小学奥数之牛吃草问题(附含答案解析)VIP

牛吃草的问题是追究问题，牛吃草的问题是工程问题. 英国数学家牛顿编辑过数学问题：牧场上有草，每天生长得一样快。 这种草可以供给10头牛吃，22号或者16头牛吃，10号，25头牛吃的话能吃几天？解决问题的关键：牛顿问题，通称“牛吃草的问题”，牛每天吃草，草每天生长均匀。 解决问题主要有四个步骤1 .求每天的草量2 .求牧场本来的草量3 .求每天的实际消耗量4、求最后能吃的天数想想：这片草坪每天以同样的速度生长是分析问题的难点。 把10头牛22日吃的总量与16头牛10日吃的总量进行比较，结果显示，得到的1022-1610=60是60头牛一天吃的草，(22-10 )日平均，5头牛一天吃的草，也就是每天新长的草。 为了满足这个条件，将25头牛分成两部分进行研究，5头吃新长的草，20头吃原来的草，就要求25头牛吃的天数。解：新长的草让几头牛吃一天(1022-161O)(22-1O )=(220-160)12=6012=5(头)这个草能被25头牛吃的天数：(10-5)22(25-5 )=52220=5.5 (日)a:25头牛能吃5.5天。-“草山十头牛能吃三天，草山六头牛能吃几天？ “这个问题很简单，很快就能求出： 3106=5(日)。 把“草山”换成“草山”的话，问题就不是那么简单了。 因为草每天生长，草的数量在不断变化。 这种工作总量不一定(变化均匀)的问题是牛吃草。牧场里有一片草，每天牧草都在等速生长。 这个牧草10头牛能吃20天，或者15头牛能吃10天。 问： 25头牛能吃几天？分析和解：这样的问题在牧场上草的数量每天都很难变化，所以要想办法从变化中找到一定的量。 总草量分为牧场里的草和新长的草。 牧场上原来的草是不变的，新长的草虽然在变化，但是等速生长，所以这片草坪每天新长的草的数量是一样的，也就是说每天新长的草是不变的。 其次，计算现有的草量和每天新生长的草量两个不变量。以牛一天吃的草为一头。 那么，10头牛20日吃了200份，草能吃。15头牛10日吃了150份，草也吃了。 前者总草量为200份，后者总草量为150份，前者是原草和20日新生的草，后者是原草和10日新生的草。200-150=50份，2010=10天说明牧场10日草50份，1日草5份。 也就是说，5头牛刚吃完新长的草，5头牛以外的牛吃的草是牧场里的草。 由此可见，牧场原来的草(l05) 20=100 (份)或(155)10=100 (份)。现在知道现有的草100份，每天都新长了5份草。 如果有25头牛，其中5头只吃新长出的草，剩下的20头吃原来的草，吃完后就10020=5(日)。所以，这片草坪25头牛可以吃5天。例1的解法要注意三点(1)每天新生长的草量是根据已知的两种不同情况下吃的总草量的差和吃的天数的差来计算的。(2)在已知的两种情况下，选择其中的一种，假设其中的几头牛吃新长的草，剩下的牛吃原来的草，就可以根据吃的天数计算出原来的草的量。(3)在求出的问题上，让几头牛吃新长的草，剩下的牛吃原来的草，从原来的草量能计算出能吃几天。小军家的牧场长满了草，每天草都等速生长，这个牧场10头牛能吃20天，12头牛能吃15天。 小军家如果养了24头牛，能吃几天？草速： (1020-1215)(20-15)=4老草(行程差):根据：行程差=速度差追究时间(10-4)20=120或(12-4)15=120追究时间=路程差速度差： 120(24-4)=6(日)牧场58头牛能吃7天，或者50头牛能吃9天。 如果草的生长量每天相等，每头牛的草食量也相等的话，多少头牛能吃6天？草速： (509-587)(9-7)=22老草(程差):(50-22)9=252或(58-22)7=252求几头牛就是求牛速，牛速=程差追究时间草速2526 22=64 (头)天气渐渐变冷了，牧场的草不仅没有长大，而且以一定的速度在减少。 众所周知，某草坪的草有20头牛能吃5天，或者15头牛能吃6天。 根据这个计算，多少头牛能吃十天？