3.2 特殊的平行四边形(2) 正方形.ppt

2.特殊的平行四边形正方形,九年级数学(上)第三章证明(三),驶向胜利的彼岸,四边形之间的关系,几种特殊四边形的性质,平行四边形,边,角,对角线,对称性,对边平行且相等,对角相等、邻角互补,两条对角线互相平分,中心对称,矩形,同上,四个角是直角,互相平分且相等,既轴对称又中心对称,菱形,对边平行、四边相等,对角相等、邻角互补,互相垂直平分且平分对角,同上,正方形,同上,四个角是直角,互相垂直平分且相等；平分对角,同上,等腰梯形,两底平行不相等，两腰相等不平行。,同一底上的两个角相等,对角线相等,轴对称,平行四边形,(1)两组对边分别平行;,矩形,(2)是平行四边形.且有一个角是直角；,菱形,（2）是平行四边形，且有一组邻边相等；,（1）是平行四边形，有一个角是直角且有一组邻边相等；（2）是矩形，且有一组邻边相等；（3）是菱形，且有一个角是直角；（4）是矩形，对角线互相垂直；（5）是菱形，且对角线相等。,正方形,等腰梯形,（1）是梯形，并且同一底上的两个角相等；（2）是梯形，并且两条对角线相等。,(2)两组对边分别相等；,(3)一组对边平行且相等；,(4)两条对角线互相平分；,(5)两组对角分别相等；,(1)有三个直角；,（3）是平行四边形，并且两条对角线相等；,（1）四条边都相等;,（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直；,几种特殊四边形的常用判定方法,正方形的性质,驶向胜利的彼岸,定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.,求证:(1)A=B=C=D=900.(2)AB=BC=CD=DA.,分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.,证明:,四边形ABCD是矩形,也是菱形.,A=B=C=D=900,AB=BC=CD=DA.,四边形ABCD是正方形,已知:四边形ABCD是正方形.,正方形的性质,驶向胜利的彼岸,定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.,求证:(1).AC=BD,ACBD,AO=CO,BO=DO;(2).AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.,证明:,四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.,AO=CO,BO=DO;,AC=BD;,四边形ABCD是正方形,ACBD;,AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.,正方形的判定,驶向胜利的彼岸,定理:有一个角是直角的菱形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,证明:,AB=BC,C=A=900,B=1800-A=900.,A=B=C=900.,四边形ABCD是矩形.,四边形ABCD是菱形,A=900,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是菱形,A=900.,正方形的判定,驶向胜利的彼岸,定理:对角线相等的菱形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.,证明:,AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.,AC=BD,四边形ABCD是矩形.,AB=BC,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.,正方形的判定,驶向胜利的彼岸,定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,证明:,ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.,ACBD,四边形ABCD是菱形.,四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是矩形,且ACBD.,P100习题3.54题.,已知:如图,A,B,C,D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库P和Q分别位于AD和DC上,且PD=QC.证明:两条直路BP=AQ,且BPAQ.,课前热身,1、如图：在ABC中，EF为ABC的中位线，,（1）若BEF=,则A=_.,(2)若EF=8cm,则AC=_.,2.在AC的下方找一点D，连接CD和AD，G、H分别为CD和AD的中点，,问：EF和GH有怎样的关系？EH和GF呢？,3、四边形EFGH的形状是_,问题1：依次连接正方形各边中点所得到的四边形是一个怎样的图形呢？,探究新知,问题2：依次连接菱形各边中点所得到的四边形是一个怎样的图形呢？,已知：如图，点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点。求证：四边形EFGH是矩形。,又四边形ABCD是菱形ACBDE、H分别是AD、AB的中点EHBDEFEH即FEH=90O四边形EFGH是矩形,证明：点E、F分别是AD、CD的中点EFAC，EF=同理HGAC，HGEFHG，EF=HG四边形EFGH是平行四边形,综合上述两个问题，你还能提出相类似的问题吗？,能自己解决你提出问题吗？,1、依次连接矩形各边的中点能得到是么样的图形？,2、依次连接等腰梯形各边的中点能得到是么样的图形？,3、依次连接一般的平行四边形各边的中点能得到是么样的图形？,归纳概括：,特殊四边形的“中点四边形”的形状：,1、任意四边形的中点四边形是,2、平行四边形的中点四边形是,3、矩形的中点四边形是,4、菱形的中点四边形是,5、正方形的中点四边形是,6、等腰梯形的中点四边形是,平行四边形,平行四边形,菱形,菱形,矩形,正方形,驶向胜利的彼岸,问题1：矩形和等腰梯形形状不同，为什么中点图形都有平行四边形变成菱形了呢？,议一议,问题2：决定“中点四边形”形状的因素是什么呢？他们是如何影响的？,想一想,四边形ABCD中，ACBD，顺次连接四边形ABCD四边的中点得到四边形A1B1C1D1，又依次连接四边形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，依次类推，得到四边AnBnCnDn。,(1)四边形A1B1C1D1是_，四边形A2B2C2D2是_，四边形A11B11C11D11是_；,矩形,矩形,菱形,(2)四边形AnBnCnDn是什么形状呢？,做一做,你说我