0）在逻辑中称作“双重否定律”。,3.与相容选言命题的负命题等值的命题与相容选言命题的负命题等值的是联言命题，下面是等值式：（1）（pq）pq等值式（1）表示，相容选言命题的负命题等值于支命题的负命题构成的联言命题。由相容选言命题与联言命题的真值表不难理解等值式（1）。我们也以利用真值表来证明这一等值式。事实上，一个相容选言命题为真的条件是至少有一个选言支为真，一个相容选言命题为假的条件是各选言支都假。当我们要否定某个相容选言命题时，必须指出它的每个选言支都是假的。例如，在反驳“他来或者我去”这一相容选言命题时，仅仅指出“他不来”或“我不去”是不够的，必须同时否定两个选言支，断定“他不来而且我不去”。而这就是断定了一个联言命题。,根据等值式（1）（pq）pq我们有，“并非或者小陈是候选人或者小王是候选人”等值于“并非小陈是候选人，并且并非小王是候选人”；后者又等值于“小陈不是候选人，并且小王不是候选人”。,2与联言命题的负命题等值的命题与联言命题的负命题等值的命题是相容选言命题，下述等值式反映了这一等值关系：（2）（pq）pq由联言命题的真值表可见，当p、q有一为假或p、q都为假时，pq便为假。等值式右边的相容选言命题形式pq恰好就在这三种情况下都为真，由pq的真值表还可看出，pq为真的唯一情况是p、q都为真。而pq恰好又只在这唯一的情况下为假。因为p、q都为真时，p、q都为假，于是pq为假。由此可知，pq与pq的真假值相反，二者之间具有矛盾关系，所以，pq的负命题等值于pq，否定pq等值于肯定pq。,（1）（pq）pq（2）（pq）pq等值式（1）与等值式（2）具有对偶性。等值式（2）告诉我们，联言命题的负命题形式等值于支命题的负命题形式构成的相容选言命题形式；而等值式（1）表示，相容选言命题形式的负命题形式等值于支命题的负命题形式构成的联言命题形式。等值式（1）、（2）在现代逻辑中称作“德摩根律”。等值式（2）的例子如“并非老张和老王都负责这项工程。”逻辑等值于“或者老张不负责这项工程，或者老王不负责这项工程。”,第三节假言命题假言命题，又称条件命题，它是断定两种情况之间条件联系的命题。例如：（1）如果小李晚上饮浓茶，那么他就会失眠。（2）只有小王多做作业，他才能学好逻辑。这两例都是假言命题。其中，例（1）断定“小李晚上饮浓茶”是“小李会失眠”的充分条件；例（2）断定“小王多做作业”是“小王能学好逻辑”的必要条件。一个假言命题有两个支命题。表示条件的那个支命题叫做前件。另一个叫做后件。在例（1）中，“小李晚上饮浓茶”是前件，“小李会失眠”是后件；在例（2）里，“小王多做作业”是前件，“小王能学好逻辑”是后件。假言命题有三种基本形式：充分条件假言命题、必要条件假言命题和充要条件假言命题，分别表达前件是后件的充分条件、必要条件、充分必要条件。,充分条件：所谓事物情况p是事物情况q的充分条件，即p成立则q一定成立，p不成立时q不一定不成立；简言之，即有p必有q，无p未必无q。必要条件：所谓事物情况p是事物情况q的必要条件，即p不成立则q一定不成立，p成立时q不一定成立；简言之，即无p必无q，有p未必有q。充分必要条件：所谓事物情况p是事物情况q的充分必要条件，即p成立则q一定成立，p不成立时q一定不成立；简言之，即有p必有q，无p必无q。,、充分条件假言命题充分条件假言命题是断定前件是后件的充分条件的假言命题。什么是充分条件？所谓情况p是情况q的充分条件，即当p成立时，q必成立；而当p不成立时，q不一定不成立。