分析和解：与例1不同的是，不仅没有新长的草，现有的草也在减少。 然而，类似地，可以利用示例1的方法求出每天减少的草量和原始草量。以一头牛一天吃的草为一头。 20头牛5天减少100头，15头牛6天减少90头，100-90=10头，寒冷使牧场一天减少10头草，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。 “草坪上的草20头牛能吃5天”，以“寒冷”为代表的10头牛同时吃草，所以牧场有草(20 )五=150 (份)。根据15010=15，牧场的原有草15头牛10日，寒冷要占10头牛，5头牛能吃10天。例4在一个池塘上安装了一个供水管和三个相同的排水管。 请打开水管，等池子里积满水后再打开水管。 两条水管同时打开，八分钟后池子空了，同时打开三条水管，五分钟后池子空了。 水管比水管晚几分钟？分析：表面上没有“牛吃草”，但由于整体水量均匀地变化，“水”相当于“草”加入自来水的水相当于新形成的草，流出自来水的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草的问题，解法当然也和例1相似。从出水管出来的水分为出水管打开之前的水量和从放水开始到放水管出来之间加入入水管的水两个部分。 原来的水量不变，可以比较两次排水所用的时间和排水量来解决问题。设出水管每分钟放水池的水为1份，2个出水管用8分钟放水的水为28=16份，3个出水管用5分钟放水的水为35=15份，这2次放水量中包含原来的水量和从开始放水到放水之间的入水量。 两者的减法是在8-5=3(分钟)以内加入的水量，所以每分钟的入水量是(16-15)/3=1/3(份)假设，向1/3个排水管专用排水管中新加水，用2相抵消，向剩馀的水管中加水，则原来的水的水量求出为：(2-1/3)8=40/3 (份)或(3-1/3)5=40/3 (份):设水管每分钟一份，每分钟入水量(28-35)/(8-5)=1/3份水管早开了(2-1/3)81/3=40 (分钟)a :水管比水管晚40分钟。例5池，底部有常开的排水管，上部有几个相同粗细的供水管，如果打开4个供水管的话，要花5小时填满池，要花15小时，现在，需要在2小时内填满池，至少需要打开几根供水管？分析问题没有显示排水管的排水速度，如果不找到排水管和供水管的数量的关系，就无法决定至少开几根供水管。解：本题是一个具有实际意义的工程问题，没有给定注水速度和排水速度，需要引入参数。 设水管每小时的注水量为a，排水管每小时的排水量为b，则因为不随池的容量而变化，所以得到方程式(4a-b)5=(2a-b)15，可以简化得到4a-b=6a-3b，即a=b .也就是说，供水管每小时的注水量与排水管每小时的排水量相同.为了再填满2个小时的池塘，需要打开x个供水管，根据池塘的容量列方程式(xa-a)2=(2a-a)15简化后得到2ax-2a=15a即，2xa=17a.(a0 )x=8.5因此，至少要打开9个供水管，才能在2小时内注满池塘注意： x=8.5，在这里打开8条水管，2小时内不能达到注满池的要求8.5条水管是不现实的。 所以至少需要打开9根水管。以上是书中给出的解法，认为这个解法不适合告诉小学孩子，把这个问题当作牛吃草的问题来处理把水管看作牛，排水管看作草，满池看作老草排水管速度： (215-45)(15-5)=1满池水(程差):(2-1)15=15或(4-1)5=15几个供水管： 152 1=8.5 (个)我和学生都有好习惯，应该解决问题反省一下。 这个问题是工程问题，不能用工程问题的解法做吗？之后，在教室里试了一下，答案是肯定的！打开四个供水管，填满池子要花5个小时，四个供水管和一个排水管的效率将是五分之一。打开两个供水管，填满池子要花15个小时，两个供水管和一个排水管的效率就会是十五分之一。