2015中考数学复习轨迹问题的解题策略

轨迹问题的解题策略 对于初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点，下面就以原文中两个例题来阐明这类动点轨迹问题的解题策略 一、运动路径是线段例1（2012年张家界中考题）如图1，已知线段AB6，C、D是AB上两点，且ACDB1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_ 解析 此题中主动点是P，动点G是因点P的变化而变化，动点P在运动过程中始终保持不变的量是APBP6另外，题中还有不变的量是APE和PBF始终为等边三角形 解答此问题需牢牢把握住这两个不变的量，而既然是求动点G的运动轨迹，则需考虑点G是到某条直线的距离保持不变，还是到某个定点的距离保持不变，显然此题首先考虑的是点G是否到直线AB的距离保持不变，因此尝试作GQAB，垂足为Q又根据APE和PBF均是等边三角形这一性质，不难想到分别作EMAB和FNAB，垂足分别为M，N（如图2）此时容易得到EMAP，FNBP，所以EMFN（APBP）3再根据梯形中位线的性质，可得到CQ（EMFN） 因此得到点G到直线AB的距离始终保持不变，从而得证点G的运动轨迹是一条线段而此时就点G的运动路径长，便可转化为求点Q的运动路径长，这时只要分别求出点P在C点和D点时AQ的长度即可 当点P在点C时（如图3），MQ1MN，所以AQ1AMMQ12当点P在点D时（如图4），MQ2MN，所以AQ2AMMQ24所以点G运动的路径长为422事实上，点G在运动过程中，MQ的长度也是始终保持不变，因此G的运动路径长度就是M点的运动路径长度，而整个运动过程中M点是从AC的中点运动到AD的中点，即M1M2(如图5)笔者认为，如果用这样的方式去分析问题，那么最终学生头脑中对整个变化过程会有一个全面而清晰的了解此题的解题思路中还体现了转化思想，对培养学生的数学思维是有积极作用的 二、运动路径是圆弧例2（2011年湖州中考题）如图6，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D (1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）； (2)当APD是等腰三角形时，求m的值； (3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长（不必写解答过程） 解析 (1)、(2)略 (3)此题中主动点是P，动点H是因点P的变化而变化动点P在运动过程中始终保持不变的量是OH始终垂直ME，即日始终为垂足而求动点H的运动轨迹，则需考虑点H是到某条直线的距离始终不变，还是到某个定点的距离始终保持不变由于OHME，连结OM后，AMH始终为直角三角形，而斜边OM不变，因此根据直角三角形的性质容易得到动点日到DM的中点的距离始终不变，从而可得到点H的运动轨迹是一段圆弧 下面只需确定圆弧的度数即可，即要找到动点H的始点和终点，根据图形的变化容易分析得动点H无限接近点C，因此可将点C定为动点H的终点当点P在O点时，点H在始点，记为H1，由对称性可知，此时点E的坐标为(3，0)，作MNOE，垂足为N，取DM的中点F，再连结FC、F H1 （如图8） 因为M点的坐标为(1，2)，所以可得MNNE2，所以得到MEN45，所以H1OE45，所以H1OC45 因为C，D，H1，M四点共圆，所以CFH190 又因为FCOM，所以弧CH1的长为：，所以点H所经过的路径长为 以上两个例题刚好反映了初中