或者说，若有p必有q，而且无p未必无q，那么，p就是q的充分条件。例如，“天下雨”与“学校操场变湿”这两种情况，当天下雨时，“学校操场变湿”必随之发生；而当天不下雨时，学校操场的地却却不一定不变湿。“天下雨”就是“学校操场变湿”的充分条件。充分条件假言命题再如：如果54能被6除尽，那么54能被3除尽。如果老王患肺炎，则老王发烧。若用变项符号p、q分别表示一充分条件假言命题的前件和后件，则它的形式是“如果p，那么q”，或者写作：pq符号“”称作蕴涵词，表示断定前者是后者的充分条件。pq也可读作“p蕴涵q”。,由于充分条件假言命题断定了前件是后件的充分条件，即“当前件成立时后件必成立”，因此，若实际情况是前件成立而后件不成立，那么就可以判定这充分条件假言命题是虚假的。相反，如果实际情况不是“前件真而后件假”，那么这充分条件假言命题就不与实际情况相矛盾，因而是真实的。请看下面的例子：（1）如果3小于5，那么3小于9。（2）如果3小于7，那么7小于3。（3）如果7小于5，那么7小于9。（4）如果7小于5，那么7小于6。上述四个充分条件假言命题前后件的真假情况是彼此不同的。例（l）是前、后件都真，例（2）的前件真而后件假，例（3）的前件假而后件真，例（4）是前、后件都假。在这四个命题中，只有（2）是假的，因为“3小于7”显然并非“7小于3”的充分条件。其他三例的真实性，也同样是明显的，因为小于5的数必然小于6和9，这是一个常识。,充分条件假言命题形式pq与其的支命题形式p、q之间的真假制约关系如以下真值表：,从真值表可以看出：充分条件假判命题形式为假的情况只有一种，即“前件真而后件假”。使充分条件假言命题形式为真的情况有三种，这三种为真的情况有两个明显的特点：第一，当前件为假时（不论后件为真还是为假），充分条件假言命题形式总是真的；第二，当后件为真时（不论前件真假如何），充分条件假言命题形式总是真的。因此，一充分条件假言命题为真的情况是“前件假或后件真。”,蕴涵词“”不满足交换律、结合律，运用真值表可以证明，pq与qp不是逻辑等值的，p(qr)与(qp)r也不是逻辑等值的。,由充分条件假言命题的定义和充分条件假言命题形式的真值表容易得出，与充分条件假言命题的负命题形式逻辑等值的命题形式应当是前件和后件的负命题形式组成的联言命题形式：（3）（pq）pq例如，“并非如果小李晚上饮浓茶，那么他就会失眠。”逻辑等值于“虽然小李晚上饮浓茶，但是他不会失眠。”与等值式（1）、（2）之间的对偶性相类似地，由等值式（3），也可以得到与其具有对偶性的等值式：（4）（pq）pq例如“并非老张和老王都负责这项工程。”逻辑等值于“如果老张负责这项工程，那么老王不负责这项工程。”,在汉语中，表达蕴涵的语词很多。引导前件的语词除“如果”外，常用的还有“假如”、“假设”、“假定”、“假使”、“既然”、“只要”、“一旦”、“若”、“倘若”等等；引导后件的语词除“那么”以外，还有“则”、“就”、“那就”、便”等等。,二、必要条件假言命题必要条件假言命题是断定前件是后件的必要条件的假言命题。什么是必要条件？所谓情况p是情况q的必要条件，即当p不成立时，q必不成立；而当p成立时，q不一定成立。或者说，若无p必无q，而且有p未必有q，那么，p就是q的必要条件。例如，“小张多做习题”与“小张学好逻辑”这两种情况，当“小张多做习题”不成立时，小张一定学不好逻辑；而当小张多做了习题时，小张却不一定能学好逻辑。“小张多做习题”就是“小张学好逻辑”的必要条件。必要条件假言命题再如：只有小刘认识错误，小刘才能改正错误。