高中数学(人教A版)选修2-3之 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(一)

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质,一、新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？二项式系数有什么特点？,展开式中的二项式系数，如下表所示：,11,121,1331,14641,15101051,二项式系数,(a+b)111,(a+b)2121,(a+b)31331,(a+b)414641,(a+b)515101051,(a+b)61615201561,递推法,二项式系数的特点,这个表称为杨辉三角。在详解九章算法一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（BlaisePascal,1623年1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：,当时，其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由于：,所以相对于的增减情况由决定,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当时，,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,（3）各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中，令，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于，上式还可以写成：,这是组合总数公式,一般地，展开式的二项式系数有如下性质：,（1）,（2）,（3）当时，,（4）,当时，,初步训练、选择填空：,1.(1x)13的展开式中系数最小的项是（）(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项,2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（）(A)20(B)219（C）220(D)2201,C,D,4或5,课堂练习：1）已知，那么=；2）的展开式中，二项式系数的最大值是；3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；,例1证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,例3：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。,变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.416,例4、若展开式中前三项系数成等差数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项。,1、已知的展开式中x3的系数为，则常数a的值是_,2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（）A.-297B.-252C.297D.207,3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是_,课堂练习,4.已知(1+)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.,作业作业本1.3.2（1）,（1）二项式系数的三个性质。,（2）数学思想：函数思想。,a单调性；,b图象；,c最值。,（3）数学方法：赋值法、递推法,研究题：求二项式(x+2)7展开式中系数最大的项，试归纳出求形如(ax+b)n展开式中系数最大项的方法或步骤。,小结,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式