两者之间(4-2=)2 )两条水管的效率差，所以一条水管的效率(1/5-1/15)(4-2)=1/15一个排水管的效率41/15-1/5=1/15或21/15-1/15=1/15现在必须在两个小时内注满池塘，至少需要打开几根供水管？(1/2 1/15)1/15=8.5 (个)自动扶梯从下往上，两个急性子的孩子上楼梯。 已知男孩每分钟20段，女孩每分钟15段，男孩5分钟到楼上，女孩6分钟到楼上。 问：这个自动扶梯有几级？分析：与例3相比，“总草量”为“自动扶梯的楼梯总数”，“草”为“台阶”，“牛”为“速度”，也可以认为是牛吃草的问题。上楼梯的速度，一部分是男性，女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。 男孩5分钟走205=100 (班)，女孩6分钟走156=90 (班)，女孩比男孩多100-90=10 (班)，6-5=1(分钟)，电梯一分钟走10个班。 男孩五分钟后到楼上，他楼上的速度是自己速度和自动扶梯速度之和，所以自动扶梯共享(20 10)5=150 (班)。解：自动扶梯每分钟走一步(205-156)(65)=10个班自动扶梯合计(20 10)5=150 (级)。a :自动扶梯一共150级。例7某车站从检票前几分钟开始排队，每分钟的旅客数同样多。 从检票口开始到等待检票口的队伍消失，同时打开4个检票口要30分钟，打开5个检票口要20分钟。 同时打开七个检票口的话，要多长时间？分析和解：等待检票口的旅客数量在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法解决。旅客总数由两部分组成。 一部分是检票前已经排队的现有旅客，另一部分是检票后新来的旅客。检票口一分钟检票的人数为一人。 因为解释说4个检票口30分钟通过(430 )，5个检票口20分钟通过(520 )，所以在(30-20 )分钟内新来了旅客(430-520 )，所以每分钟都新来了旅客(430-520)(30-20)=2(份)。假设两个检票口只允许新来的旅客通过，两相抵消，剩下的检票口允许原旅客通过，可以要求原旅客(4-2)30=60 (份)或(5-2)20=60 (份)。同时打开7个检票口时，必须让两个检票口只让新来的旅客通过，剩下的检票口让原乘客通过60(7-2)=12 (分钟)。例8有三片草坪，面积分别为5、6和8公顷。 草坪上的草一样厚，而且生长得一样快。 第一片草坪11头牛能吃10天，第二片草坪12头牛能吃14天。 问：第三片草坪上19头牛能吃几天？分析和解：例1是同一草坪，现在是面积不同的草坪。 为了解决这个问题，只需要统一三个草坪的面积。五，六，八8=120。5公顷的草坪11头牛可以吃10天，1205=24，120公顷的草坪1124=264头牛可以吃10天。6公顷的草坪12头牛可以吃14天，1206=20，所以120公顷的草坪1220=240头牛可以吃14天。1208=15，问题是： 120公顷的草坪能给牛吃几天？因为草坪面积相同，可以忽略特定的公顷数，所以原题如下“在等速生长的草坪上，264头牛能吃10天，240头牛能吃14天，285头牛能吃几天？”这与例1完全相同。 以一头牛一天吃的草为一头。 每天都有新长的草(24014-26410)(14-10)=180 (份)。 草地原有草(264180)10=840 (份)。 285头牛可以吃840(285180)=8(日)。所以，第三片草坪19头牛可以吃8天。例9牧场有一片牧草，24头牛吃了6周，18头牛吃了10周。 假定草的生长速度不变，19头牛必须吃几周？分析：这个问题的难点是草在被牛吃的同时生长，也就是牧草的总量随时间的推移而增加。 但是无论牧草怎么生长，牧场的草量都和每天(或每周)新长的草量没有变化，必须先找到这两个量。 首先可以绘制线段图(图5-1 )。从上图的对比可以看出，18头牛吃10周的草量比24头牛吃6周的草量多，多的部分正好相当于4周新生长的草量。 由此可以求出草的生长速度，如果每周有新的草量，就可以从24头牛吃6周的草量中减去6周新的