导数与单调性(教师版)

导数与单调性函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0).则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.但1(0，)，舍去.当x(0，5)时，f(x)0.f(x)的增区间为(5，)，减区间为(0，5).高频考点二含参数的函数的单调性例2、设函数f(x)aln x，其中a为常数.(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.解(1)由题意知a0时，f(x)，x(0，).此时f(x).可得f(1)，又f(1)0，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.(2)函数f(x)的定义域为(0，).f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增.当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1).当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减.当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减.当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.由x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减.【方法规律】利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到不重不漏.【变式探究】 设函数f(x)ax2aln x，g(x)，其中aR，e2.718为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时，g(x)0.(1)解由题意得f(x)2ax(x0).当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增.(2)证明令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，所以ex1x，从而g(x)0.高频考点三利用函数单调性求参数例3、已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0).(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求实数a的取值范围.解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解.设G(x)，所以只要aG(x)min即可.而G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.(2)由h(x)在1，4上单调递减得，当x1，4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立.设G(x)，所以aG(x)max，而G(x)1，因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a.【方法规律】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.方法一：转化为“f(x)0(0(0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上递增(减).方法一：转化为“f(x)0(0)在区间D上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.【易错警示】对于：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；对于：h(x)在(0，)上存在递减区间，应等价于h(x)0在(0，)上有解，易误认为“等价于h(x)0在(0，)上有解”，多带一个“”之所以不正确，是因为“h(x)0在(0，)上有解即为h(x)0在(0，)上有解，或h(x)0在(0，)上有解”，后者显然不正确；对于：h(x)在1，4上单调递减，应等价于h(x)0在1，4上恒成立，易误认为“等价于h(x)0时恒成立即alnx0，在x0时恒成立所以alnx，在x0时恒成立令g(x)lnx(x0)，则g(x)(x0)，由g(x)0，得x1；由g(x)0，得0x0时恒成立，即alnx0，在x0时恒成立，所以alnx，在x0时恒成立，由上述推理可知此时a1.故实数a的取值范围是(，1高考真题:1.【2016高考山东理数】已知.讨论的单调性；【解析】（）的定义域为；.当， 时，单调递增；，单调递减.当时，.（1），当或时，单调递增；当时，单调递减；（2）时，在内，单调递增；（3）时，当或时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.2.(2016全国卷)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，则a的取值范围是()A.1，1 B. C. D.解析f(x)xsin 2xasin x，f(x)1cos 2xacos xcos2xacos x.由f(x)在R上单调递增，则f(x)0在R上恒成立.令tcos x，t1，1，则t2at0，在t1，1上恒成立.4t23at50在t1，1上恒成立.令g(t)4t23at5，则解之得a.答案C3.（2013全国卷） 若函数f(x)x2ax在是增函数，则a的取值范围是()A1，0 B1，)C0，3 D3，)【答案】D【解析】 f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立，由于y2x在上单调递减，所以y0得x，令f(x)0得0x0.答案C3.已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.答案A4.已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析由yf(x)的图象知，yf(x)在1，1上为增函数，且在区间(1，0)上增长速度越来越快，而在区间