只有某甲到过作案现场，某甲才有可能作案。若用变项符号p、q分别表示一必要条件假言命题的前件和后件，则它的形式是“只有p，才q”，或者写作：pq符号“”称作反蕴涵词，表示断定前者是后者的必要条件。,必要条仲假言命题断定前件是后件的必要条件，即前件不成立时，后件必然不成立，那么，当实际情况是前件不成立而后件却成立时，前件事实上就不是后件的必要条件，即必要条件假言命题就是虚假的。相反，如果实际情况不是“前件假而后件真”，那么这必要条件假言命题就不与实际情况相矛盾，因而是真实的。请看下面的例子：（1）只有27被3除尽，27才被9除尽。（2）只有27被3除尽，27才被6除尽。（3）只有27被4除尽，27才被9除尽。（4）只有27被4除尽，27才被8除尽。其中，例（3）是明显虚假的，它的前件“27被4除尽”是假的，而它的后件“27被9除尽”却是真的，可见其前件的真对于后件的成立并不是必要的。而例（1）、例（2）和例（4）都不属于“前件假而后件真”的情况：例（1）的前后件都为真，例（2）的前件真而后件假，例（4）的前后件都为假，这三个命题都是真的。,必要条件假言命题形式pq与其的支命题形式p、q之间的真假制约关系如以下真值表：,从真值表可以看出：必要条件假判命题形式为假的情况只有一种，即“前件假而后件真”。使必要条件假言命题形式为真的情况有三种，这三种为真的情况有两个明显的特点：第一，当前件为真时（不论后件为真还是为假），必要条件假言命题形式总是真的；第二，当后件为假时（不论前件真假如何），必要条件假言命题形式总是真的。因此，一必要条件假言命题形式为真的情况是“前件真或后件假”。,反蕴涵词“”也不满足交换律、结合律，运用真值表可以证明pq与qp不是逻辑等值的，p(qr)与(qp)r也不是逻辑等值的。,由必要条件假言命题的定义和必要条件假言命题的真值表容易得出，与必要条件假言命题的负命题形式逻辑等值的命题形式应当是前件的负命题形式和后件组成的联言命题形式：（5）（pq）pq例如，“并非只有老李退休，老陈才主持工会的工作。”逻辑等值于“尽管老李没有退休，老陈也在主持工会的工作。”与等值式（3）、（4）之间的对偶性相类似地，由等值式（5），也可以得到与其具有对偶性的等值式：（6）（pq）pq例如，“并非老张和老王都负责这项工程。”逻辑等值于“只有老张不负责这项工程，老王才负责这项工程。”,日常汉语对必要条件假言命题的表达常采用“除非否则”这样的方式,这种表达方式于“只有才”之间的对应关系为:“只有p,才q”相当于“除非p,否则不q”“只有p,才不q”相当于“除非p,否则q”例如,“只有小刘认识错误,他才能改正错误。”相当于“除非小刘认识错误，否则他不能改正错误。”“只有甲队战胜乙队，甲队才不会被降级。”相当于“除非甲队战胜乙队，否则甲队会被降级。”另一方面，还要注意不要将“只有才”与“只要就”相混淆，只有用前者表达的命题才是必要条件假言命题，用后者联结起来的语句则表达充分条件假言命题。,三、充分必要条件假言命题充分必要条件假言命题是断定前件是后件的充分必要条件的假言命题。什么是充分必要条件？所谓情况p是情况q的充分必要条件，即当p成立时，q必成立；并且当p不成立时，q必不成立。或者说，若有p必有q，而且无p必无q，那么，p就是q的充分必要条件。p是q的充分必要条件可简称为p是q的充要条件。例如，“a被2整除”与“a是偶数”这两种情况，当a被2整除时，a必定是偶数；并且，当a不被2整除时，a必定不是偶数。“a被2整除”就是“a是偶数”的充分必要条件。充分必要条件假言命题再如：这个三角形三边等长，当且仅当它的三个内角都是60度。若用变项符号p、q分别表示一充分必要条件假言命题的前件和后件，则它的形式是“p，当且仅当，q”，或者写作：pq符号“”称作双蕴涵词，表示断定前者是后者的充分必要条件。pq也可读作“p双蕴涵q”。,由于充分必要条件假言命题断定了前件是后件的充分必要条件，即“当前件成立时后件必成立，并且，当前件不成立时后件必不成立”，因此，若实际情况是前件成立而后件不成立，或是前件不成立而后件成立，那么就可以判定这充分必要条件假言命题是虚假的。相反，如果实际情况既不是“前件真而后件假”，也不是“前件假而后件真”，那么这充分必要条件假言命题就不与实际情况相矛盾，因而是真实的。请看下面的例子：（1）46，当且仅当64（2）46，当且仅当46（3）64，当且仅当64（4）64，当且仅当46。上述四个充分必要条件假言命题中，例（l）是前后件都真，例（2）的前件真而后件假，例（3）的前件假而后件真，例（4）是前后件都假。在这四个命题中，（1）、（4）是真命题，例（2）与例（3）的前后件真假值相反，与充分必要条件假言命题断定前后件等值的涵义相悖，因而是虚假的命题。,充分必要条件假言命题形式pq与其的支命题形式p、q之间的真假制约关系如以下真值表：,从真值表可以看出：充分必要条件假判命题形式为假的情况为“前、后件真假相反”，使充分条件假言命题形式为真的情况为“前后、件真假相同。”双蕴涵词“”满足交换律，pqqp,注意到充分必要条件假言命题形式的真假情况与不相容选言命题形式的真假情况正好是相反的，,二者之间具有矛盾关系。因此，不相容选言命题的负命题形式等值于充要条件假言命题形式，充要条件假言命题的负命题形式等值于不相容选言命题形式。（15）(pq)pq（16）(pq)pq例如，“并非老赵参加篮协当且仅当老孙参加篮协。”逻辑等值于“要么老赵参加篮协，要么老李参加篮协。”“并非要么甲队出线要么乙队出线。”逻辑等值于“甲队出线，当且仅当，乙队出线”。,下面，我们重新再列出上面所介绍的那些等值式。复合命题的负命题形式的等值式（0）pp（1）(pq)pq（2）(pq)pq（3）(pq)pq（4）(pq)pq（5）(pq)pq（6）(pq)pq（15）(pq)pq（16）(pq)pq,第五节对复含命题间等值关系的进一步认识本节介绍反映各种复合命题形式之间的等值关系的等值式。、充分条件假言命题与必要条件假言命题的关系对于任意两种情况p、q而言，若p是的q充分条件，则q就是p的必要条件；若p是q的必要条件，则q就是p的充分条件。例如，当a能被4除尽时，a必能被2除尽，故“a被4除尽”是“a被2除尽”的充分条件。同时，若a不被2除尽，则a必不被4除尽，故“a被2除尽”是“a被4除尽”的必要条件。逻辑等值公式是：（11）pqqp（12）pqqp由于等值式两边可以互换位置而等值关系保持不变，又由于变项的符号对于命题形式并无影响，因此，上述两个等值式可以其中的任一个得出。,利用等值式（11），任给一充分条件假言命题，我们总能构造出与它逻辑等值的必要条件假言命题。例如，“如果某甲是本案嫌犯，则某甲到过作案现场”逻辑等值于“只有某甲到过作案现场，某甲才是本案嫌犯”。同样，利用等值式（12），任给一必要条件假言命题，我们也能构造出与它逻辑等值的充分条件假言命题。例如，“只有某甲满了18岁，某甲才有选举权”逻辑等值于“如果某甲有选举权，那么某甲一定满了18岁”。,pqqp,qp,二、假言易位的等值关系,例如，“天下雨”是“操场地湿”的充分条件，从而“操场地湿”是“天下雨”必要条件，从而“操场地不湿”是“天未下雨”的充分条件。由此，“如果天下雨，那么操场地湿”逻辑等值于“只有操场地湿了，天才下了雨”；逻辑等值于“如果操场地没有湿，那么天没有下雨。”,pqqp,qp,对假言易位的进一步理解：,既然若p是q的充分条件，则q就是p的必要条件，那么，根据必要条件的定义，若q不成立，p就一定不成立（就是说，若否定q，就一定要否定p；亦即，若肯定非q，就一定要肯定非p）；同时，若q成立，p不一定成立（就是说，若肯定q，不一定肯定p，亦即，若否定非q，不一定否定非p）。这样，非q就是非p的充分条件。上述情形反映在假言命题中，便有如下的等值式：（13）pqqp等值式（13）称作“假言易位”。它表明，对充分条件假言命题形式，若将其前件的负命题形式作为后件，将后件的负命题形式作为前件，所组成的新的充分条件假言命题形式与原命题形式逻辑等值。,pqqp,qppq由此根据逻辑等值关系的传递性，有qppq，即（14）pqqp即假言易位的等值关系也适合于必要条件假言命题。事实上，由p是q的必要条件，根据等值式(12)，q就是p的充分条件；根据等值式(13)，p就是q的充分条件；再根据等值式(11)，q就是p的必要条件。根据等值式(14),“只有某甲认识错误，某甲才能改正错误。”逻辑等值于“只有某甲不改正错误，某甲才能不认识错误。”,由于qppq，我们有,根据等值式（11）（14），任一充分条件(或必要条件)假言命题，都等值于另外的一个充分条件（或必要条件）假言命题及两个必要条件（或充分条件）假言命题。pqqppqqp（11）（14）（12）pqqppqqp（12）（13）（11）例如，“如果小张被推免读研，那么他的外语过了六级。”（pq）逻辑等值于：“只有小张的外语过了六级，他才能被推免读研。”（pqqp）“只有小张不被推免读研，他的外语才不过六级。”（qppq)“如果小张的外语没有过六级，那么他不能被推免读研”(pqqp）再如，“只有认识错误，才能改正错误。”（pq）逻辑等值于：“如果要改正错误，那么就要认识错误。”（根据pqqp）“如果不认识错误，那么就不能改正错误。”（根据qppq）“只有不改正错误，才能不认识错误。”（根据pqqp）,充分条件假言命题形式与必要条件假言命题形式之间的等值关系可整理为：,pqqp,qppq为便于记忆，可将这些等值转换关系表述为：将充分条件假言命题的前、后件交换位置，可改写为必要条件假言命题；将充分条件假言命题的前、后件加否定，可改写为必要条件假言命题；将充分条件假言命题的前、后件交换位置并加否定，可改写为另一个充分条件假言命题。将必要条件假言命题的前、后件交换位置，可改写为充分条件假言命题；将必要条件假言命题的前、后件加否定，可改写为充分条件假言命题；将必要条件假言命题的前、后件交换位置并加否定，可改写为另一个必要条件假言命题。,三、充分条件假言命题形式、必要条件假言命题形式与相容选言命题形式之间的等值关系充分条件假言命题形式与相容选命题形式之间的等值关系可以下列等值式来加以概括：（7）pqpq（8）pqpq例如，根据等值式（7），“如果该厂要扭亏为盈，那么就得生产产销对路的产品。”等值于“或者该厂不扭亏为盈，或者该厂生产产销对路的产品。”再如，根据等值式（8），“或者老张去参加会议，或者老李去参加会议”等值于“如果老张不去参加会议，那么老李去参加会议”。等值式（7）可推导如下：（pq）pq（根据等值式（3）（pq）（pq）（根据等值式的定义）pq（pq）（根据双重否定律）pqpq（根据等值式（2）pqpq（根据双重否定律）等值式（8）的推导从略。这两个等值式也可用真值表来证明:,pqpq,由真值表可见，pq的真值与pq的真值完全相同，所以,利用真值表证明等值式（7）：,利用真值表证明等值式（8）从略。,必要条件假言命题形式与相容选言命题形式之间的等值关系可以下列等值式来加以概括：（9）pqpq（10）pqpq例如，根据等值式（10），“或者老张去参加会议，或者老李去参加会议。”逻辑等值于“只有老张去参加会议，老李才不去参加会议。”再如，根据等值式（16），“除非老王戒烟，否则他不能治好气管炎。”逻辑等值于“或者老王戒烟，或者他不能治好气管炎。”等值式（9）、（10）的推导及利用真值表的证明从略。,（0）pp（1）（pq）pq（2）（pq）pq（3）（pq）pq（4）（pq）pq（5）（pq）pq（6）（pq）pq（7）pqpq（8）pqpq（9）pqpq(10)pqpq(11)pqqp(12)pqqp(13)pqqp(14)pqqp(15)(pq)pq(16)（pq）pq,在日常语言中，充分必要假言命题“p当且仅当q”通常采用“如果p那么q，并且，只有p才q”这样的表达方式。事实上，我们有(17)pq(pq)(pq)由此，显然有(18)(pq)(pq)(pq)由充分必要条件假言命题的定义及其真值表也容易得出，与充分必要条件假言命题的负命题形式逻辑等值的命题形式应当是前件和后件的负命题形式组成的联言命题形式与前件的负命题形式和后件组成的联言命题形式组成的相容选言命题形式。例如，“并非老王主持工会工作当且仅当老李退休”逻辑等值于“老王主持工会工作而老李并未退休，或者，老王没有主持工会工作而老李已经退休。”,另一方面，不相容选言命题“要么p,要么q”通常采用的表达方式有“p或者q，二者不可得兼”、“p或者q，二者必居其一”。我们有(19)pq(pq)(pq)(20)(pq)(pq)(pq)例如，某汽车司机违章驾驶，警察向他宣布处理决定：“要么扣留驾驶执照三个月，要么罚款500元。”司机说：“我不接受。”如果司机坚持己见，那么他必须接受下列哪一项？A.扣照但不罚款。B.罚款但不扣照。C.既不罚款也不扣照。D.如果做不到既不罚款也不扣照，那么就必须接受既罚款又扣照。,不相容选言命题负命题的等值命题某汽车司机违章驾驶，警察向他宣布处理决定：要么扣留驾驶执照三个月，要么罚款500元。”司机说：“我不接受。”如果司机坚持己见，那么他必须接受下列哪一项？A.扣照但不罚款。B.罚款但不扣照。C.既不罚款也不扣照。D.如果做不到既不罚款也不扣照，那么就必须接受既罚款又扣照。解：答案是D。警察的处理决定是不相容选言命题，形式是“pq”。司机对此否定，根据（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）可知，司机在逻辑上必须接受“如果做不到既不罚款也不扣照，就必须接受既罚款又扣照。”,（0）pp（1）（pq）pq（2）（pq）pq（3）（pq）pq（4）（pq）pq（5）（pq）pq（6）（pq）pq（7）pqpq（8）pqpq（9）pqpq(10)pqpq(11)pqqp(12)pqqp(13)pqqp(14)pqqp(15)(pq)pq(16)（pq）pq(17)pq(pq)(pq)(18)(pq)(pq)(pq)(19)pq(pq)(pq)(20)(pq)(pq)(pq),联言命题、选言命题理解1.某单位要从100名报名者中挑选出20名献血者进行体检。最不可能被挑选上的是1993年以来已经献过血(p)，或是1995年以来在献血体检中不合格的人(q)。(由此，最可能被选上的是1993年以来未献过血并且1995年以来在献血体检中合格的人。根据：（pq）pq)如果上述断定为真，则以下哪项所言及的报名者最有可能被选上？（A）小王1995年献过血，他的血型是O型，医用价值最高。p（B）小张是区献血标兵，近年来每年献血，这次他坚决要求献血。p(C)小陈1996年报名献血，因“澳抗”阳性体检不合格，这次出具了“澳抗”转阴的证明，并坚决要求献血。q(注意,(C)并未断定p)(D)老刘最近一次献血时间是在1992年，他因公伤截肢，血眢中流动着义务献血者的血。他说，“我比任何人都有理由献血。”p由于除(D)外,(A)、(B)、(C)为真都使题干为假,故应选(D)。,充分条件假言命题负命题的等值命题理解2.小方、小林做完数学题后发现答案不一样。小方说：“如果我的不对，那你的就对了。”(方林)小林说：“我看你的不对，我的也不对。”(方林)旁边的小刚看了看他们两人的答案后说：“小林的答案错了。”(林)这时数学老师刚好走过来，听到了他们的谈话，并查看了他们的运算结果后说：“刚才你们三个人所说的话中只有一句是真的。”请问下述说法中哪一个是正确的？（A）小方说的是真话，小林的答案对了。（B）小刚说的是真话，小林的答案错了。（C）小林说对了，小方和小林的答案都不对。（D）小林说错了，小方的答案是对的。,2.小方、小林做完数学题后发现答案不一样。小方说：“如果我的不对，那你的就对了。”(方林)小林说：“我看你的不对，我的也不对。”(方林)旁边的小刚看了看他们两人的答案后说：“小林的答案错了。”(林)这时数学老师刚好走过来，听到了他们的谈话，并查看了他们的运算结果后说：“刚才你们三个人所说的话中只有一句是真的。”请问下述说法中哪一个是正确的？（A）小方说的是真话，小林的答案对了。（B）小刚说的是真话，小林的答案错了。（C）小林说对了，小方和小林的答案都不对。（D）小林说错了，小方的答案是对的。解:根据复合命题的等值转换关系,与具有矛盾关系,（pq）pq）必有一真。由此根据题设，为假，即小林的答案对了。由此，为假。所以，小方说的是真话，小林的答案对了。选（A）。,3.某矿山发生了一起严重的安全事故。关于事故原因，甲乙丙丁四位负责人有如下断定：甲：如果造成事故的直接原因是设备故障，那么肯定有人违反操作规程。设违乙：确实有人违反操作规程，但造成事故的直接原因不是设备故障。设违丙：造成事故的直接原因确实是设备故障，但并没有人违反操作规程。设违丁：造成事故的直接原因是设备故障。设如果上述断定只有一个人的为真，那么以下断定都不可能为真，除了：（A）甲的断定为真，有人违反了操作规程。（B）甲的断定为真，但没有人违反操作规程。（C）乙的断定为真。（D）丙的断定为真。,3.某矿山发生了一起严重的安全事故。关于事故原因，甲乙丙丁四位负责人有如下断定：甲：如果造成事故的直接原因是设备故障，那么肯定有人违反操作规程。设违乙：确实有人违反操作规程，但造成事故的直接原因不是设备故障。设违丙：造成事故的直接原因确实是设备故障，但并没有人违反操作规程。设违丁：造成事故的直接原因是设备故障。设如果上述断定只有一个人的为真，那么以下断定都不可能为真，除了：（A）甲的断定为真，有人违反了操作规程。（B）甲的断定为真，但没有人违反操作规程。（C）乙的断定为真。（D）丙的断定为真。解:与具有矛盾关系,必有一真。（pq）pq）根据题设，、为假。由为假得为假，从而，为真即甲的断定为真。再由“造成事故的直接原因是设备故障”（设）为假得“造成事故的直接原因不是设备故障”（设）为真，但为假，故“有人违反操作规程”（违）为假，即“没有人违反操作规程”为真。,对必要条件假言推理的理解4.许多自称为教师的人实际上并不是教师(q)，因为教书并不是他们的主要收人来源(p)。上述议论假设了以下哪项断定？（A）许多被称为教师的人缺乏合格的专业知识与技能。（B）收人的多少可以衡量一项职业受社会重视的程度高低。（C）收人偏低使教师不能敬业乐业。（D）一个人不能称之为作家，除非写作是其主要的收入来源。教师的情况也一样。pq题干是一个省略了部分前提的推理:(pq)qp故应选（D）。,对充分条件假言命题与必要条件假言命题的理解5.老师：“不完成作业就不能出去做游戏。”学生：“我完成作业了，我可以去外边做游戏了！”老师：“不对。我只是说，你们如果不完成作业就不能出去做游戏。”以下除哪项外都能从上面的对话中推出？（A）学生完成作业后，老师就一定准许他们出去做游戏。pq（B）学生的意思是只要完成了作业，就可以出去做游戏。pq（C）老师的意思是只有完成了作业才可能出去做游戏。pq（D）老师的意思是即使完成了作业，也不一定被准许出去做游戏。pq,5.老师：“不完成作业就不能出去做游戏。”学生：“我完成作业了，我可以去外边做游戏了！”老师：“不对。我只是说，你们如果不完成作业就不能出去做游戏。”以下除哪项外都能从上面的对话中推出？（A）学生完成作业后，老师就一定准许他们出去做游戏。pq（B）学生的意思是只要完成了作业，就可以出去做游戏。pq（C）老师的意思是只有完成了作业才可能出去做游戏。pq（D）老师的意思是即使完成了作业，也不一定被准许出去做游戏。pq解:老师断定“完成作业”(p)是“出去做游戏”(q)的必要条件:pq,学生则理解成了：pq。（C）逻辑等值于老师的断定；（B）即学生的理解；（A）将老师的断定解释为充分条件假言命题，故应选（A）。,对必要条件假言命题及其推理的理解6.李先生一定是结了婚的(p)，你看，他总是穿着得体、干干净净的(q)。上述结论是以下述哪项前提作为依据的？（A）除非结了婚，男人都是一副不修边幅、胡乱穿着的样子。除非p,否则非q。（B）所有结了婚的男人都穿着整齐、干净。pq（C）如果男人结了婚，他的穿着一定经常有人照料，自然就不同凡响喽。（D）如果不是穿得体面又干净，李先生恐怕现在还是单身一人。,对必要条件假言命题及其推理的理解6.李先生一定是结了婚的(p)，你看，他总是穿着得体、干干净净的(q)。上述结论是以下述哪项前提作为依据的？（A）除非结了婚，男人都是一副不修边幅、胡乱穿着的样子。除非p,否则非q。（B）所有结了婚的男人都穿着整齐、干净。pq（C）如果男人结了婚，他的穿着一定经常有人照料，自然就不同凡响喽。（D）如果不是穿得体面又干净，李先生恐怕现在还是单身一人。解：题干为：因为q，所以p。选项（A）的断定即pq。根据必要条件假言推理肯定后件式，题干的论证有效。故应选（A）。,对必要条件假言命题及其推理的理解7.只有她去，你和我才会一起去唱“卡拉OK”；（她你我）而她只到能跳舞的“卡拉OK”厅唱歌，那些场所都在市中心（）。只有你参加，她妹妹才会去唱“卡拉OK”。（你她妹）如果上述断定是真的，那么以下哪项也一定为真？（A）她不和她妹妹一起唱“卡拉OK”。（B）你和我不会一起在市郊的“卡拉OK”厅唱歌。（C）我不在，你不会和她一起去唱“卡拉OK”。我（你她）（D）她不在，你不会和她妹妹一起去唱“卡拉OK”。她（你她妹）,对必要条件假言命